第3章 离散方程的误差与物理特性的分析

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传热与流体流动的数值计算
三、对流项中心差分不具有迁移特性
t u x
n 1
0
n
CD n 1 n
i i
t
n
u
n
i 1 i 1
n n
2x
n 1
i+1点： i-1点：
i 1 i 1
t
u
i 2 i
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传热与流体流动的数值计算
三、保证离散方程具有守恒性的条件（续） Nhomakorabea2、在同一界面上各物理量（及有关物性）及的 一阶导数是连续的。 连续：从界面两侧的两个控制容积来写出的该界 面上的值是相等的（局部守恒性）。表示为：
x e P x w E
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四、对流项迎风差分具有迁移特性
x
i

i i 1
x
, u 0 , u0
n
=
i 1 i
x
u>0时： i+1点：
i-1点：
i 1 i 1
t
n 1
u
i1 i
n
n
x
n n
i 1
n 1
ut e x
t x 0
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二、对流项中心差分的守恒特性（续）
离散化：
i
n 1
i
n
t

u i 1 i 1 u i 1 i 1 2x
在[l1,l2]内作积分

或：
I2
I2
i
n 1
i
n
i I1
t

I2
u i 1 u i 1
稳定与不稳定是一个离散格式的固有属性！
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4、联系收敛性与稳定性的Lax原理
对于适定的线性初值问题所建立起的相容格式， 稳定性是收敛性的充分必要条件。 工程传热问题中，仅常物性无源项的非稳态导热 问题，才能应用Lax原理分析。 对于其他问题，相容性与稳定性仅是获得收敛解 的必要条件。
2x
i I1

i I1
n 1 i
i x
n
u
i I1
I2
i 1
u i 1
t 2
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u i 1 u i 1
i I1
I2
二、对流项中心差分的守恒特性（续）
2 u in u o u t

i I1
I2
n 1 i
i x
n
u
i I1
I2
i 1
u i 1
t 2
u in u o u t t
u I 1 2 I 1 1
u I 1 2 I 1 3 u I 2 2 I 2 3 u I 2 2 I 2 1 u I 2 1 I 2
2 2
u I 2 1 I 2 2
uI I
1
uI I
2
2
1
不能抵消，表明非守恒型方程不具有守恒特性。
u
u I1 1 u I1
I1 1
u
I1 2
u
u I1 1
I1 3 u I 2 3
u

I 2 1
u
u I 2 2
I2
u
互相抵消
u I 2 1
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格式、网格疏密、稳定性的影响
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传热与流体流动的数值计算
5、说明
对于工程对流换热问题的数值计算，一般认为： 扩散项采用二阶精度截差，对流项采用二阶到 三阶的离散格式是比较合适的。 数学特性：相容性、收敛性、稳定性 物理特性：守恒性、迁移性、人工粘性(假扩散) 在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得 出具有物理意义的结果。
满足守恒特性！
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三、保证离散方程具有守恒性的条件
1、导出离散方程的控制方程是守恒型的 非守恒型 守恒型 u u 0
t x
n
t

x
n
0
i
n 1
i
t
ui
I2
i 1 i 1
2x
i i 1
i
n 1
i

I2
i
n 1
i x
n
i I1
u
i I1
i 1
n
t t
2

u i 1 i 1 u i 1 i 1 2x

i I1
I2
n 1 i
i x
u
t
u
i ,n
x
i ,n


2
x
2 i ,n
2 S i ,n O t O x
层次：方程
截断误差
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2、离散方程的相容性 当空间、时间步长趋于零时，如果离散方程的截断误 差趋于零，则称离散方程与微分方程相容。 截差 O t m O x n ，方程具有相容性。 如截差中出现 t/x时，相容性仅条件满足。
i 1 i 1
n
n 1
t
n 1
u
n 1
i1 i 2
x
i 1 0
n 1
u<0时：
i 1 0 , i 1
ut e ，扰动与e同符号 x
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五、讨论
1、不具有迁移特性的对流项离散格式一定是条 件稳定的，迎风格式保证不振荡。 2、对流项中心差分虽然截差等级高，但迎风差 分更符合物理特性。 3、一阶迎风虽然绝对稳定，能获得物理上看起 来合理的解，但会产生较大的计算误差（假扩 散），已被一些国际杂志所限制。
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第3章 离散方程的误差与物理 特性的分析
2009年3月10日
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§3.1 离散方程的相容性、收敛性及稳定性
一、截断误差及相容性
1、截断误差：差分算子与相应的微分算子之差。
n n n n n in 1 in i 1 i 1 i 1 2 i i 1 n u Si 2 t 2x x
网格独立的解是国际杂志接受数值计算论文的基本要求。
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3、离散方程的收敛性 当时间与空间步长均趋于零时，如果各节点 上的离散误差都趋于零，则称离散方程收敛。
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三、舍入误差与初值问题的稳定性
1、舍入误差 由于计算机存储数据的方式而引入的误差，取决 于所采用的计算方法及所用计算机的字长。 2、数值解误差的组成 总误差=离散误差+舍入误差 3、初值问题离散格式的稳定性 如果在任一时层计算中所引入的误差都不会在以 后各时层的计算中被不断地放大，则称离散格 式是稳定的。
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§3.3 离散方程的迁移性
一、对流与扩散现象在物理本质上的区别
扩散项应使扰动向四周传递。 对流项应使扰动沿流动方向传递。 迁移性！
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二、扩散项中心差分可以将扰动均匀地向四周传递
一维非稳态扩散方程
i
n 1

n
t

2x
n n
i 1 i 1
ut e x 2 ut e x 2
i 1 i 1
n
n 1
t
u
i i 2
2x
n 1
对流项中心差分不具有迁移特性
ut x
：Courant数
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e P
w E
e P 表示对P点写出的e界面上的值。
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三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）
界面连续性示意图
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三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）
中心差分满足连续性条件， 具有守恒特性。
四、讨论
1、椭圆型问题最希望具有守恒特性。 2、抛物型及双曲型问题未必具有守恒特性。
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§3.2 离散方程的守恒性
一、离散方程守恒性定义
如果离散方程在定义域内的任一有限空间内作求 和的运算，所得表达式满足该区域上物理量守恒 的关系，则称该离散格式具有守恒特性。
二、对流项中心差分的守恒特性
扩散项中心差分具有良好的物理特性和计算精度， 是对流项离散格式导致了各种不良特性。 将一维对流扩散方程简化成纯对流方程(平流方程) u
i I1
I2
i 1
u i 1
t 2
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三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）
i I1
1
u i i 1 u i i 1
1 1
I2
uI I
uI I
1
1 1
u I 1 1 I 1
u I 1 1 I 1 2
，按稳定性要求
t
x
2

1 2
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扩散项中心差分的迁移性
对i+1点：
整理得： 对i-1点： 整理得：
i 1 i 1
n n 1
t
n 1

i 2 2 i 1 i
n n
n
x
2
i 1
t e 2 x
I 2 1
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二、对流项中心差分的守恒特性（续）
i I1
u i 1 u i 1 u I 1 u I
1
I2
u u I2 I 2 1 1
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二、离散误差及收敛性
层次：解 1、离散误差 离散方程的精确解偏离该点上相应微分方程精确 解的值。 2、影响因素 (1)截断误差 一般地说，截断误差的阶数越高，离散误差越小。 (2)网格疏密 对同一离散格式，网格加密离散误差也会减小。 但：网格太密也会引起很大的舍入误差。
n

i 1 i 1
t
n 1
n 1

i 2 i 1 i 2
n n n
x
2
i 1
t e 2 x
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扩散项中心差分的迁移性
t
x
2
0 .2 5
时扩散作用下扰动的传递
扩散项中心差分既具有守恒特性，又能使扰动均 匀地向四周传递，符合物理问题的本质，是一 个理想的离散格式。
n

2
x
2 n
采用显式格式离散
i
n
采用离散扰动分析法：设n时层i节点上出现一个扰动e， 其余各点均没有。 对i点：
i
n 1
t

i 1 2 i i 1
x
2
e
t

i 1 2 e i 1
n n
x
2
整理得： i
n 1
t e 1 2 2 x