利息基本计算实例分析PPT学习教案

为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是
将各个不同时刻的付款积累或折现到同一时刻， 再进行比较。这里提及的“同一时刻”常称为
“比较日”（comparison date）。
•比比较日较通日过的“选一择维：时间图”表示：
时间– 沿期一初维和正期方末向是度两量个，特付殊款的则比置较于日图。的其上它部中，间 而沿另时一刻个也方可向以的作付为款比则较在日图。的下部。比较期用
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解法二：时间单位＝半年。半年的实际利率为 j=4%, 取期末为比较日，则价值方程为
100(1 j)20 200(1 j)10 X 600(1 j)4
X 6001.044 1001.0420 2001.0410
186.76
100
01 23 4
5
6 7 8 9 10
200
资要多长时间才能翻倍。
i设利 0率.08 为1.i03，95,ln投2 资0.69额315为1，积累值为2，则：
ln(1 i) ln1.08
1.03950.69315 0.(721+i)t 2 t ln 2 ln 2 i
即t 0.72 72
ln(1 i) i ln(1 i)
i 100i
X
600
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解法三：时间单位＝半年。我们取第5年末为 比较日。价值方程为
100v10 200 Xv10 600v6
X
600v16
100v10 v10
200
600 0.53391100 200(0.67556) 186.76 0.45639
可以看出，不同比较日的计算结果相同，X=186.76。
收支相等原则一般地要衡量在多个时刻付款的总价值时一般地要衡量在多个时刻付款的总价值时总是先选取一个比较日期然后分别将各次付总是先选取一个比较日期然后分别将各次付款积累或折现到比较日期将调整到比较日的款积累或折现到比较日期将调整到比较日的计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做价值等式也称为价值等式也称为价值方程价值方程
注：大月日历日30日与31日被视为同一天；二月当月存 入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、 取出的，则按照30天计算。
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➢银行家利息法则(Banker's Rule) “实际投资天数/360” 按实际的投资天数计算，但一年设为360 天 说明：显然，该算法比上两种算法对贷款 方注有：利（。1）除非特别说明，总是假定起息日 与到期日不能同时计入利息计算期；
例5：投资1000元，在6年后累积到1600元，问每 季度计息的年名义利率为多少？
解：价值方程为
1000[1 i(4) ]24 1600 4
i(4)
4[(1600
)
1 24
1]
0.0791
1000
每季度计息的年名义利率为7.91%。
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二、用代数法求解价值方程中的i (一 般用于 n值较小 的情形 ) 。
解 1 t 200 1200 1500 4800 5.13年
：）
1500
2）价值方程
1为500vt 200v 400v3 300v5 600v8
vt 200v 400v3 300v5 600v8 0.785 1500
t=4.96年
20
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三、“72”算法
在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投
存期天数=360（2000–1999）+30（6-3）+（20- 11） = 360+90+9 = 459
例：存入日：1999 年6 月20 日 支取日：2000 年3 月11 日
存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261
100
200
500
01 23 4
5
6
7 8 9 10
x
100 200v2 500v6 = xv9
每“个收度支量相期等计”息原一则 次
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解价值方程的有力工具------时间流程图
时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面
的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应
时间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方） 。
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1.2.1 时间单位的确定（非整数时间 问题）
精确利息计算(exact simple or compound
➢
interest) “实际投资天数/年实际天数”(Actual/Actual) 按实际的投资天数计算，一年为365 天
➢ 普通利息计算(Ordinary simple/compound interest) ，一般用“30/360”
解：由题可知 f ( j) 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000
：j的第一次近似值j1=0.0321， f(0.0321)=-3.6930 由于，f(j)单调递增，试算： f(0.0322)=1.7590
介于2点间再用一次线性插值法得： j2=0.03218 f(0.03218)=0.18346，而f(0.03217)=-0.60402 介于2点间再用一次线性插值法得： j3=0.032178 故可得i(2) =2 j=0.064356。
； 元。
t
t1
t2
t3
……
tn
s1
s2
s3
s1 s2 sn
……
sn
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解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的 价值方程为
(s1 s2 sn )vt s1vt1 s2vt2 snvtn
得精确解为
t
ln
s1vt1 s2vt2 snvtn s1 s2 sn
100
200
X
01 23 4
5
6 7 8 9 10
600
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1.2.3未知时间问题 (unknown time)
一、一次付款的未知时间问题（主要采用对数法） 。
例3：以每月计息的年名义利率12%投资1万元， 若欲累计到1.5万元，需要几年时间？
解：设要n年，则价值方程为
10000[11%]n12 15000 (1.01)n12 1.5 log1.011.5 n12 40.75
例6：某人在第2年末支付2000元的现值与第4年末支 付3000元的现值之和为4000元，问实际利率是多少？ 解：价值方程为
2000v2 3000v4 4000 3v4 2v2 4 0 v2 2 22 43 4 0.868517
23 取正数则(1+i)2 v2 1.153388
实际利率为0.0730 %。
一个– 箭复头利表计示算。，最终计算结果与比较日的选取无
100
关。200
500
01 23 4
5
6
7 8 9 10
x
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一般地，要衡量在多个时刻付款的总价值时，
总是先选取一个比较日期，然后分别将各次付 款积累或折现到比较日期，将调整到比较日的 计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做 “价值等式”，也称为“价值方程” 。
假设每月有30天，一年为360天
这时，两个给定日期之间的天数的计算公式为
360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而
Y1、M1、D1、则分别代表存入日的年、月、日。
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例：存入日：1999 年3 月11 日 支取日： 2000 年6 月20 日
One
时间单位的确定
Two
价值方程
Three
等时间法
Four
利率计算
Five
实例分析
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4
§1.2 利息基本计算
一个利息问题包含四个基本的量： 1.原始投资的本金 2.投资经过的时间 3.利率
期初/期末计息：贴现率/利率 计息方式：单利/复利 利息结转频率：实际利率、名义利率、利息 力 4.本金在投资期末的累积值 其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值.
因此：需要n=3.4年
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二、多次付款的未知时间问题。
不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付 款之和的一次付款未知时间。（等时间法）
假设有两种投资方式
方式一：分别于t1,t2,,tn 投入s1, s2,, sn 方式二：在时刻 t 一次投入s1 s2 sn
若这两种的投资价值相等，求时刻 t。
（2）不是所有的利息计算都需要计算 天数(如银行储蓄、债券交易会涉及投资天 数的计算），许多金融业务是自动依月、 季、半年或一年进行的。
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1.2.2 价值方程
问题：多笔金融业务发生在不 同时刻，如何比较它们的价值？
在考虑利息问题时，在不同时 刻支付的金额是不能直接比较 的。因为经历的时间不同，资 金金额的变化也不同，也就说， 货币具有时间性，这就是所谓 的“货币的时第8页间/共3价9页 值”（time value of value）。
利息基本计算实例分析
会计学
1
利息理论
——利息基本计算
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教学目的：通过本节的学习， 使学生会用时间图建立价值方 程，从而求出原始投资的本金、 投资时期的长度、利率或本金 在投资期末的积累值。
教学方法：多媒体演示与黑板 板书相结合
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3
2021/6/21
Cont0
x
0
1
2
3
4
500
上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款
偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时
期末需付多少？符号 "" 表示比较日期。
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例2： 某人愿意立即支付100元，第5年末支付
200元，第10年末再支付X 元。作为回报，他在 第8年末得到600元。假定半年结算一次的年名义 利率为8％。请计算第10年末他应该支付多少？
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f
f (i)
线
i2
性
插
值
f (i0 ) 0
示
i1
i0
i2
i
意 图
f (i1 未知利率可用如下公式计算：
i0
i1 (i2
i1)
f
f (i1 (i2 ) f (i1
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例7：某人现投资1000元，3年后再投资2000元，若 10年后积累到5000元，求1年计息2次的名义利率？
使存款翻倍的时间长度
年利率% 4 5 6 7 8 10 12 18
72定律（年） 18 14.4 12
10.29 9 7.2 6 4
准确值（年） 17.67 14.21 11.9 10.24 9.01 7.27 6.12 4.19
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1.2.4 利率的计算
一、用带有指数和对数函数的计算器求i。
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三、线性插值法。对于积累函数的计算公式： A(t) A(0)(1 i)t
令 f (i) A(0)(1 i)t A(t) 若A(0), A(t)和t均已知, 求得一个i使得方 程为0,则相应的i就是所要确定的未知利率 线性插值方法如下： 先取i1和i2 , i1 i2 , f (i1 i2 0 必存在i0使得f (i0 ) 0,并且i1 i0 i2
解：设j=i(2)/2,由题意知价值方程为： 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000
令 f ( j) 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000 则所求的实际利率即为f(j)=0的解,由试凑法得：
f (0.030) 168.71, f (0.035) 227.17
利用线性插值可得j的近似值为
j 0.03 0.005
168.71
0.0321
227.17 168.71
故可得i(2) =2 j=0.0642或6.42%。
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四、迭代法 迭代法指通过多次线性插值求得数值结果的方法， 其结果能达到所需要的精度。以具体例题来说明。
例8：用迭代法重做上例题目，精度到小数点6位。
ln(v)
• 解法二（等时间法）：作为近似，t 常用各个付 款时间的加权平均来计算，
t'
s1t1 s2t2 sntn s1 s2 sn
s1 s
t1
sn s
tn
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例4：预定在第一、三、五、八年末分别付款200 元、400元、300元、600元，假设年实际利率为5%， 试确定一个付款1500元的时刻使这次付款与上面 四次付款等价。1）用等时间法；2）用精确方法。
解法一：时间单位＝半年。取期初为比较日。则 半年的实际利率为4％，贴现因子为v (1 0.04)1 ， 价值方程为
100 200v10 Xv20 600v16
100
200
X
01 23 4
5
6 7 8 9 10
600
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解得
X 600v16 100 200v0 v20
600 0.53391100 200(0.67556) 186.76 0.45639
以i=8%代入， 则可算得t 0.72 72 i 100i
即当i在8%左右时，有近似公式：t 0.72 72
称此式为72算法。
i 100i
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72“定律”是一个著名的规律，一方面因为它的简单易 用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生 较准确的结果。下表中列出了一些数据。