《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节-27页PPT资料

2.伯努利大数定理（频率的稳定性）
定理 设 f A 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，
p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数
证明,恒：有设Xk为第lni km次P试验fn中A 事p件A出现的1次数k=1,2,…,n，
则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布
又EXk = p, DXk =p（1-p）i=1,2,…，n
由切比雪夫不等式得
1n
1n
lni m P(|nk=1Xk-ni=1p|<ε)=1
即l n i m Pfn (A ) p 1
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内容小结
1. 理解方差的定义： D (X)E [XE(X)2].
次，得n个测量值 X1,X2,,Xn，它们可以看成是n个相互独
立的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望μ和方
差 2，由弱大数定理1知，只要n充分大，则以接近于1的概
率保证


1 n
n i 1
Xi
这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定 律。
比弱大数定理1条件更宽的一个大数定D律X i是辛钦Khintchine） 大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制， 而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。
3
C.P(| Xi 3|)12 i1
3
D.P(| Xi3|)132 i1
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分析 (1) 由 X~B(n, p)得：
E(X)np2.4 D(X)npq1.44
解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B.
( 2 ) 由 X ~ P () ,E (X ) D (X ) .
② 利用方差的简化公式：D (X)E(X2)[E(X)2];
③ 利用方差的性质； ④ 利用常见分布的方差.
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备用题
1. 判断正误： (1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( ) (2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，
方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ) (3) 随机变量X的方差越小，X取值越集中， 方差越大，X取值越分散。( ) 答案: (1) X; (2) √; (3) √.
③ 若X～U(a, b), D(X)(ba)2 ;
12
④ 若 X~e(),D(X)12;
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4. 方差的计算方法
① 利用方差的定义: D (X)E [XE(X)2].
D(X)i [x[xi EE((XX))]2]2pf((xxi))d, ,x离 连散 续型 型
解： 设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得
E (X ) 7 3 0 0 , D (X )2 7 0 0 2
P (5 2 0 0X9 4 0 0 ) P ( 5 2 0 0 7 3 0 0 X E ( X ) 9 4 0 0 7 3 0 0 )
P(|X-E(X)|<ε)1-D ε(2 X)
又X1, ,Xn是 独 立 的 ，
D(n 1kn =1Xk)n 12kn =1D(Xk)n12n21 n 2
根据切P比(|雪n 1k 夫n =1不X等k-式得|<P ε)(|X 1--nE 2(2X )1 |(ε当 )n 1 D时 ε()2X )
x
1
dx =0 1x2
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(由 于 y=x 1 在 [-1,1]是 奇 函 数 ) 1-x2
D(X)E(X2)[E(X)2 ] E(X2)
1 1 x2 1 dx
1 1x2
令 xsin,()
22
原式=
1


2

sin2Biblioteka d21
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4.设X的分布函数为
0,x1; F(x) abarcsinx,1 x 1;
1, x 1.
试确定常数a, b, 并求 E(X)与D(X).
解：分布函数F(x)在(-∞, +∞)处处连续，故
F(x)在x=-1和x=1处连续, 有
xxll i imm11FF((xx))FF(1() 1)
则由马尔可夫不等式得
P {X [ E (X )2] 2 } E [X E 2(X )2] D (X 2)
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2
另一形式：P(|X-E(X)|ε)
1

D(X ε2
)
注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计
P(|X-E(X)|)的方法；
(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度,
A. -1； B. 2； C. 1； D. 3
( 3 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 ,, X n 独 立 ， 且 服 从 同 一 分 布 ，
数 学 期 望 为 ， 方 差 为 2 ， 令 X1 ni n 0X i,则
E(X),D (X)分 别 为 ()
A .,2 ; B .n ,2 ; C .,2 ; D .n ,2
X 012 P 0.8 8/45 1/45
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根据定义, 随机变量X的数学期望为
E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9. E (X 2)020 .8 1 282214
45 4515 故X的方差为
D(X)E(X2)[E(X)2]88 405
9
(3 )若 X 1 ,X 2 , ,X n 相互 C 1 , C 2 , 独 , C n 为 立 则 常 ,
n
n
D( CiXi) Ci2D(Xi).
i1
i1
(4) 对于任意实数C∈R，有 E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
又 当 n 时 ， 得 ln i m P (|n 1k n = 1X k- )|< ε) 1 lni m P(|n 1kn =1Xk-|<ε)1
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弱大数定理1使我们关于算术平均值的法则有了理论上
的依据。如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n
P ( 2 1 0 0 X E ( X ) 2 1 0 0 ) P(XE(X)2100)

1
D(X ) 21002

1
7002 21002
1 (1)2 3

8. 9
即P(5200X9400)8. 9
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样本平均数稳定性定理(弱大数定理1)
定理 设X1，X2，…，Xn，…相互独立且服从
(5) 若E(X) 与 D(X) 存在，对于任意的正数 ， 有
P(|X-E(X)|) D ( X ) .
2
或 P(|X-E(X)|) 1

D(X
2
)
.
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3.熟悉一些常见分布的方差
① 若X～B(n, p), D(X) = npq;
② 若 X~P ()D ,(X );
由
P(|X-E(X)|)
1

D(

X
2
)
,
可知: D(X)越小
(即X偏离E(X)程度越小), P(|X-E(X)|)越大，
(表明X取值越集中在E(X)的附近)；
(3) 它是大数定律的理论基础.
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3
例10. 已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在5200~9400之间的概率.
第五节 切比雪夫不等式与大数定律
马尔可夫（Markov）不等式 设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望
E(X),则对于 ， 任意正数ε，有
证：
P(X)E(X)
仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x),
E(X)



xf(x)dx x(fx)d x x(fx)dx
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2.选择题
( 1 ) X ~ B ( n , p ) , E X 2 . 4 , D X 1 . 4 4 , 则 n , p 为 ( )
A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1
( 2 ) 设 X ~ P ( ) , 且 E [ ( X 1 ) ( X 2 ) ] 1 ， 则 ()
2
. n
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(4)由题（3）知：
E(1 3
3 i1
Xi )


1;
D(1 3
3 i1
Xi )
2
3
1. 3
3
3
且 E( Xi) 3 3; D( Xi) 32 3.
i1
i1
根据切比雪夫不等式，应选D
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3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品, 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品, 则扔掉重新任取一只; 如仍然是废品, 则扔掉再取 一只. 试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的 方差（续）. 解：设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则 X的概率分布为
同一分布，并具有数学期望 E(Xk) 及方差
D (Xk)2(k，1,2, ).作前n个变量的算术平均
1 n
n k 1 X k
则对于任意正数
，恒有
1 n
lni mPnk1Xk
1

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证：
E (n 1kn = 1X k)n 1kn = 1E (X k)1 nnlni m P(|n 1kn =1Xk -|<ε)=1

2

2
1cos2d
2
1 2
.
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5. 设
X~e()求 , P [XD (X)].
解：随机变量X的分布函数为
1ex, x0; F(x)
0, x0.
由于D(X)12 ,
P(X DX)1P(XDX )
1
P(
X

1

)
1

F
(
1

)
1（1e1） e 1 .
E (X 2 ) D (X ) [E (X )]22 .
E[(X1)(X2)]E[X23X2] E(X2)3E(X)2
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2 3 2 2 2 2 1 即(1)2 0, 1.
故选 C.
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2. 熟悉方差的性质: (1) D(C)0, C为常； 量
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
(3 )若 X 与 Y 相互 ， 且 D 独 (X )与 D 立 (Y )存 ， 则 在 D (X Y ) D (X ) D (Y ).
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__
（3）E(X)

E(1 n
n i1
Xi )

1 n
n
E(
i1
Xi )

1 n
n i1
E(Xi )

1 n
n i1


;
D(X)
D(1 n
n i1
Xi )

1 n2
n
D(
i1
Xi )
故选 C.
1
n2
n i1
D(Xi
)

1 n2
n
2
i1
0abarcsin1()

1abarcs1in
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即

a

a

2
b b

0 1
2
解方程组得 a 1 , b 1 . 2
X的概率密度函数为

f (x) F(x)
1 ,1x1; 1x2
0,其它.
11 1
E(X)
n
n
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(4) 设 X 1 ,X 2 ,X 3 相， 互 E ( X i) 1 ,D 独 ( X i) 1 ,( i 立 1 ,2 ,3 )
则对于任意给定0的 ，有()
3
A.P(| Xi 1|)12 i1
B.P(|1 3i 31Xi 1|)12
0
0



xf(x)dx

f
(x)d
x
f (x)dxP(X)



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(切比雪夫不等式):
设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,
对于任意的正数ε, 有
P(|X-E(X)|ε)
D(X ε2
).
证： 因 |X 为 E (X )|等[X 价 E (X ) 于 2] 2