高考数学 活学巧练夯实基础14

2014高考数学活学巧练夯实基础14
1.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( A )
A ．a 1b 1＋a 2b 2
B ．a 1a 2＋b 1b 2
C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12
解析：因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大．
2.已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( B )
A.56
B.65
C.2536
D.3625
解析：由柯西不等式得(2x 2＋3y 2)·(12＋13)≥(2x ·12＋3y ·13
)2，即(2x 2＋3y 2)·56≥(x ＋y )2＝1，也即2x 2＋3y 2≥65
. 3. (改编)已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＋d ＝64，那么a ＋b ＋c ＋d 的最大值是( B )
A ．25
B ．16
C ．9
D ．4
解析：因为a ，b ，c ，d ∈R ＋， 所以(a ＋b ＋c ＋d )2
＝(a ·1＋b ·1＋c ·1＋d ·1)2
≤(a ＋b ＋c ＋d )(1＋1＋1＋1)＝256，
所以所求最大值为16，故选B.
4.已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( C )
A ．M >4
B ．M <4
C ．M ≥4 D．M ≤4
解析：(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)
＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(bx 1)2＋(ax 2)2]
≥[ab (x 1＋x 2)]2
＝(x 1＋x 2)2＝4.
5.函数y ＝3x －1＋45－x 的最大值为 10 .
解析：y 2＝(3x －1＋45－x )2
≤(32＋42)·(x －1＋5－x )＝100，
所以y ≤10，当x －13＝5－x 4，即x ＝6125
时等号成立． 6.若a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值是 3 .
解析：不妨设a ≥b ≥c ≥0，则b ，c ，a 为乱序，于是由排序不等式知a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc
＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3，即ab ＋bc ＋ca 的最大值为3.
7.若存在实数x 使3x ＋6＋14－x >a 成立，则实数a 的取值范围是 (－∞，8) . 解析：3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，
由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64.
所以3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号．
8.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：
a 2
b ＋
c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a ＋b ＋c 2. 证明：运用柯西不等式，得
[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )](
a 2
b ＋
c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥(a ＋b ＋c )2. 所以a 2
b ＋
c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a ＋b ＋c 2
. 9.已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c
＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解析：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |≥0，等价于|x |≤m ，
由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，
又f (x ＋2)≥0的解集为 [－1,1]，故m ＝1.
(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c
＝1， 又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得
a ＋2
b ＋3
c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c
) ≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c
)2 ＝9.。