高中数学北师大选修学业分层测评 + 截面欣赏 直线与球平面与球的位置关系 含解析

学业分层测评(十)
§1截面欣赏
§2直线与球、平面与球的位置关系
2.1 直线与球的位置关系
2.2 平面与球的关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.正方体的表面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是()
A.πa
3 B.
πa
2
C.πa
D.2πa
【解析】设正方体的棱长为x，则a＝6x2，而球半径R＝
3
2x，∴S球
＝4πR2
＝3πx2＝πa
2.
【答案】 B
2.把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为()
A.1
3R B.
3
3
3R
C.3
25
5R D.
3
3R
【解析】设较小球半径为r，则另一球半径为2r，
∴4
3πr
3＋43π(2r)3＝43πR3，
∴r 3＝19R 3，∴r ＝3
33R . 【答案】 B
3.(全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
【导学号：96990046】
A.4π
B.9π2
C.6π
D.32π3
【解析】 设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－10
2＝2，∴R ≤2.
又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43π⎝ ⎛⎭
⎪⎫323＝9
2π.故选B.
【答案】 B
4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为( )
A.2∶3∶5
B.2∶3∶4
C.3∶5∶8
D.4∶6∶9
【解析】 设球的半径为1，则球的外切圆柱的底面半径为1，高为2；球的外切等边圆锥的底面半径为3，高为3，所以球的体积为V 1＝4
3π，圆柱的体积为V 2＝π×12×2＝2π，圆锥的体积为V 3＝1
3×π(3)2×3＝3π，所以V 1∶V 2∶V 3＝4
3π∶2π∶3π＝4∶6∶9.
【答案】 D
5.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1
6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为( )
A.4 3
B.2 3
C.2
D. 3
【答案】 B
二、填空题
6.平面α与球O相交，交线圆圆心为O1，若OO1＝3，交线圆半径为4，则球O的半径为________.
【解析】设球O的半径为R，由题意知R2＝32＋42＝25，∴R＝5.
【答案】 5
7.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________.
【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝(3)2＋(3)2＋(3)2＝9，
∴外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.
【答案】9π
8.如图2-1-7所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________.
图2-1-7
【解析】∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴DA⊥BC，DA⊥AC.
又BC⊥AB，AB∩DA＝A，
∴BC⊥平面ABD，
∴BC⊥DB，
则DC的中点即为球心O.
又DA＝AB＝BC＝3，
∴AC ＝6，DC ＝3，
∴球O 的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323
＝9π
2.
【答案】 9π
2 三、解答题
9.已知半径为R 的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离.
【解】 设四个球的球心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R ，如图作O 1H ⊥面O 2O 3O 4，垂足为H ，则O 1H 为棱锥的高.
连接O 4H ，则O 4H ＝23
3R . ∵△O 1HO 4为直角三角形， ∠O 1HO 4＝90°， ∴O 1H ＝26
3R ，
∴从上面一个球的球心到桌面的距离为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
263＋1R .
10.若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高.
【解】 如图，设正四面体边长为x ，设球半径为R . ∴AH ＝3
3x,4πR 2＝36π. ∴R ＝3，在Rt △AHS 中， SH 2＝SA 2－AH 2， ∴SH 2＝x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫33x 2＝2
3x 2，
⎝ ⎛⎭⎪⎫ 23x －R 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33x 2
＝9， ∴x ＝26
∴SH ＝4，故正四面体的高为4.
[能力提升]
1.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为( )
A.R
B.12R
C.13R
D.23R
【答案】 C
2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R ，高为20R 的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为R 的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为( )
A.12
B.13
C.24
D.26 【解析】 设A ，B 为同一层球的球心，C ，D 为相邻一层的球心，这四个球心A ，B ，C ，D 的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF (如图所示).
易求得EF ＝2R ，20R －2R
2R ＝12.7.
共13个“间隔”，即共放了13层， ∴13×2＝26.
∴该筐最多可放篮球的个数为26. 【答案】 D
3.如图2-1-8所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内
放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是__________.
图2-1-8
【解析】 由题意，轴截面P AB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半径为3r ，容器内水的体积就是V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r －4
3πr 3＝53πr 3.
将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面半径为3
3h . 此时容器内水的体积为V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫
33h 2·h
＝19πh 3.由V ＝V ′，得h ＝3
15r . 即铁球取出后水深为3
15r .
4.在球面上有四点P ，A ，B ，C ，若P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积和表面积.
【解】 由P A ⊥PB 可知P ，A ，B 确定一个平面，设它与球O 的交线为⊙O 1，由于P A ⊥PB ，故AB 是⊙O 1的直径，且
AB ＝
AP 2＋BP 2＝2a .
∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ， ∴PC ⊥平面P AB . 又OO 1⊥平面P AB ， ∴OO 1∥PC .
过OO 1，PC 作平面α交球面为大圆O ，设⊙O 与⊙O 1的另一个交点为Q ，
则直线PQ是平面α与平面P AB的交线，点O1∈PQ，连接CQ，在⊙O中，∵PC⊥PQ，∠CPQ为直角，
∴CQ为⊙O的直径.
设⊙O的半径为R，即球O的半径为R，在Rt△CPQ中，
CQ＝PC2＋PQ2
＝a2＋(2a)2＝3a，
∴2R＝3a，
即R＝3
2a，
∴V球＝4π
3(
3
2a)
3＝32πa3，
S球＝4π(
3
2a)
2＝3πa2.。