用二分法求方程的近似解教学反思08

《用二分法求方程的近似解》教学反思在新的高中数学课程必修1的第2章《函数概念与基本初等函数》中新增了“用二分法求方程近似解”的内容，在对这部分内容进行教学实践的探索中有一些思考与感悟，整理成文与大家分享。

1．教材分析
教科书将“用二分法求方程的近似解”的内容安排在完成了函数的基本知识、指数函数和对数函数之后，是在介绍了函数与方程的基础上提出来的。

函数与方程是利用函数的图象，通过数形结合处理方程的方法，是研究一般方程的近似解的基础。

二分法求方程的近似解它也是必修3中算法应用的范例，为学生进入大学进行计算方法学习提供了初步的认识。

教科书（以苏教版）中先以简单的二次函数f（x）＝x2－2x－1为例，结合图像提出零点的概念，认识函数零点附近函数值的特点。

通过提问：如何缩小函数f（x）的零点或方程f（x）＝0的解所在区间？引导学生认识取中点的二分法思路。

然后通过例题1，借助于计算器不断缩小解所在的区间，直到所寻找的区间两端点的值都在所要求的解的精确范围内时，得到近似解。

再由例2求超越方程lgx＝3－x的近似解。

第2课时让学生体验借助计算机中的Excel软件、几何画板软件来研究方程的近似解，并学习用计算机来探讨学习数学的方法。

教科书中的安排内容丰富、手段多样化、现代化，充分体现了用现代技术方式学习数学、解决问题的新的课程概念，并且培养了学生二分法求方程近似解的技能。

2．过程实施
在二分法求方程的近似解的教学过程中，我们让学生经历了“问题情境——方法探索——方法步骤实施——归纳总结、建构数学知识——拓展应用”等五个主要过程。

（1）问题情境
首先提出问题：你会求一元三次方程 x3－3x＋1＝0 的根吗？如何求 lgx＝3－x的近似解？让学生产生在没有现成公式的情况下如何求解的困惑及希望求出解的心理需求。

（2）方法探求
退一步，研究方程x2－2x－1＝0在区间（2，3）上的根。

观察函数f（x）＝x2－2x－1的图象，有f(2)＜0，f(3)＞0，从而f(2)f(3)＜0，进而产生缩小方程的根所在的区间的想法。

学生很容易想到将区间“长度”缩小一半的二分区间方法。

组织学生交流：关键是确定方程的根应该在所分的两个区间的哪一个内。

归结为两个区间端点的函数值 f（a）与f（）以及f（）与f（b）中乘积为异号的就是所找的区间，突破了这一点，下一步再用同样的方法进一步缩小根所在的区间，就很容易了。

（3）步骤掌握
通过实例、强化方法的步骤，并且感受到逐次逼近的思想。

其中的一个难点是：何时结束？教科书中是让学生认识，当逼至解的区间的两个端点值在预定精确度下相等时，这个等值即为方程的近似解。

这里的另一个问题是教学中计算f（）时使用计算器的技术问题。

由于学生的计算器不完全一样，有的不能重复用f（x）的算式，显然计算不便捷。

这对渗透使用计算机编程操作留下了较好的学习发展空间。

（4）知识建构
在归纳二分法的方法步骤过程中，要让学生说明每一步骤的操作特点，注意其中的算法思想，如包含的循环结构、条件结构以及循环次数限制条件等要素，教材在P78中通过练习而提出的。

教学中要组织学生展开讨论、补充后再归纳，并且概括，最好能以框图形式来描述。

（5）应用拓展
对于二分法的应用首先是巩固性的应用，如例1、例3；其次是拓展性的应用，如例3、例4、例5以及其中的探索。

在自己的实际教学中，例2是让学生自主学习解决，例3使用Excel软件绘图功能，课堂上现场操作演示，结合图象观察确定根的初始区间，然后让学生验证，采用二分法求出近似解。

例4使用了“图形计算器”非常便捷地绘出图形、猜测近似
解。

例5 使用了“几何画板”软件事先作出了相应的图形，主要是让学生理解用图象来定性确定解的个数（可以证明：a>1时，时，方程无解，时，方程有唯一解；
时，方程有两解。

）
在探究性问题“ 当0＜a＜1时，方程ax＝logax只有一个解吗？”的教学中，先让学生自行探索，学生由于作图粗糙，又不能变化的局限下得出只有1解的错误结果之后，再展示动画（使用几何画板软件）观察去直观发现，认识到不仅一定有1解，还能发现会有3解，这是有3解的情况不借助于计算机是很难发现的，这种对比使学生感受到现代化工具对数学学习的价值与作用，激发他们使用计算机、计算器去探究学习的兴趣，改变学生学习数学的态度与方式。

3．对“二分法”的若干问题的认识。

（1）二分法求方程近似解的条件
对于在［a, b］上连续的函数y ＝f（x）, f（x）在区间（a, b）内有零点的一个充分条件是f（a）f（b）< 0 。

用二分法求方程的近似解不能解决方程（函数）有偶次重根时的问题，如f（x）＝（x－1）2 在包含零点1的任何区间［a, b］上，都有f（a）f（b）＞0。

因而f（a）f（b）＜ 0 是连续函数在（a, b）存在零点的一个充分条件，不是充要条件。

这点教学中要通过实例让学生了解。

（2）二分法中区间端点的确定
若在［a, b］上的连续函数f（x）满足f（a）f（b）＜ 0，则f(x)在（a,b）上有零点。

在二分法求近似解过程中，计算f（），如何确定逼近后的区间是(a, )，还是（，b）呢？教学中要让学生去认识对于f（）存在着f（）＝0和f（）≠0这两种基本情况。

在f（）＝0时，就是方程的根；当f（）≠0，再由f（）·f（a）或f（）·f（b）的符号判断出根的区间是（，b）或是（a，）；并且启发学生体会怎样让计算机去操作，为什么需要用赋值语句作替换a＝或b＝。

这里所包含的程序化思想，基本程序的结构，循环结构等算法要予以恰当的渗透。

（3）方程近似解的初始区间的确定
教材中都是通过图象方式观察而得方程的解的初始区间，因而如何作出函数图象进行观察，往往是解决问题的前提；工具的选择自然就是重要的一个方面。

要鼓励学生采用计算机、计算器帮助自己观察、探索、发现，提高学生使用现代科学技术手段解决问题的意识以及必要的技能，克服囿于传统工具解决问题的狭隘意识。

同时让学生认识到，观察的结果一定要通过数学计算验证才能做为进一步推理（计算）的基础的正确数学思维方式，培养学生使用现代工具观察、操作、推理、归纳等思维品质。

（4）二分法操作的终止
在实际问题求方程的近似解，都存在着预定精确度的限制问题，这是这类问题求解的另一个重要因素。

这里涉及到误差以及误差范围限制等问题。

实际上若x0∈(a, b)，设预定误差ε，则 | x0－a|＜，| x0－b|＜时，有|a－b|＜，当a.b达到了预定精确度时，a,b及（a,b）内的任何数都是方程符合要求的近似根，通常取x0＝作为方程的近似解。

对于这一点，教学中是一个难点，可不必要求理解，而是要学生掌握具体的操作即可，但要强调它的重要性。

4．二分法求方程近似解的教学价值。

（1）解决了不能用公式求解的一般方程求近似解的方法，为学生解决实际问题提供了数学保障。

（2）进一步加强学生数形结合的数学思想。

（3）为算法学习（必修3中的范例）提供了基础。

（4）让学生初步体验到现代技术手段的先进性和掌握现代技术的重要性，以此激发学生学数学、用数学的热情。

同时提高了教师对现代教育手段的认识，促进了教师改进教学方法。

“二分法求方程近似解”是体现新课程科学性与时代性相结合、知识性与教育性相结合、理论性与实践性相结合的重要内容。

在教学实践中，使我们对新课程标准有了许多新的认识，也给我们带来了很多新的值得思考和探索的课题。

让我们在新课程给予我们教师留下发展空间中，与学生一起去体验，一起感悟，一起成长。