2019年广州市一模理科答案

2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种
或几
种
解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对
照评分标准给以相应的分数．
2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改
变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该
部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再
给分．
3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C D A C A B
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共
7小题，每小题 5 分，满分30 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．
9．
1
2 ,
1
2
10 ．sin 1 11 ．12.38 12 ．
或
7
2
2 2
13 ．8，
n n
14．
11
1,15 ．4 6
说明：①
第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．
②第14题的正确答案可以是：
11
1, 2k ( k Z) .
6
三、解答题：本大题共
6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两
点间
距离
公式
等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：∵ f (x) 的最大值为2，且A 0 ，∴A 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵f ( x) 的最小正周期为8，∴T 2 8，得
4 . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分
∴( ) 2sin( )
f x x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
4 4
（2）解法1：∵(2) 2sin 2cos 2
f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2 4 4
f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
4 4
∴P(2, 2), Q(4, 2) .
∴OP 6, PQ 2 3, OQ 3 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分
∴cos POQ
2 2 2
2 2 2 6
3 2 2 3 3
OP OQ PQ
2 OP OQ 2 6
3 2 3
.⋯⋯⋯10
分
∴ 2
sin POQ 1 cos POQ
6
3
. ⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
∴△POQ 的面积为
1 1 6
S OP OQ sin POQ 6 3 2 3 2.
2 2 3
⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
解法2：∵(2) 2sin 2cos 2
f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2 4 4
f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
4 4
∴P(2, 2), Q(4, 2) .
∴OP (2, 2), OQ (4, 2). ⋯⋯⋯⋯⋯8 分
∴cos POQ cos OP ,OQ O P OQ
OP OQ
6 3
6 3 2 3
. ⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
∴ 2
sin POQ 1 cos POQ
6
3
. ⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
∴△POQ 的面积为 1 1 6 3 2 6
S OP OQ sin POQ 3 2 .
2 2 3
⋯⋯⋯⋯⋯12 分
解法3：∵(2) 2sin 2cos 2
f ，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2 4 4
f (4) 2sin 2sin 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
4 4
∴P(2, 2), Q(4, 2) .
∴直线O P 的方程为
2
y x ，即x 2y 0. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分
2
∴点Q到直线O P 的距离为
4 2
d 2 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
3
∵OP 6 ，⋯⋯⋯⋯⋯11 分
∴△POQ 的面积为 1 1
S OP d 6 2 3 3
2. 12
⋯⋯⋯⋯⋯分
2 2
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、
推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思
想
）
解：设“甲做对”为事件 A ，“乙做对”为事件 B ，“丙做对”为事件 C ，由题意知，
1
P A , P B m, P C n . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
2
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是
1 3
1 P 0 1 . ⋯⋯⋯⋯
3 分
4 4
（2）由题意知
1 1
P 0 P ABC 1 m 1
n，⋯⋯⋯⋯⋯4
分
2 4
1 1
P 3 P ABC mn ，⋯⋯⋯⋯⋯5 分
2 24
整理得
1
mn ，
12
7
m n .
12
由m n，解得
1
m ，
3
1
n . ⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
4
（3）由题意知a P 1 P ABC P ABC P ABC
1 1 1 11
1 m 1 n m 1 n 1 m n ，⋯⋯⋯9 分
2 2 2 24
b P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) = 1
4
，⋯⋯⋯⋯⋯10 分
∴的数学期望为E0 P( 0) 1 P( 1) 2P( 2) 3P( 3) = 13
12
.
⋯⋯⋯⋯12分18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础
知识
，考查空间想
象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想
方法）
解法一：
（1）证明：延长A D交AC 的延长线于点 F ，连接B F .
1
1
∵CD ∥
AA ，且CD
AA ，
1
1
2
∴C为A F 的中点. ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分A1 C1
B1
∵E为A B 的中点，
D ∴C
E ∥B
F . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∵BF 平面ABD ，CE 平面A1BD ，
1
H
∴CE ∥平面A BD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
A
1 C F
E
（2）解：∵AA 平面ABC ，CE 平面ABC ，
1
B
∴A A CE . ⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
1
∵△ABC 是边长为2的等边三角形， E 是AB 的中点，
∴CE AB ， 3 3
CE AB .
2
∵AB 平面AAB ，AA1 平面A1AB ，AB AA1
A，
1
∴CE 平面A AB. ⋯⋯⋯⋯
⋯ 6
1
分
∴EHC为C H 与平面A AB 所成的角. ⋯⋯⋯⋯
⋯7
1
分
∵CE 3，
CE 3
在Rt△CEH 中，tan EHC
，
EH EH
∴当EH 最短时，tan EHC 的值最大，则E HC 最大. ⋯⋯⋯⋯⋯8 分
∴当EH A B时，EHC 最大.
此时，tan
1 EHC
C E 3
EH EH
15
2
.
∴ 2 5
EH . ⋯⋯⋯⋯⋯9
5
分
∵CE ∥BF ，CE 平面A AB ，
1
∴BF 平面A AB . ⋯⋯⋯⋯⋯
10
1
分
∵AB 平面A AB ，
1 A B平面
1
A A
B ，
1
∴BF AB ，BF A B.⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
1
∴A BA 为平面
1 ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ⋯⋯⋯⋯⋯1
2 分
1
在Rt△EHB 中， 2 2
BH EB EH
5
5 ，
cos ABA
1
BH
EB
5
5
. ⋯13
分
∴平面A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为1
5
5
. ⋯⋯⋯⋯⋯
14 分
解法二：
A B的中点F ，连接D F 、EF . （1）证明：取
1
z ∵E 为AB 的中点，
1
∴EF ∥
AA ，且
EF AA . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分1
1
2
1
∵CD ∥AA ，且CD AA ，
1 1
2
∴EF ∥CD ，EF CD . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴四边形EFDC 是平行四边形. A1 C1
B1
D
F
分∴CE ∥DF . ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
H
∵DF 平面ABD ，CE 平面A1BD ，
1
A
C y ∴CE ∥平面AB
D . ⋯⋯⋯⋯⋯4
1
E
B
（2）解：∵A A 平面ABC ，CE 平面ABC ，
1 x
∴A A CE . ⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
1
∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形， E 是AB 的中点，
∴CE AB ， 3 3
CE AB .
2
∵AB 平面AAB ，AA 平面A AB ，
1 1 1 AB AA A，
1
∴CE 平面A AB. ⋯⋯⋯⋯⋯ 6
1
分
∴EHC 为CH 与平面 A AB 所成的角. ⋯⋯⋯⋯
⋯7
1
分
∵CE 3，
在Rt△CEH 中，tan EHC CE 3
，
EH EH
∴当EH 最短时，tan EHC 的值最大，则E HC 最大. ⋯⋯⋯⋯⋯8 分
∴当EH A B时，EHC 最大.
此时，tan
1 EHC
C E 3
EH EH
15
2
.
∴ 2 5
EH . ⋯⋯⋯⋯⋯9
5
分
在 Rt △ EHB 中，
2
2
5
BH
EB EH
.
5
∵Rt △ EHB ～Rt △ A AB ，
1
2 5
5
∴
EH BH AA
AB
1
，即
5
5 AA
1
2
. ∴ AA 1 4. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
10 分
以 A 为原点， 与 AC 垂直的直线为 x 轴， AC 所在的直线为 y 轴，
建立空间直角坐标系A
xyz .
AA 所在的直线为
z
轴，
1
则A (0, 0, 0)，
A (0, 0, 4)，
B ( 3, 1, 0)， D (0, 2, 2). 1
∴ AA
(0, 0, 4)， 1
A B
( 3, 1, - 4)
，
1
A D
(0, 2, - 2).
1
设平面 A BD
1
的法向量为
n = x, y, z ，
由
n ?A 1B
0， n ?A 1D
0，
得 ì ?
+ - =
3x
y
4z
? í ? - = 2y 2z 0. ? ?
令 y = 1，则z = 1, x =
3.
∴平面 A 1BD 的一个法向量为
n =
( 3, 1, 1).
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
12
分
∵ A A
平面 ABC ， ∴
1
AA = (0, 0, 4)是平面 ABC 的一个法向量 .
1
∴cos
,
n AA
1
n AA 1
n AA
1
5 5
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
13 分
∴平面 A BD
与平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦
值为 1
5 5
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
14 分
19．（本小题满分 14分）
（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与 转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)
解：
a 1 2a 2 3a 3
na n (n 1 )S n 2n ，
∴ 当n
1
时，有a 1 (1 1 )S 1 2, 解得 a 1 2.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 分
由
a 1 2a 2 3a 3 na n (n 1)S n 2n , ①
得 a 1 2a 2 3a 3
na n (n 1)a n 1 nS n 1 2(n 1), ②
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分 ② - ①得:
(n 1)a n 1 nS n 1 (n 1 )S n 2.
③
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
以下提供两种方法：
法 1：由③式得： (n
1)(S
S ) nS
(n 1)S
2 ，
n 1
n
n 1
n
即S 1 2S 2; ⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
n n
S 1 2 2(S 2)，⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
n n
∵S
2 a1 2 4 0，
1
∴数列{S2} 是以4 为首项,2 为公比的等比数列.
n
∴n 1
S 2 4 2 , 即n
n 1 n 1
S 4 2 2 2 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯6 分
n
当n 2时,n 1 n n
a S S 1 (2 2) (2 2) 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯7 分
n n n
又a
1
2也满足上式,
n
∴a 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯8分n
法2：由③式得：(n 1) a
n
nS n (n 1) S n 2 n S n S n S n 2 ，
1 1 1
得a
1
S 2. ④⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
n n
n n
当n 2时, 1 2
a S , ⑤⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
⑤- ④得：a a . ⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
1 2
n n
由a1 2a2 S2 4，得a2 4，
∴
a2 2a1. ⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
n
∴数列{ a } 是以a1 2为首项，2 为公比的等比数列. ∴a 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分n n
（2）解：∵p, q, r 成等差数列，
∴p r 2q . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分
假设a 1,a 1,a 1成等比数列，
p q r
2 则
a 1 a 1 a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯10 分
p r q
p r q
2 1 2 1 2 1 2
即，
化简得：2p 2r 2 2q . （*）⋯⋯⋯⋯⋯11 分
∵p r ，
p r p r q
∴2 2 2 2 2 2 2 ，这与（* ）式矛盾，故假设不成立.⋯⋯13 分
∴a 1,a 1,a 1不是等比数列. ⋯⋯⋯⋯⋯14 分p q r
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形
结合
、函
数与方程、化归
与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创
新意
识）
(1) 解法1：设椭圆 C 的方程为
1
2 2
x y
2 2 1
a b
a b 0 ,
2 2
2 3
2 2
a b
2 2
a b 1,
4.
解得:
2
a
2
b
16,
12.
依题意
:⋯⋯⋯⋯⋯ 2
∴椭圆C 的方程为
1
2 2
x y
16 12
1
. ⋯⋯⋯⋯
⋯ 3
分
解法2：设椭圆C1 的方程为
2 2
x y
2 2 1
a b
a b 0 ，
根据椭圆的定义得2a AF AF 8，即a 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
1 2
∵c 2 ，∴ 2 2 2 12
b a
c . ⋯⋯⋯⋯
⋯ 2
分
∴椭圆C 的方程为
1
2 2
x y
16 12
1 . ⋯⋯⋯⋯
⋯ 3
1 1 1
2 2 2 2
(2) 解法1：设点)
B( x1, x , C(x2 , x ) ，则BC (x2 x , ( x x )) ，
1 2 1 2 1
4 4 4
1
2
BA (2 x1,3 x ) ，
1
4 ∵A, B, C 三点共线,
∴BC // BA. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4
分
∴ 1 1
2 2 2
x x 3 x x x 2 x ,
2 1 1 2 1 1
4 4
化简得：2(x x ) x x 12 . ①⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
1 2 1 2
由 2 4
x y , 即
1
2
y x , 得y
4
1
2
x . ⋯⋯⋯⋯
⋯ 6
分
1 x
2 1
∴抛物线C在点B 处的切线l 的方程为y x1 ( x x ) ，即
2 1 1
4 2
x 1
1 2
y x x . ②
1
2 4
x
1
2 2
同理，抛物线
C在点C 处的切线l 的方程为y x x . ③⋯⋯⋯⋯⋯8 分
2 2 2
2 4
设点P(x, y) ，由②③得：x 1 x 1 2 1 2 2
x x x x
1 2
2 4 2 4
，
而
1
x1 x ，则( )
x x1 x . ⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
2 2
2
代入②得
1
y x x ，⋯⋯⋯⋯⋯10 分
1 2
4
则2x x x ，4y x
1
x2 代入①得4x 4y12 ，即点P 的轨迹方程为y x 3 .
1 2
⋯⋯⋯⋯⋯11分若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C 上，而点P 又在直线y x 3上，
1 2 1 2 1
⋯⋯⋯⋯⋯12分∵直线y x 3经过椭圆C 内一点(3,0) ,
1
∴直线y x 3与椭圆C交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13
1
分
∴满足条件P F PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14
1 2 1 2
分
解法2：设点( 1 , y )
B x , C( x2 , y2 ) ，P(x0 , y0 ) ，
1
由 2 4
x y , 即
1
2
y x , 得y
4
1
2
x . ⋯⋯⋯⋯⋯
4分
x
1
∴抛物线C在点B 处的切线 1 x x
l 的方程为y y ( ) ，
1 2 1
2
即
x 1
1 2
y x y x . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5
1 1
2 2
分
∵ 1 x
2 1
y x ，∴y x y1 .
1 4 1
2
∵点( 0 , y )
P x 在切线
x
1
l 上, ∴y 0 1 . ①⋯⋯⋯⋯⋯ 6
x y
1
0 2
分
同理，
x
2
y x y . ②⋯⋯⋯⋯⋯7 分
0 2
0 2
x
综合①、②得，点B(x1, y ), C( x ,y ) 的坐标都满足方程x y
y0 0
1 2 2
2 ∵经过B( x1 ,y ),C(x , y )的直线是唯一的，
1 2 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分
x ∴直线L 的方程为x y
y0 0
2 ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分
∵点A( 2,3) 在直线L 上，∴y0 x0 3. ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∴点P 的轨迹方程为y x 3. ⋯⋯⋯⋯⋯11
分
若P F PF AF AF ，则点P 在椭圆C1 上，又在直线y x 3上，⋯⋯12 分
1 2 1 2
∵直线y x 3经过椭圆C 内一点(3,0) ,
1
∴直线y x 3与椭圆C交于两点. ⋯⋯⋯⋯⋯13
1
分
∴满足条件
PF PF AF AF 的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14
1 2 1 2
分
解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y k x 2 3，
由
y k x
2
,
x 4y
,
2 3 消去y ，得 2 4 8 12 0
x kx k . ⋯⋯⋯⋯⋯
4分
设B x , y , C x , y , 则
1 1
2 2 x1 x2 4k, x1x2 8k 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5
分
由 2 4
x y , 即
1
2
y x , 得y
4
1
2
x . ⋯⋯⋯⋯
⋯ 6
分
∴抛物线 C 在点B 处的切线
2
x
1
l 的方程为1(x x )
y y ，即
1 1
2
x 1
1 2
y x y x . ⋯7
分
1 1
2 2
∵ 1
2
y x ，∴
x 1
1 2 y x x .
1
1 4
1
2 4
同理, 得抛物线 C 在点C 处的切线
2
x 1
2
2
l 的方程为y x x . ⋯⋯⋯⋯⋯8
2 2
2 4
分
由
x 1
2
1 ,
y x x
1
2 4
x 1
2 2
y x x ,
2
2 4
解得
x x
1 2
x 2k,
2
x x
1 2
y 2k 3.
4
∴P 2k, 2k 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵P F PF AF AF ,
1 2 1 2
2 2
x y
∴点P 在椭圆
C1 : 1上. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分
16 12 2
2
2k 2k 3
∴ 1
.
16 12
2
化简得7k 12k 3 0.(*) ⋯⋯⋯⋯⋯12 分
由 2
Δ12 4 7 3 228 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
可得方程(*) 有两个不等的实数根
.∴满足条件的点P 有两个. ⋯⋯⋯⋯⋯14
分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础
知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以
及抽
象概
括
能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
（1）解：∵关于x 的不等式 2
f x 2m 1 x 1 m 的解集为m, m 1 ，
即不等式 2 1 2 2 0
x a m x m m 的解集为m, m 1 ，
∴ 2 1 2 2
x a m x m m x m x m 1 .
∴ 2 1 2 2 x a m x m m
2 2 1 1 x m x m m .
∴a 1 2m 2m 1 .
∴a 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
(2) 解法1: 由(1) 得g x f x
x 1
2 2 1
x x m m
x 1
x 1 x 1
.
m
∴x g x k ln x 1 x 1 k ln x 1 的定义域为1,.
x 1 2
x 2 k x k m 1
m k
∴(x) 1
. ⋯⋯⋯⋯⋯ 3
2 1 2
x
x 1 x 1
分
方程 2 2 1 0
x k x k m （*）的判别式
2 2
Δ 2 k 4 k m 1 k 4m . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2
2 k k 4m
①当m 0时，Δ0，方程（*）的两个实根为x 1,
1
2
2
2 k k 4m
x 1,⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2
2
则
x 1, x 时，(x) 0；x x2, 时，(x) 0 .
2
∴函数x 在1, x 上单调递减，在
2 x , 上单调递增. 2
∴函数x 有极小值点x. ⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
2
②当m 0时，由Δ0 , 得k 2 m 或k 2 m ，
2
2 k k 4m 若k 2 m ，则x1,
1
2
2
2 k k 4m
x 1, 2
2
故 x
1,
时，
(x) 0，
∴函数 x 在 1,
上单调递增.
∴函数 x 没有极值点 .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
若 k
2
m 时，
2
2
k k 4m
x
1, 1
2
2
2 k k 4m
x
1,
2
2
则
x , x 时， (x) 0；x
x 1, x 2 时， (x) 0 ；x x 2 , 时， (x) 0 .
1
1
∴函数 x 在 1, x 上单调递增，在
1
x , x 上单调递减，在
1
2
x ,
上单调递增. 2
∴函数
x 有极小值点 x ，有极大值点 2
x .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
8 分
1
综上所述, 当 m
0时， k 取任意实数 , 函数 x 有极小值点
x ；
2
当 m 0
时， k
2
m ，函数
x 有极小值点
x ，有极大值点
x 1 . ⋯ ⋯ ⋯ 9 分
2
(其中
2
2
k k 4m
x
,
1
2
2
2 k k 4m
x
)
2
2
解法 2: 由(1) 得
g x
f x x
1
2
2
1 x
x m
m
x
1
.
x
1 x 1
m ∴
x g x k ln x
1
x
1
k ln x
1 的定义域为1,
.
x
1
∴
(x) 1
x
m
k
1 2 1
x
2
x 2 k x k
m
1 2
x
1
.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ 3
分 若函数
x g x k ln x
1 存在极值点等价于函数 (x) 有两个不等的零点，且
至少有一个零点在 1,
上 .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4
分
令 (x)
2
x 2 k x k
m 1
2
x
1
,
得
2
2
1
x
k x
k
m 0 , (*)
2
2
则Δ 2 k 4 k m
1
k 4m
0 ,(**)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5
分
2
2
k k
4m
方程（ * ）的两个实根为x
,
1
2
2
2 k k 4m
x
.
2
2
设h x
2
2 1
x
k x k m ,
①若 x
, x
,则h 1
m 0 , 得 m
0, 此时 , k 取任意实数 , (**) 成立 .
1
1
2
1
则
x 1, x 时，
(x) 0； x
x 2,
时，
(x) 0.
2
∴函数 x 在 1, x 上单调递减，在
2
x ,
上单调递增.
2
∴函数
x 有极小值点 x .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
6 分
2
②若 x 1
1, x 2 1, 则
2
, h 1 m 0 k
. 1
2
得 m
k
0, 5.
又由 (**)
解得 k
2
m 或 k
2 m ,
故 k
2 m .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
则
x 1, x 时， (x) 0；x
x 1, x 2 时， (x) 0 ；x
x 2 ,
时， (x) 0 . 1
∴函数 x 在 1, x 上单调递增，在
1
x , x 上单调递减，在
1
2
x ,
上单调递增.
2
∴函数
x 有极小值点x ，有极大值点x .
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
2
1
综上所述, 当 m
0时， k 取任何实数 , 函数 x 有极小值点x ；
2
当 m
时， k
2 m ，函数
x 有极小值点
x ，有极大值点x . ⋯ ⋯ ⋯ 9 分
2
1
( 其中
2
2
k
k 4m
x
,
1
2
2
2 k k 4m
x
)
2
2
1
(2) 证法 1：∵ m
1， ∴ g x
x 1
. x
1 n n
1
1 n
n
∴ g x
1 g x
1
x
x
n
x
x
1 1
1
1 1 n
1 n 1
2 n 2
n 1
n
n
x
C x
C x
C x
C
x
n
n
2
n
n 1
n
n
n
x
x
x
x x
1 n 2
2 n 4
n 1 2 n
C x
C x
C x
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
n
n n
令 T
1 n
2 2 n 4
n 1 2 n
C x C x
C
x ，
n
n
n
则
T
n 1 2 n
n 2 4 n
1 n 2
C
x C
x
C x
n n
n
1 2 n
2 4 n n 1 n 2
C x
C x
C
x
.
n
n n
∵ x 0 ，
∴ 2T 1 n
2
2 n
2
n 4 4 n n 1 2 n n 2
C x
x C
x x C
x x
⋯ ⋯ 11
分
n
n
n
1
2
2 2
2
2
4 4
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
C
x x C
x x C
x x ⋯ 12 分
n
n
n
2 1 2 n 1
C C C
n n n
2 0 1 2 n 1 n 0 n
C C C C C C C
n n n n n n n
n
2 2 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
n
∴T 2n 2，即 1 1 2 2
n n
g x g x . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分
证法2：下面用数学归纳法证明不等式
n
1 1
n
x x
n
x x
n
2 2 .
①当n 1时，左边x 1 x 1 0
x x ，右边
1
2 2 0 ，不等式成立；
...
⋯⋯⋯⋯⋯10分
k
* )时，不等式成立，即1 1
k
②假设当n k ( k N
x x
k
x x
k
2 2 ，
则
k 1
1 1
k 1
x x
k
x x
1
k
1 1 1 1 1 1
k k k 1
x x x x x x
k k k x x x x x x
1
k
1 1 1
k
x x x
k
x x x
k
x
1
1
k
x
1
⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
1 1
k k 1
2 x 2 2 2 x
k
x x
1
⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
k . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分1
2 2
也就是说，当
n k 1时，不等式也成立.
n
* ， 1 n 1 2n 2
由①②可得，对n N g x g x 都成立. ⋯⋯⋯14 分
...。