专题14 空间向量专题测试02-(新教材)新高二高中数学(人教A2019)衔接讲与练

专题15 空间向量专题测试（二）
一、单选题
1．（2020·浙江高二期末）已知向量()2,4,3a =-，()1,2,b x =-，若a b ⊥，则x =（ ）． A ．3
2
-
B ．
103
C ．2-
D ．2
【答案】B
【解析】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即2830x --+=，解得10
3
x =
，故选：B ． 2．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点．那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 ( )．
A ．
2
3
B C ．
45
D 【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O (1,1,0)，E (0,2,1)，D 1(0,0,2)，F (1,0,0)，OE ＝(－1,1,1)，
1FD ＝(－1,0,2)，∴OE ·1FD ＝3，|OE |，|1FD |
∴cos 〈OE ，
1FD
即OE 与FD 1.
3．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，
2CA CB =，13CC CB =，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）.
A
B
C
D ．
235
【答案】A 【解析】
2CA CB =，13CC CB =，∴设1CB =，
根据题意得，()0,0,1B ,()10,3,0C ,()2,0,0A ,()10,3,1B .
()10,3,1BC =-,()12,3,1AB =-,
∴111111
cos ,3510BC AB BC AB BC AB ⋅=
=
=
⋅.故选：A.
4．（2020·福建省南安第一中学高三月考（文））若正四棱柱1111ABCD A B C D -，1AB =，则直线1AB 与1CD 所成的角为（ ） A ．30 B ．
45
C ．60
D ．90
【答案】
C
【解析】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1AB ＝1，∴AA 1= 以D 为原点，DA 为x 轴，
DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（1
，1，C （0，1，0
），D 1（0，0，
1AB =（0，1）
，1CD =（0，﹣1）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ， 则cosθ1111
1
2
4AB CD AB CD ⋅=
=
=⋅，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°．
故选C ．
5．（2020·安徽合肥一中高二月考（理））直三棱柱111ABC A B C -，中，90BAC ∠=︒
，AB AC ==
1 2AA =．则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为（ ）
A
．B
C
．D
．
6
【答案】D
【解析】由题意可知，1,,AB AC AA 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则()0,0,0A
，
)
)()
1
1
2,,2C C B ．
∴
()()1
1
2,0,2,2,2AC CB ==
-．
∴111111
cos ,6AC CB
AC CB AC CB ⋅<>=
=
=． 异面直线1AC 与1CB
．故选：D ． 6．（2020·广东红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合； 若AB ∥CD ，则AB 与CD 共线；
根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件， 故选B
7．（2020·四川高二期末（理））空间直角坐标系中A B 、两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A B 、两点
间距离为（ ）
A ．2
B C
D ．6
【答案】C
【解析】∵A ，B 两点的坐标分别是A （2，3，5），B （3，1，4），
∴|AB |=
=C ．
8．（2020·广东高三（文））如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．
D 【答案】D
【解析】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），
设M （a ，0，b ），则1D M =（a ，﹣4，b ﹣4），CP =（﹣4，﹣4，2），
∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4． 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ，
过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ
=
=． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，
∴S △BCM 的最小值为S △QBC 14255
=
⨯⨯=
．故选D ．
9．（2020·福建高二期末（理））已知向量)0,1,1(=，(1,0,1)b =-，且k +与a 互相垂直，则k ＝（ ） A.
13 B.12 C.13- D.1
2
- 【答案】B
【解析】由k +与a 互相垂直()
2
1
002102
∴⋅=∴+⋅=-=∴=
+∴a ka a b k k ka b 10．在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上的任一点，则直线OP 与AM 所成角为 ( ) A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】D
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨时AB ＝2，则A （2，0，0），O （1，1，0），M （0，0，1），设P （2，y ，2）， 则AM =（﹣2，0，1），OP =（1，y ﹣1，2）， ∴AM OP ⋅=-2+0+2＝0， ∴AM OP ⊥．
∴直线OP 与直线AM 所成的角为90°． 故选D ．
11．（2020·山东青岛二中高三期末（理））在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且
AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )
A ．
1
3
B
．
3
C
．
4
D ．
12
【答案】B 【解析】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，
∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）
=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，
则
11
cos 318MB AA MB AA θ
⋅=
=
=
⋅
, ∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．
12．（2020·浙江高三）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，
C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2
D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面
11ABC D 所成二面角为β，则（ ）
A ．cos cos αβ=
B ．sin sin αβ=
C ．cos cos t αβ>
D ．sin sin αβ<
【答案】B
【解析】连接111,AB B D ,如图，
在长方体内知12//AB D C ,
所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，
因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB
又22AB A B ⊥，2222A D A B A =
所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，
则2AB →，1B C →
可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，
又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1
B C →
的夹角为60︒， 所以60β︒
=或120β︒=，
即sin sin αβ=， 故选：B 二、填空题
13．（2020·湖南高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，
//AB CD ，2AD CD PD ===，1AB =，,E F 分别为棱,PC PB 上一点，若BE 与平面PCD 所
成角的正切值为2，则2
()AF EF +的最小值为________.
【答案】
143
+ 【解析】取CD 的中点H ，连接BH ，EH.
依题意可得，BH CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BH ⊥， 从而BH ⊥平面ABCD ，
所以BE 与平面PCD 所成角为BEH ∠， 且2
tan 2BH BEH EH EH
∠=
==，则1EH =，则E 为PC 的中点.
在Rt PAB ∆
中，cos 3
AP APB PB ∠=
=
. 因为3PB =
，=PC
BC =
所以cos 2
BPC ∠=
，所以4BPC π∠=.
将PBC ∆翻折至与平面PAB
共面，如图所示，则图中
1cos cos 43APC APB π⎫⎛
⎫∠=∠+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
当F 为AE 与PB 的交点时，AF EF +
取得最小值，此时，
2222414()263
AF EF AE ++==+-⨯=
.
故答案为：
143
+. 14．（2020·江苏启东中学高二期中）已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ=_________． 【答案】3 【解析】
试题分析：由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，即有13=2{6323m n
m n
m n λ-=-+=-，
解得
9{5
3
m n λ===. 15．（2020·黑龙江铁人中学高二月考（理））a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形
ABC
的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
（2）当直线AB与a成30°角时，AB与b成30°角；
（3）直线AB与a所成角的最小值为45°；
（4）直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.
【答案】（1）（3）
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|＝1，|AB|=√2，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a→=（0，1，0），|a→|＝1，直线b的方向单位向量b→=（1，0，0），|b→|＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量为AB′→=（cosθ，sinθ，﹣1），|AB′→|=√2，
设AB′→与a→所成夹角为α∈[0，π
2
]，
则cosα=|(−cosθ，−sinθ，1)⋅(0，1，0)|
|a→|⋅|AB′
→
|
=√2
2
|sinθ|∈[0，√2
2
]，
∴α∈[π
4，π
2
]，∴（3）正确，（4）错误．
设AB′→与b→所成夹角为β∈[0，π
2
]，
cosβ=
|AB′→
⋅b →
||AB′→
|⋅|b →
|=
|(−cosθ，sinθ，1)⋅(1，0，0)|
|b →
|⋅|AB′→
|
=
√2
2
|cosθ|， 当AB′→
与a →
夹角为60°时，即α=π
3， |sinθ|=√2cosα=√2cos π
3
=√2
2
，
∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cosβ=√2
2
|cosθ|=1
2，
∵β∈[0，π2]，∴β=π3，此时AB′→与b →
的夹角为60°， ∴（1）正确，（2）错误． 故答案为：（1）（3）．
16．（2020·辽宁高二期末）平面α的一个法向量为(),2,100m k k =，直线l 的一个方向向量为
(),1,0n k =-，若//l α，则k =______.
【答案】0或2
【解析】由题,因为//l α,则m n ⊥,即220m n k k ⋅=-=,解得2k =或0k =,故答案为：0或2 三、解答题
17．（2020·海南中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，
12AA =，M 为11A B 的中点．N 为1BB 上一点．
（1）求异面直线1BA 与1CB 所成角的余弦值； （2）若CN BM ⊥，求三棱锥C ABN -的体积．
【答案】（1；（2）124. 【解析】（1）以C 为原点建系，CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，
则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()11,0,2A ，()10,1,2B ， ()11,1,2BA =-，()10,1,2CB =，
111111
cos ,10
6BA CB BA CB
BA CB ⋅=
=
=⋅，
故异面直线1BA 与1CB ； （2）设BN a =，则()0,1,N a ，11,,222M ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ()0,1,CN a =，11,,222BM ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
因为CN BM ⊥，所以0CN BM ⋅=，即1202a -+=，解得14
a =， 故1
4
BN =
， 11111
11332424
C ABN N ABC ABC V V S BN --∆==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，
18．（2020·四川高二期末（理））如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =． （1）求证：//DF 平面BCE ； （2）求二面角C BF A --
的余弦值；
（3）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？不需说明理由．
【答案】（1）详见解析（23）不存在 【解析】（1）因为//CD EF ，且CD EF =，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ． 因为DF BCE ⊄平面， 所以//DF 平面BCE ．
（2）在平面ABEF 内，过A 作AZ AB
⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，
ABEF ABEF AB ⋂=平面平面，AZ ABEF ⊂平面，所以ABCD AZ 平面⊥，
所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．
由题意得，()0,0,0A ，()0,4,0B ，()2,2,0C
，(E
，(F ．
所以()
2,2,0BC →
=-
，(0,BF →
=-．
设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = 则00
n BC n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即220,
30.x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
令1y =，则1x =
，z =
平面ABF 的一个法向量为(1,1,0)v = 则5cos ,5n v n v n v ⋅=
= ．所以二面角C BF A --
（3）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 解法一：设平面ACE 的法向量为m ()111,,x y z =，
则00
m
AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即1111220,
30.x y y +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
令11y =，则11
x =-，1z =m (1,1,=-．因为0m n ⋅≠ ， 所以平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，
从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．
解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设
CG CE
λ→→
=，其中[]0,1λ∈
．
设()222,,G x y z ，则有()()
2222,2,2,x y z λλ--=-，
所以222x λ=-，2
2y λ=+，2z =，从而(
)
22,2,G λλ-+，
所以()
22,2AG λλ→
=-+．
因为AG
⊥平面BCF ，所以//AG n ．所以有22211λλ-+==
， 因为上述方程组无解，所以假设不成立．
所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC =，2BC =，11A A =，点D 是AB 的中点
（1）证明：1//AC 平面1CDB ；
（2）在线段AB 上找一点P ，使得直线1AC 与CP 所成角的为0
60，求
AP AB
的值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
3
【解析】（Ⅰ）证明：设1CB 与1C B 相交于E ，连结DE ,
D 是AB 的中点，
E 是1BC 的中点, DE ∴∥1AC
DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ,1AC ∴∥平面1CDB
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，1CC 为z 轴，CA 为x 轴，CB 为y 轴， 设(01)AP AB λλ=<<
()1,2,0CP CA AB λλλ=+=-，()11,0,1AC =-
所以111
cos ,23
AC CP λ〈〉=
⇒= 20．（2020·江苏南通一中高二期中）如图，已知多面体PABCDE 的底面是边长为2的菱形，PA ⊥
底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==.
（1）证明：//CE 平面PAB ；
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角P AC E --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）60. 【解析】（1）
底面ABCD 是菱形，//AB CD ∴，
因CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .
同理，ED
平面PAB ，ED CD D =，平面//CDE 平面PAB ，
又CE ⊂平面CDE ，所以//CE 平面PAB . （2）
PA ⊥底面ABCD ，CPA ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，
故45PCA ∠=，Rt PAC ∆中,2AC PA ==，
又底面ABCD 是边长为2的菱形，2AB AC BC ∴===， 取BC 中点F ，连AF ，则AF AD ⊥，
以A 为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为
()()0,0,0,0,0,2A P
,)1,0B
-
,)
C
,()0,2,0D ,()0,2,1E ,
PA ⊥底面ABCD ,PA BD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥, BD ∴⊥平面PAC ，∴平面PAC 的法向量取()
=-BD ,
设平面ACE 的法向量()000,,m x y z =，则：(
)
()3,1,0,0,2,1AC AE =
=,
000030
20
m AC x y m AE y z ⎧⋅
=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩ ，令01x =得(1,3,2m =-,
1
cos ,2m BD -<>=
=-,
∴二面角P AC E --的大小为60.
21．（2020·天津一中高三月考）菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒EA ⊥平面ABCD ，//EA FD ，
22EA AD FD ===，
（1）证明：直线//FC 平面EAB ； （2）求二面角E FC A --的正弦值；
（3）线段EC 上是否存在点M 使得直线EB 与平面BDM ？若存在，求EM MC
；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）
4
（3）存在，
13EM MC = 【解析】建立以D 为原点，分别以DA ，DT （T 为BC 中点），DF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
则(2,0,0)A
，B
，(C -，
(0,0,0)D ，(2,0,2)E ，(0,0,1)F .
（1）证明：(0,0,2)EA =-
，(AB =-， 设(,,)n x y z =为平面EAB 的法向量，
则00
n EA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即20
0z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，
可得(3,1,0)n =，
又(1,3,1)FC =--，可得0n FC ⋅=，
又因为直线⊄FC 平面EAB ，所以直线//FC 平面EAB ； （2）(2,0,1)EF =--
，(1)FC =--，(2,0,1)FA =-， 设1(,,)n x y z =为平面EFC 的法向量，
则1100n EF n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即20
x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩
，可得1(n =-， 设2(,,)n x y z =为平面FCA 的法向量，
则2200n FA n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即200x z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩
，可得2(1,n =，
所以1212126
cos ,4||||
n n n n n n ⋅=
=， 2121210
sin ,1cos
,4
n n n n ∴=-
=
所以二面角E FC A -- （3
）设(3,2)EM EC λλλ==--
，则(23,22)
M λλ--， 则(1,BD =-，(23,22)DM λλ=--， 设3(,,)n x y z =为平面BDM 的法向量，
则3300n BD n DM ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
，即0(23)(22)0
x x y z λλ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，
可得33,1,1n λ⎛
=- -⎝⎭
， 由(2)EB =--
，得32cos ,8
EB n -=
=
， 解得1
4λ=
或78-（舍），所以
13
EM MC =. 22．（2020·广西高二期末（理））在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为直角梯形，//,,AB CD BC CD BC
CF ⊥⊥，33AB BC CD ==．
（1）求BE 与平面EAC 所成角的正弦值；
（2）线段ED 或其延长线上是否存在点P ，使平面EAC ⊥平面PBC ？证明你的结论． 【答案】（1；（2）见解析 【解析】（1）以C 为坐标原点、CD 方向为x 轴、BC 方向为y 轴、CF 方向为z 轴建立空间直角坐标系，
则点C 的坐标为()0,0,0、点B 的坐标为()0,1,0、点D 的坐标为()1,0,0、点A 的坐标为()3,1,0，点F 的坐标为()0,0,1，点E 的坐标为()1,0,1，
由()1,1,1BE =-，()3,1,0CA =，()1,0,1CE =，设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =
由300
CA n x y CE n x z ⎧⋅=+=⎨
⋅=+=⎩，取1,3,1x y z =
=-=-，则()1,3,1n =--
故BE 与平面EAC
所成角的正弦值
11311
BE n BE n
⋅=
=⨯．
（2）证明：设点P 的坐标为()1,0,h ，则()0,1,0BC =，()1,0,CP h = 设平面BCP 的法向量为(),,m x y z =
由00
BC m y CP m x hz ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，取,0,1x h y z ===-，则(),0,1m h =-， 若平面EAC ⊥平面PBC ，则10m n h ⋅=+=，解得：1h =-， 故点P 在ED 的延长线上，且ED DP =．。