北师大版九年级数学下册 第三章《圆》3.9 弧长及扇形的面积 【名校课件】

(2)若 BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留 π)．
解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°. ∵OC＝OB，∴△COB 是等边三角形．∴OC＝OB＝BC＝2. 在 Rt△OCE 中，∠BOC＝60°，∴CE＝ 3OC＝2 3. ∴图中阴影部分的面积＝S△OCE－S 扇形 COB ＝12×2×2 3－603·π60×22＝2 3－23π.
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图中阴 影部分的面积．
解：∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE＝DF＝3. ∵BE＝3 3，∴BD＝ 32＋（3 3）2＝6. ∵BDDF＝36＝12，∴∠DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.∴∠ODF＝30°. 在 Rt△ODF 中，OD＝2OF，OF2＋DF2＝OD2， ∴OF＝ 3，DO＝2 3. ∴S 阴影＝S 扇形 AOD－S△ODF＝60π×（3620 3）2－12× 3×3＝2π－32 3.
点 A，D 为圆心，以 AB，DC 为半径作扇形 BAF、扇形
CDE，则图中阴影部分的面积是( B )
A．6 3－43π C．12 3－43π
B．6 3－83π D．12 3－83π
*10.(2020·乐山)在△ABC 中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
BC＝1.如图所示，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°
8．(2020·聊城)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点
M，连接 OC，DB，如果 OC∥DB，OC＝2 3，那么图中阴
影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【点拨】借助圆的性质，利用等积转化法求解阴影部分的面积．由
垂径定理，得 CM＝DM，∵OC∥DB，∴∠C＝∠D，又∵∠OMC
13．(中考·泰州)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， ∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E.
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
解： DE 与⊙O 相切． 理由：连接 DO. ∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD. ∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠EBD＝∠DBO.∴∠EBD＝∠BDO.∴DO∥BE. ∴∠DEB＋∠EDO＝180°. ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°.∴DE 与⊙O 相切．
＝∠BMD，∴△OMC≌△BMD(ASA)，∴OM＝BM＝12OB＝12
OC，
S△
OMC＝
S△
BMD，
∴
cos∠
COM＝Байду номын сангаас
OM OC
＝12，∴
∠
COM＝
60°.
∴S 阴影＝S 扇形 BOC＝60π×（3620 3）2＝2π. 【答案】B
9．(2019·宁夏)如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，分别以
(2)当 BE＝3 时，求图中阴影部分的面积．
解：当 BE＝3 时，BC＝3. ∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°. 又∵∠ACB＝30°，∴AB＝12AC. ∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB＝ 3.∴AC＝2 3.∴AO＝ 3. ∴S 阴影＝S 半圆形－SRt△ABC＝12π×AO2－12AB×BC ＝12π×3－12× 3×3＝32π－32 3.
2．(2019·温州)若扇形的圆心角为 90°，半径为 6，则该扇形的弧
长为( C )
A.32π
B．2π
C．3π
D．6π
3．(2020·南充)如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB＝2，
当风车转动 90°，点 B 运动路径的长度为( A )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
4．(中考·咸宁)如图，⊙O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于⊙O，
连接 OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则B︵D的长为( C )
A．π C．2π
B.32π D．3π
*5.(2020·淄博)如图，放置在直线 l 上的扇形 OAB.由图①滚动(无 滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径 OA＝2，∠AOB ＝45°，则点 O 所经过的最短路径的长是( )
A．2π＋2
后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为( )
A.π4 π－ 3
C. 4
π－ 3 B. 2 D. 23π
【点拨】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝ 3BC＝ 3，AC＝2BC＝2，
∴S 阴影＝903·π60×22－603·6π0×3－12×1× 3＝π－2
3 .
【答案】B
*11.(2020·遂宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点
B．3π
5π C. 2
D.52π＋2
【点拨】如图， 点 O 的运动路径的长＝O︵O1的长＋O1O2＋O︵2O3的长 ＝901·8π0·2＋451·8π0·2＋901·8π0·2 ＝52π.
【答案】C
6．由组成圆心角的_两__条__半__径___和__圆__心__角__所__对__的__弧____围成的图
(1)求证：直线 DC 是⊙O 的切线．
证明：如图，连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径．直线 l 与⊙O 相切于点 A，∴∠DAB＝90°， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC， 即∠DCO＝∠DAO＝90°， ∴OC⊥DC.∴直线 DC 是⊙O 的切线．
15．如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，以点 A 为圆心、AB 为半径画弧得到扇形 BAD，分别以 AB，AD 为直径的两个 半圆交于点 E.求图中阴影部分的面积．
解：如图，连接 AE，并延长交弧 BD 于点 F，连接 BE.图形 1， 2，3，4，5 的面积分别记为 S1，S2，S3，S4，S5.由轴对称的性质 可知 S 扇形 BAF＝S 扇形 DAF，S1＝S2＝S5，S3＝S4. ∵∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴S 扇形 BAF＝4356π0a2＝π8a2.
O 在 AB 上，经过点 A 的⊙O 与 BC 相切于点 D，交 AB 于
点 E，若 CD＝ 2，则图中阴影部分面积为( )
A．4－π2 C．2－π
B．2－π2 D．1－π4
【点拨】如图，连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC 于点 H， ∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°. ∵⊙O 与 BC 相切于点 D， ∴OD⊥BC，∴四边形 ODCH 为矩形， ∴OH＝CD＝ 2，
形 叫做 扇形 ；半 径为 R， 圆 心角 为 n°的 扇形 的面 积为 nπR2
____3_6_0______；若已知扇形的半径为 R，弧长为 l，则扇形 1
的面积为___2_l_R___．
7．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝
2，过A︵B的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，
14．如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB＝30°， 延长 CB 至点 D，使得 BD＝CB，过点 D 作 DE⊥AC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE.
(1)求证：BE 是⊙O 的切线；
证明：连接 BO. ∵∠ACB＝30°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°. ∵DE⊥AC，CB＝BD.∴BE＝12CD＝BC. ∴∠BEC＝∠BCE＝30°. ∴在△BCE 中，∠EBC＝180°－∠BEC－∠BCE＝120°. ∴∠EBO＝∠EBC－∠OBC＝120°－30°＝90°. ∴BE 是⊙O 的切线．
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
在 Rt△OAH 中，∠OAH＝45°， ∴OA＝ 2OH＝2，∴OD＝OA＝2. 在 Rt△OBD 中，∠B＝45°， ∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2， ∴图中阴影部分面积＝S△OBD－S 扇形 DOE ＝12×2×2－453×6π0×22＝2－π2. 【答案】B
12．(2020·荆州)如图，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到 △DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 的延长线上，连接 AD.
第三章 圆 9 弧长及扇形的面积
北师大版九年级数学下册 习题课件
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1 nπR 180
2C
6 见习题 7 B
3A 8B
4C 9B
答案显示
5C 10 B
11 B
12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题
nπR 1．在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长为__1_8_0__．
E，则图中阴影部分的面积为( )
A．π－1 C．π－12
B.π2－1 D.π2－12
【点拨】∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°， ∴四边形 CDOE 是矩形，如图，连接 OC. ∵点 C 是A︵B的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC， ∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE，∴矩形 CDOE 是正方形， ∵OC＝OA＝ 2，∴OE＝1， ∴图中阴影部分的面积＝903·6π0×2－1×1＝π2－1. 【答案】B
(1)求证：BC∥AD.
证明：由题意得，△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°， ∴AB＝DB，∴△ABD 是等边三角形．∴∠DAB＝60°， ∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD.
(2)若 AB＝4，BC＝1，求 A，C 两点旋转所经过的路径长之和．
解：由题意得，BA＝BD＝4， BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∴A，C 两点旋转所经过的路径长之和＝601·8π0·4＋601·8π0·1＝53π.
∵S 半圆形 AB＝π2·a22＝π8a2， ∴S 半圆形 AB＝S 扇形 BAF.
∴S1＝S4＝S2＝S3＝S5. 又∵S1＋S5＝S 半圆形 AB－S△ABE＝π8a2－a42， ∴S 阴影＝S1＋S2＋S3＋S4＝2(S1＋S5)＝2π8a2－a42＝π4－12a2.
16．(2020·郴州)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径．直 线 l 与⊙O 相切于点 A，在 l 上取一点 D 使得 DA＝DC，线 段 DC，AB 的延长线交于点 E.