向量运算、复数运算、算法、合情推理
高考数学常以客观题形式考查的几个问题平面向量复数框图及合情推理理试题
卜人入州八九几市潮王学校专题一常以客观题形式考察的几个问题第2讲平面向量、复数、框图及合情推理真题试做1．(2021·高考，理1)假设复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，那么z为()．A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．(2021·高考，理3)如下列图，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．A．3B．4 C．5D．83．(2021·高考，理11)假设(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b R，i为虚数单位，那么a＋b＝__________.4．(2021·高考，理11)观察以下不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……照此规律，第五个不等式为____________________．5．(2021·高考，理7)△ABC为等边三角形，ABP，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λR.＝－，那么λ＝()．假设BQ CPA.B.C.D.考向分析本局部内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或者中档题，对平面向量的考察重点是应用或者与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考察主要是复数概念、复数四那么运算和复数的几何意义；对框图的考察主要以循环构造的程序框图为载体考察学生对算法的理解；对合情推理的考察以归纳推理为主，考察学生的观察、归纳和类比才能．热点例析热点一平面向量的运算及应用(1)(2021·高考，理14)假设平面向量a，b满足|2a－b|≤3，那么a·b的最小值是__________．(2)向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．假设a－2b与c一共线，那么k＝__________.规律方法1.平面向量主要考察：(1)平行、垂直的充要条件；(2)数量积及向量夹角；(3)向量的模．2．解决此类问题的方法主要有：(1)利用平面向量根本定理及定义；(2)通过建立坐标系进展坐标运算．变式训练1在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，那么 的最小值为__________．PA PB3热点二复数的概念与运算(1)(2021·高考，理1)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，那么z＝()．A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i(2)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限规律方法1.处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；2．掌握复数的四那么运算规律及i n(n N*)的结果．变式训练2＝b＋i(a，b R)，其中i为虚数单位，那么a＋b＝()．A．－1B．1 C．2D．3热点三算法与程序框图(2021·石景山一模)执行下面的程序框图，假设输入的N是6，那么输出p的值是()．A．120B．720 C．1440D．5040规律方法对本局部内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或者将框图补充完好．变式训练3如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，那么空白框内应填入的条件是()．A．i>10B．i<10C．i>20D．i<20热点四合情推理的应用设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝__________.规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进展综合分析，归纳发现其一般结论，假设已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．变式训练4在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________．思想浸透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归思想方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题．(2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(3)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．【典型例题】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设＝m，＝n(m，n>0)，那么＋的最小值为()．A．2B．4 C.D．9解析：连接AO，那么1111,222AB ACMO AO AM AB AB ACm m+⎛⎫=-=-=-+⎪⎝⎭同理11122NO AC ABn⎛⎫=-+⎪⎝⎭.因为M，O，N三点一共线，所以1111112222AB AC AC AB m nλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1110 2222AB ACm nλλλ⎛⎫⎛⎫--+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于,AB AC不一共线，根据平面向量根本定理，得－－＝0，且－＋＝0，消掉λ，即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥×(5＋4)＝，当且仅当n＝2m时，取等号．应选C.答案：C1．复数(i是虚数单位)的虚部是()．A.B.iC.D.i2．设a，ba＝－b，那么|a|＝|b)．A．假设a≠－b，那么|a|≠|b|B．假设a＝－b，那么|a|≠|b|C．假设|a|≠|b|，那么a≠－b D．假设|a|＝|b|，那么a＝－bQ为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b R，那么a－b＝0a＝b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b＝0a＝b〞；②“假设a，b，c，d R，那么复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d Q，那么a＋b＝c＋d a＝c，b＝d〞；③“假设a，b R，那么a－b>0a>b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b>0a>b〞．其中类比得到的正确结论的个数是()．A．0B．1 C．2D．34．(2021·高考，理8)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)．将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，那么点Q的坐标是()．A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)参考答案真题试做1．A解析：设z＝a＋b i，a，b∈R，那么z(2－i)＝(a＋b i)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以解得所以z＝3＋5i，应选A.2．B解析：由程序框图依次可得，x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→输出y＝4.3．4解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.4．1＋＋＋＋＋＜解析：由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋＜.所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.5.A解析：设AB＝a，AC＝b，那么|a|＝|b|＝2，且〈a，b〉＝.=-＝λa－b.=-＝(1－λ)b－a，CP AP ACBQ AQ AB⋅＝［(1－λ)b－a］·(λa－b)BQ CP＝［λ(1－λ)＋1］a·b－λa2－(1－λ)b2＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－.即(2λ－1)2＝0，∴λ＝.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】(1)－解析：∵|2a－b|≤3，∴4a2＋b2≤9＋4a·b.∵4a2＋b2≥4|a||b|≥－4a·b，∴9＋4a·b≥－4a·b.∴a·b≥－.(2)1解析：由于a＝(，1)，b＝(0，－1)，∴a－2b＝(，3)，而c＝(k，)，且(a－2b)∥c，∴有×＝3×k，解得k＝1.【变式训练1】5解析：如图，设PC＝x，PD＝y.∴＝＝－xy＋2，因此＝由于∠ADC ＝∠BCD ＝90°，从而PA ＝，PB ＝.又,.PA PD DA PB PC CB =+=+，∴()()PA PB PD DA PC CB ⋅=+⋅+ ＝PD PC PD CB DA PC DA CB ⋅+⋅+⋅+⋅＝－xy ＋2， 因此()233PA PB PA PB +=+ 2269PA PA PB PB +⋅+＝＝ ＝≥5，当且仅当3x ＝y 时取最小值5.【例2】(1)D 解析：由题意可得，z －i ＝＝＝2＋i ，∴z ＝2＋2i.(2)D 解析：∵z ＝＝＝＝－i ，∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限．【变式训练2】B 解析：∵＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝－1＋b i.∴a ＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝1.【例3】B 解析：当k ＝1，p ＝1时，p ＝p ·k ＝1,1<6，满足；当k ＝2，p ＝1时，p ＝p ·k ＝2,2<6，满足；当k ＝3，p ＝2时，p ＝p ·k ＝6,3<6，满足；当k ＝4，p ＝6时，p ＝p ·k ＝24,4<6，满足；当k ＝5，p ＝24时，p ＝p ·k ＝120,5<6，满足；当k ＝6，p ＝120时，p ＝p ·k ＝720,6<6，不满足，输出p 为720.【变式训练3】A 解析：由表达式＋＋＋…＋的最后一项的分母为20可知，流程图中循环体退出循环时的n 的值应当为22，i 的值是11，其循环体一共循环了10次，即判断框内可填的条件可以为n >20？或者i >10？，故应选A.【例4】解析：由于f 1(x )＝，f 2(x )＝，f 3(x )＝，f 4(x )＝，还可求得f 5(x )＝，由以上结果可以发现：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )的表达式都是分式的形式，分子上都是x ，分母上都是x 的一次式，其中常数项依次为2,4,8,16,32，…，可知其规律是2n 的形式，而x 的一次项的系数比常数项都小1，因此可得f n (x )＝(n ∈N *且n ≥2)．【变式训练4】过原点的平面创新模拟·预测演练1．C 解析：＝＝＝＋，所以虚部为，选C.2．D 解析：假设p 那么qq 那么p .应选D.3．C 解析：①②正确，③错误．4．A 解析：设OP 与x 轴正半轴的夹角为θ，那么cos θ＝，sin θ＝，那么由三角函数定义可得，33cos ,sin 44OQ OP OP ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵3cos 4OP πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝×＝10×＝－7，＝×＝10×＝－，∴OQ ＝(－7，－)，即点Q 的坐标为(－7，－)．。
2013届高三数学(理)寒假作业(2)向量运算与复数运算、算法、合情推理
高三数学寒假作业（二）向量运算与复数运算、算法、合情推理一、选择题1.(2012²哈尔滨模拟)已知复数12z 1z 2i,==则12z z ∙等 于( )(A)8 (B)-8 (C)8i (D)-8i2.如图所示的程序框图，执行后的结果是( )(A)34 (B)45 (C)56 (D)673.若复数21a i z i-= (i 是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)±14.已知非零向量a ，b 满足向量a +b 与向量a -b 的夹角为,2π那么下列结论中一定成立的是( )(A)|a |=|b | (B)a =b (C)a ⊥b (D)a ∥b5.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是( )(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-36.设复数2z 1i=+ (其中i 为虚数单位)，则2z 3z +的虚部为( )(A)2i (B)0 (C)-10 (D)27.已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a =i +2j ，b =-i +λj , 且a 与b 夹角为钝角，则λ的取值范围是( )(A)1()2-∞， (B)1()2+∞，(C)1(2)(2)2-∞-- ，， (D)22(2)()33-+∞ ，，8.(2012²青岛模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填( )(A)3？ (B)4？ (C)5？ (D)6？9.定义：|a ³b |=|a |²|b |²sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |=2, |b |=5,a ²b =-6,则|a ³b |等于( )(A)-8 (B)8 (C)-8或8 (D)6 10.已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG 2.GD=若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题11.(2012²新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |=1，2-=a b 则|b |=____________.12.(2012²日照模拟)设命题p ：非零向量a ，b ，|a |=|b |是(a +b )⊥(a -b )的充要条件;命题q ：平面上M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使22MA sin MB cos MC =α+α ，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；p q;p q.⌝∧⌝∨③④ 其中假命题的序号是_____________.(将所有假命题的序号都填上) 13.如果执行下面的程序框图，那么输出的S=__________.14.(2012²潍坊模拟)已知22334424,39,416,,33881515+=⨯+=⨯+=⨯⋯观察以上等式，若999k m n+=⨯ (m,n,k 均为实数)，则m+n-k=____________.高三数学寒假作业（二）1. C.2.C.3.C.4. A5. D6. D.7.C.8. B.9. B. 10. C.设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d,则由题意知d=OM,设各个面的面积为S ，则由等体积法得：114S OM S AM 33∙⨯⨯=， 4OM= AM=AO+OM ，从而AO 33.OM 1==11.【解析】2-=a b (2a -b )2=10⇔4+|b |2-4|b |cos 45°=10⇔=b 答案：12.【解析】(a +b )⊥(a -b )⇔(a +b )²(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0⇔|a |=|b |， 故p 是真命题.若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ，使()MA xMB yMC x y 1=++=；若22MA sin MB cos MC =α+α ，则A ，B ，C 三点共线.故q 是假命题.故p ∧q ，p q,p q ⌝∧⌝∨为假命题.答案：①③④13.【解析】第一次循环：S=0+2=2,k=2；第二次循环：S=2+4=6,k=3；第三次循环：S=6+6=12,k=4；第四次循环：S=12+8=20,k=5；k=5>4,循环结束，输出S=20.答案：2014.【解析】观察所给等式知，m=92-1=80,k=92=81,n=m=80，故m+n-k=79.答案：79。
高考数学复习集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式3算法框图与推理课件文
必考点三 算法、框图与推理
[高考预测]——运筹帷幄 1．根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程． 2．以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理．
[速解必备]——决胜千里 1．程序框图中有 S＝S＋2i－112i＋1，i＝i＋1 时，表示数列裂 项求和． 2．程序中有“S＝S＋2n＋n，n＝n＋1”表示等比数列与等差数列 求和．
[速解方略]——不拘一格 类型一 求算法与框图的输入或输出值
[例 1] (1)执行下面的程序框图，如果输入的 t＝0.01，则输出的 n ＝( C )
A．5 C．7
B．6 D．8
解析：基本法：逐次运行程序，直至输出 n. 运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1， S＞0.01； 运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2， S＞0.01； 运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S＞0.01； 运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S ＞0.01；
速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解． 框图功能为求和，即 S＝1＋21＋22＋…＋2n－1. 由于 S＝1×1－1－22n＝2n－1∈(10,20)， ∴10<2n－1<20，∴11<2n<21， ∴n＝4，即求前 4 项和． ∴判断框内的条件为 k>4，即 n＝4.故选 B. 答案：B
方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳 出循环得出结果． 2．速解法是归纳 S＝S－m 的运算规律利用数列求和进行估算，稍 简单一点．
(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14,18，则输出的 a＝( B )
复数与向量的运算
复数与向量的运算复数与向量是数学中的重要概念，在不同的数学领域和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨复数和向量的基本概念以及它们之间的数学运算。
第一部分：复数的定义和运算复数由实部和虚部组成，可以用二维数学对象来表示。
复数具有以下的形式：z = a + bi (其中a和b为实数，i为虚数单位)。
在复数中，实部和虚部可以分别进行加法和减法运算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的和为z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，差为z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
第二部分：复数的乘法和除法复数的乘法涉及到实部和虚部的乘法计算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘积可以通过以下方式计算：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来实现：z1 / z2 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + (a2b1 -a1b2)i / (a2^2 + b2^2)。
第三部分：向量的定义和运算向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为一组有序实数或复数。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法可以通过将对应分量相加来实现。
假设有两个向量v1 = (x1, y1, z1)和v2 = (x2, y2, z2)，它们的和为v1 + v2 =(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
向量的减法可以通过将对应分量相减来实现，即v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
第四部分：向量的数量乘法和点积运算向量的数量乘法即将一个向量的每个分量与一个实数相乘。
如果有一个向量v = (x, y, z)和一个实数k，则v * k = (kx, ky, kz)。
2020届高考数学复习备考-向量运算与复数运算、算法、推理与证明
2020届高考数学复习备考-向量运算与复数运算、算法、推理与证明高考考点考点解读平面向量的运算及运用1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义2．以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题3．直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2．复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算程序框图1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类比推理2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理1. 已知i是虚数单位，若复数z满足z i＝1＋i，则z2＝()A．－2i B．2iC．－2 D．22. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1C．2 D．33. 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝____.4.将正整数排列如下图：123 45678910111213141516…则图中数2 017出现在()A ．第44行第81列B ．第45行第81列C ．第44行第80列D ．第45行第80列5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 ( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩例1 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ( )A ．43 B ．53 C ．158D ．2例2. 已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求y ＝f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．例3 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b ＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝ ( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．5－4i例4：根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是: ( )A．a n＝2n B．a n＝2(n－1) C．a n＝2n D．a n＝2n－11. 若(1＋2a i)i＝1－b i，其中a、b∈R，则|a＋b i|＝()A．12＋i B．5C．52D．542.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A．3 B．－6C．10 D．－153.设向量a，b满足|a＋b|＝20，a·b＝4，则|a－b|＝()A． 2 B．2 3C．2 D． 64. 下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是() A．k＝8? B．k≤7?C．k<7? D．k>7?5. 若i是虚数单位，则复数2－i1＋i的实部与虚部之积为()A．34B．－34C．34i D．－34i6. 已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝___.7. 如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 016a2 017＝()A．2 0132 014B．2 0142 015C．2 0152 016D．2 0162 0178. 刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的两人说对了．9.公元约263年，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为____.(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305)10. 如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是____.。
向量运算与复数运算
)
【解析】选A.因为BD＝2DC，所以 BD 2 BC.因为AD＝AB BD＝
3 2 2 1 2 a BC a b a a b. 3 3 3 3
2
2.（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知A，B，C是圆O上的三点，
若 AO 1 AB AC ， 则 AB与AC 的夹角为_____. 【解析】由 AO 1 AB AC ，
2 2
故O是线段BC的中点， 故BC是⊙O的直径，从而∠BAC=90°， 因此 AB与AC 的夹角为90°. 答案：90°
【解析】选D.由于a=(1,2)，b=(4,2)，
所以c=ma+b=(m+4,2m+2)，
又由于c与a的夹角等于c与b的夹角，
ac bc ， 即cos〈a,c〉=cos〈b,c〉，也就是 | a || c | | b || c |
m 4 2 2m 2 4 m 4 2 2m 2 即得 ， 5 20
|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=(
2 A.2B. 2C.1D. 2
)
【解析】选B.因为|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，
(a b) a 0, 所以 (2a b) b 0. a b 1, 化简得 2 2 a b b ， 所以 b 2，则 b 2.
解得m=2.
2.(2014·安徽高考)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量
x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记
向量运算、复数运算、算法、合情推理
复数四则运算
加法运算
设 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$，则 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$。
减法运算
设 $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$，则 $z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
合情推理与演绎推理的区别
演绎推理是从一般到特殊的推理方法，而合情推理则是从特殊到一般的推理方 法。演绎推理的结论具有必然性，而合情推理的结论具有或然性。
合情推理在数学中的应用
数学猜想
数学家经常通过观察和实验，提出新的猜想 和假设，然后通过严格的数学证明来验证这 些猜想。
数学建模
在实际问题中，数学家常常需要建立数学模 型来描述和解决问题。合情推理可以帮助数 学家选择合适的模型和方法。
复数极坐标表示
极坐标形式
复数 $z = a + bi$ 可以表示为极坐标形式 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r = sqrt{a^2+b^2}$， $theta$ 是复数向量与实轴正方向的夹角。
极坐标运算
在极坐标形式下，复数的乘法和除法运算变得简单。设 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1), z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则 $z_1 times z_2 = r_1r_2[cos(theta_1+theta_2) + i sin(theta_1+theta_2)]$， $frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}[cos(theta_1-theta_2) + i sin(theta_1-theta_2)]$。
推理与证明、复数、算法
[问题 1]
易错点 2 循环次数把握不准致误
例 2 执行下边的程序框图， 若 p＝0.8， 则输出的 n＝________.
找准失分点 偏差而致错．
Байду номын сангаас
容易陷入循环运算的“黑洞”， 出现运算次数的
正解 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有 1 1 1 1 3 3 1 S：0＋ ＝ ， ＋ 2＝ ， ＋ 3＝0.875， 2 2 2 2 4 4 2
答案 C
易错点 1 复数的概念不明致误
例1 为
4 π 3 若 z＝sin θ－ ＋cos θ－5i 是纯虚数， 则 tanθ－4 的值 5
(
)
A．－7 B． 7 1 1 C．－ D．－7 或－ 7 7 找准失分点 本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有 3 4 关概念， 忽视虚部不为 0 的限制条件， 错得 sin θ＝ ， cos θ＝± ， 5 5
导致错选 D.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误．
3 正解 由 z 为纯虚数，知 sin θ－ ＝0， 5 4 且 cos θ－5≠0.
3 4 则 sin θ＝5，从而 cos θ＝－5. sin θ 3 所以 tan θ＝cos θ＝－4. π 3 tan θ－tan 4 －4－1 π ∴tanθ－4＝ ＝ ＝－7. π 3 1＋tan θ· tan 4 1－4 答案 A
高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第3讲 合情推理与演绎推理课件 文
解析：选 D.根据题意，甲、乙、丙、丁猜测 6 名选手的比赛 结果如下表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 甲 不可能 不可能 不可能 可能 可能 不可能 乙 可能 可能 不可能 可能 可能 可能 丙 可能 可能 不可能 不可能 不可能 可能 丁 可能 可能 可能 不可能 不可能 不可能 由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选 D.
第五页，共四十七页。
(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误 的．( √ ) (5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正 确．( × )
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数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于( )
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角度三 与图形变化有关的推理 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发
的三条线段，长度相等，两两夹角为 120°；二级分形图是 在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，…，依 此规律得到 n 级分形图．
第十九页，共四十七页。
第二十二页，共四十七页。
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
第二十三页，共四十七页。
(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡 片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我 的卡片上 的数字之 和不是 5” ， 则甲 的卡片上 的数字是 ________．
1.1.2向量运算、复数运算、算法、合情推理
������+2
(x>0),观察:
,
������
f2(x)=f(f1(x))= f3(x)=f(f2(x))=
3������+4 ������ 7������+8 ������
, ,
f4(x)=f(f3(x))= , 15������+16 …… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=
1 22 1 2 1
< ,
2 1 32 1
3
2 +
< ,
3 1 7
5
1+ 2 + 2 + 2 < , 2 3 4 4 …… 照此规律,第五个不等式为 解析:由前几个不等式可知 1+ 所以第五个不等式为 1+
1 22 1 2
2 +
.
1 3
2 +
1 4
2 +…+
1 ������ 2
<
2������-1 ������
(2)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k= . 解析:由于 a=( 3,1),b=(0,-1), 所以 a-2b=( 3,3),而 c=(k, 3),且(a-2b)∥c, 所以有 3 × 3=3×k,解得 k=1. 答案:1
规律方法 1.平面向量主要考查: (1)平行、垂直的充要条件; (2)数量积及向量夹角; (3)向量的模. 2.解决此类问题的办法主要有: (1)利用平面向量基本定理及定义; (2)建立坐标系通过坐标运算.
2019版高考数学大一轮复习第十一章推理与证明、算法、复数第1节合情推理与演绎推理学.docx
第1节合情推理与演绎推理最新考纲1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现屮的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础诊斷I 回归教材，夯实基础知识梳理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理•简言之，演绎推理是由一般到翹的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提一一所研究的特殊情况；③结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“丿”或“ X ”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3) 平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对彖较为合适.(4) 演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案 ⑴ X (2) V (3)X(4)X2. 数列2, 5, 11, 20, x, 47,…中的x 等于( )A. 28B. 32C. 33D. 27解析 5-2 = 3, 11-5 = 6, 20-11=9, 推出 %-20=12,所以 x=32. 答案B3. 正弦函数是奇函数，A%)=sin(%2+1)是正弦函数，因此f(0=sin(/+l)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析 f«=sin(/+l)不是正眩函数，所以小前提不正确. 答案C4. (2018 •咸阳模拟)观察下列式子：好迁〈2, V?><2+^2X3<|, 丁5刃+近応+侮肓 <8, V^+V2X3+V3X4+V4><5<y^…，根据以上规律，第刀(底前个不等式是解析 根据所给不等式可得第n 个不等式是y[Tx2 + ^2X3 + - + yjn- (77+I) (/?+!) 2<2 *答案-\/T X 2+^2X3 + -+A //7 - (n+l) <5. (选修1-2P35A6改编)在等差数列｛/｝中，若创)=0,则有创+型+・・・+ 0=盘+及+・・• + &9一“(X19,刀WN")成立,类比上述性质,在等比数列｛/?”｝中，若&=1,则b\b4・・bn=答案 b 厶厶…馆一“(门<17, /?eN*)考点一归纳推理【例1】(1) (2018・佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数 叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6=1+2 + 3； 28=1+2 + 4 + 7 + 14； 496=1+2 +4+8+16 + 31 + 62+124+248,…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幕之和,(卄1)I 考点突破KT 精彩PPT 名师讲解分类讲练，以例求法如6 = 2i + 2： 28 = 22+23+24,…，按此规律，8 128可表示为______________________ ・⑵(2018 -济宁模拟)已知^>0(7 = 1, 2, 3,…,刀)，观察下列不等式：$】+型、/ ----创+色+日3、3/ ---------- --- 三7& 8283；3] + 日2 + / + 、41 ------7 三V日1日2日3日4；照此规律，当圧『分2时，宀+・+上n解析(1)由题意，如果2”一1是质数，则2/?_1(2 -1)是完全数，例如：6 = 21 + 22=2'(22- 1),28=22+23+24=22(23-1),…；若2n_1(2z-l)=8 128,解得刀=7,所以8 128 可表示为26(27-1) =26+27+- + 212.⑵根据题意有“ + &+…"空轴gN*,必2).n Y答案(1)26+2了+・・・+ 2'2 (2)勺豳…/规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 【训练1】(1)(2018 •郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：1 3 6 1()他们研究过图中的1, 3, 6, 10,…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数,由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{/},那么血的值为()（2）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1, 3, 6, 10,…， 第〃个三角形数为川丁）=*+" 记第〃个£边形数为恥，Q （炉3），以下列出了 部分斤边形数中第刀个数的表达式： 三角形数 AV?, 3) =*+*刀，止方形数 恥，4)=/, 五边形数 /、 3 2 1A(/?, 5) =~n —~n, 六边形数NS 6) =2n~n可以推测川刀，力的表达式，由此计算M10, 24）= __________ 解析（1）第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3 = 1+2个， 第3个图中，小石子有6=14-2 + 3个， 第4个图中，小石子有10=1+2 + 3+4个，(2)三角形数 N5 3) =-n 2+-/7=^正方形数z 、 2 2/72_0 • nM/7, 4) —n — 2 ， 五边形数 / x 3 9 1 3rf —n5)—2〃 2n~ 2 ，六边形数, 、4/7J —2 刀 A (/7, 6) —2/7 n — 2 ，&边形数/八(&一2) n- (&一4) nA S A) —2答案(1)B(2)1 000考点二类比推理【例2】（1）（-题多解）若数列⑷是等差数列，贝懺列仏｝@=出牛二土虫|也为等差 数列•类比这一性质可知，若正项数列｛昂是等比数列，月・｛加也是等比数列，则d 的表达A. 45B. 55C. 65 I). 66故第10个图屮，小石子有1 +2 + 3 +…+ 10」°卩=55 个, 即日10=55.所以曲0, 24）」2XK ）[20X 忙二型=] 000.式应为（）（2） （2018 •湖北八校联考）祖唯是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条 原理：“幕势既同，则积不容异.”这里的“幕”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的 意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相 等.设由椭圆/+7=1（臼＞方＞0）所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体 a b（称为椭球体）（如图），课本屮介绍了应用祖施原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求 出椭球体体积，其体积等于 ____________解析（1）法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比儿何平均数，故d 的表达式为 dn= yj Ci • C2 ... Cn.法二 若｛日“｝是等差数列，则 日】+日2 日“=加1 + ""）〃，・：b“=❻+ （刀2 1）d=£n + &_#,即｛加为等差数列；若｛①｝是等比数列，则c\ • ci ..................... +=n (/?—1) 门 _______________________________ /J—1 c\ • q ~2~，•: d“= yjCl ■ C2 . 6= Cl •订,B|j {dn}为等比数列，故选 D.（2）椭圆的长半轴长为日，短半轴长为弘现构造两个底面半径为仏高为日的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖曜原理得出椭 球体的体积』/=2（$柱一卩圆惟）=2（兀XlfXa-^n X4 答案（1）D （2）§兀方鮎规律方法1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜 想•其屮找到合适的类比对象是解题的关键.2. 类比推理常见的情形有平而与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;■, Cl + (?2 -----------------------C nA. dn = -------------- n门 z C\ • Cl ..... Cn B. dn= --------------nc , n /Cl+c^ --------- Cn C - nI)a.数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】（1）（2017 •安徽江南十校联考）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一 种无限与有限的转化过程，比如在p2+p+迈匸7屮“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x,这可以通过方程何二=/确定出来%=2,类似地不难得到1+—^― 1 + ] +…()-^5-1 A. £匚2 ⑵如图⑴所示，点。
向量运算与复数运算、算法、推理与证明
2022年高考数学总复习：向量运算与复数运算、算法、推理与证明1．重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0，λ∈R )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝(4)复数运算中常用的结论：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立． Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ．2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下. 循环 次数①②③…○50因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni ＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.。
向量运算、复数运算、算法、合情推理
炼 ·
高
权
效
威 S=0+(-1)2+2=3＜9;n=3,S=3+(-1)3+3=5＜9;n=4,
方
解
法 渗
读 S=5+(-1)4+4=10＞9,输出的结果是10.
透
高
考 必
答案：10
专
考
题
热
点
强
·
解
化
题
技
法
测
突
破
评
考
核
心
情
思
快
想
精
讯 用程序框图描述算法应注意的问题：
·
炼 ·
高
权
效
威 (1)读懂程序框图，弄清程序框图的基本结构.
·
·
高
权 威
(2)先化简，再利用复数的求模公式，列方程求解.
效 方
解
读 【规范解答】(1)选A. 1ai1ai2i2a12ai,
法 渗 透
2i 2i2i 5 5
高
考 必 考 热
由 1 是a i 纯虚数，则 2a0,所1以2aa=02,.
2i
5
5
专 题
方
解
法 渗
读 (2)含有循环结构的程序，要执行完整每一次循环，直至循环 透
高
考 必
结束.
专
考
题
热
点
解答有关循环结构的问题时，要写出每一次循环的结果， 强
·
解
化
题 技
以防止运行程序不彻底，造成错误.
法
测
突
破
评
考 1.阅读下边的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框内可填
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uur
uu r
读
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3,3 ,
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∴ 3 3 3k 0, ∴k=1.
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(2)以点D为坐标原点，DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所 示的直角坐标系，且设DC=m，P(0，y)，则A(2,0)，B(1，m),
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2.如图所示的程序框图输出的结果为_______.
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uur uu r
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【解题指导】(1)首先确定 a 2b 的坐标，再根据向量共线的 条件求k. (2)建系，表示出 PA与PB 的坐标，然后根据模长公式求解.
r r 【规范解答】(1) a 2b r r r ∵ a 2b P c,
r
r
r 3,1 , b 0, 1 ,
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(2)(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则 | PA 3PB | 的最小值为___________.
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结束.
解答有关循环结构的问题时，要写出每一次循环的结 果，以防止运行程序不彻底，造成错误.
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1.阅读下边的程序框图，若输出S的值为-7，则判断框内可填 写( )
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(A)i<3?
(B)i<4?
(C)i<5?
(D)i<6?
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【解析】选D.运行程序：i=1,S=2;S=2-1=1,i=3;S=1-3= -2,i=5;S=-2-5=-7,i=7,故判断框内应填i＜6?
2.设x,y∈R，i为虚数单位，且
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3 4i 1 2i， 则z=x+yi的共轭 x yi
复数在复平面内对应的点在(
(A)第一象限 (C)第三象限
)
(B)第二象限 (D)第四象限
x yi
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【解析】选A.∵ 3 4i 3 4i x yi 3x 4y 4x 3y i 1 2i， 2 2
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由 1 ai 是纯虚数，则 2 a 0, 1 2a 0, 所以a=2. 2i 5 5
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(2)选B.∵ a i 1 ai， | a i | 1 ai 1 a 2 2.
i i
又a＞0，∴ a 3.
评
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概念求a的值.
(2)先化简，再利用复数的求模公式，列方程求解.
1 ai 1 ai 2 i 2 a 1 2a 【规范解答】(1)选A. i, 2 i 2 i 2 i 5 5
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【解析】选A.∵ z
3 i ， 4
z
1 3i
3 i
2
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3 i 3 i 3 i 1 ， zgz g . 4 4 4 4
u r u r r r u r u r r u r r 2.已知平面向量 、 | | 1， | 2， 2 ， ｜ 则 2 ｜ ， |
的值是___________.
u u r r r u r u r r 【解析】∵ 2 ，∴ g 2 ＝0， u r 1 r u2 r u r r ∴ 2g＝0， g＝ ， ∴ 2 u r 2 u2 r r u r r2 r ∴ 2 ＝4 4g ＝4 2 4＝ ， ｜ ｜ 10
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在有关复数z的等式中，可设出z=a+bi(a,b∈R),用待
定系数法求解，也可把z看作自变量直接求解.
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x yi x yi
x y
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3x 4y 11 1 x x 2 y2 11 2 11 2 5 ∴ ，解得 ， z i， i ， z 4x 3y 2 5 5 5 5 y 2 x 2 y2 5
故z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限.
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热点考向3
用程序框图描述算法
【例3】(2011·江西高考)下图是某算法的程序框图，则程序 运行后输出的结果是___________.
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专 题
u r r ∴ 2 ｜ ｜＝ 10.
强 化
答案： 10
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热点考向2
复数的基本概念与运算
1 ai 2i
【例2】(1)(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数a为( (A)2 (B)-2 ) (C)
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1.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若
uuu r uur uur AC AE AF 其中λ ，μ ∈R,则λ +μ =____________. ，
【解析】∵ AC AF FC AC AE EC ， ，
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r r r r r r (1) a gb bgc a c ； r r r r r r (2) a P b,b P c a P c； r r r r r r (3) a gb c与a(bgc) 不一定相等.
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1.已知复数 z (A) 1
4
1 3i
2
3 i
2
, z 是z的共轭复数，则 z gz ＝(
)
(B) 1
(C)1
(D)2
3 i 1 3i 3 i 2 2 3i 2 1 3i 1 3i
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答案：(1)1
(2)5
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关于向量的有关概念及运算要注意以下几点： (1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零 向量等基本概念. (2)牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用. (3)有关向量模长的计算有两种方法，一是转化为向量的数量 积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解.
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用程序框图描述算法应注意的问题：
(1)读懂程序框图，弄清程序框图的基本结构.
(2)含有循环结构的程序，要执行完整每一次循环，直至循环
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