高中数学第二章数列2.3.1第2课时等比数列的性质精选测试新人教B版必修5(2021年整理)

2018版高中数学第二章数列2.3.1 第2课时等比数列的性质同步精选测试新人教B版必修5
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同步精选测试等比数列性质
(建议用时:45分钟)
[基础测试］
一、选择题
1.等比数列｛a n｝的公比q＝－错误!，a1＝错误!，则数列｛a n｝是（）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数数列D。

摆动数列
【解析】因为等比数列｛a n｝的公比为q＝－错误!，a1＝错误!,故a2<0，a3〉0,…所以数列{a n}是摆动数列.
【答案】D
2。

对任意等比数列｛a n}，下列说法一定正确的是( ）
A。

a1，a3，a9成等比数列
B。

a2,a3，a6成等比数列
C。

a2,a4，a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】设等比数列的公比为q，因为错误!＝错误!＝q3，即a错误!＝a3a9,所以a3，a6，a
成等比数列.故选D.
9
【答案】D
3。

已知数列{a n｝满足log3a n＋1＝log3a n＋1（a∈N＋),且a2＋a4＋a6＝9，则log错误!(a5＋a7＋a9）的值是( ）
A。

－5 B.－错误!C。

5 D.错误!
【解析】∵log3a n＋1＝log3a n＋1，∴a n＋1＝3a n,
∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，
∴a2＋a4＋a6＝a2（1＋q2＋q4)＝9，
∴a5＋a7＋a9＝a5（1＋q2＋q4）＝a2q3(1＋q2＋q4)＝35，
∴log错误!35＝－5.
【答案】A
4。

在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A.3 B。

27
C.3或27 D。

15或27
【解析】设此三数为3，a,b，则错误!
解得错误!或错误!
所以这个未知数为3或27。

【答案】C
5。

已知等比数列｛a n｝满足a n＞0，n＝1，2，3,…,且a5·a2n－5＝22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝（）
【导学号：18082097】A。

n（2n－1) B。

（n＋1）2
C。

n2D。

(n－1)2
【解析】因为{a n}为等比数列，所以a5·a2n－5＝a错误!.
由a5·a2n－5＝22n(n≥3），得a2，n＝22n。

又因为a n＞0,所以a n＝2n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2,故选C。

【答案】C
二、填空题
6.在等比数列｛a n}中,a3＝16，a1a2a3…a10＝265,则a7等于________.
【解析】∵a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
∴a3a8＝213.
∵a3＝16＝24，∴a8＝29＝512。

又∵a8＝a3q5,∴q＝2,
∴a7＝a
8
q
＝错误!＝256.
【答案】256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________.
【解析】∵错误!＝错误!，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6。

同理，第二行后两格中数字分别为2。

5,3.
∴y＝5·错误!错误!，z＝6·错误!错误!。

∴x＋y＋z＝1＋5·错误!错误!＋6·错误!错误!＝错误!＝2。

【答案】2
8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________。

【解析】由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利
用a
12
a
1
＝m，所以月平均增长率为错误!－1.
【答案】错误!－1
三、解答题
9。

若a,b是函数f(x）＝x2－px＋q(p〉0，q〉0)的两个不同的零点，且a，b,－2这三个
数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值。

【解】不妨设a〉b，由题意得错误!∴a〉0，b>0，又a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列。

∴错误!①或错误!②
解①得错误!解②得错误!
∴p＝5,q＝4，∴p＋q＝9。

10。

在等比数列｛a n｝中，a4＝错误!，a3＋a5＝错误!.
（1）求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列｛a n}的公比大于1,且b n＝log3错误!,求证：数列{b n}为等差数列，并求其前n项和S n。

【导学号:18082098】【解】(1)设等比数列{a n}的公比为q，则q≠0，错误!＋a4q＝错误!.
因为a4＝错误!，所以错误!＋q＝错误!，解得q＝错误!或q＝3。

当q＝错误!时,a1＝18，所以a n＝18×错误!错误!错误!－1＝2×33－n;当q＝3时，a1＝错误!，所以a n＝错误!×3n－1＝2×3n－5.
(2)证明：由(1)及数列｛a n}的公比大于1，
得q＝3，a n＝2×3n－5，
所以b n＝log3错误!＝log33n－5＝n－5,
所以b n－b n－1＝1(常数）。

又因为b1＝log3a
1
2
＝－4，
所以数列｛b n｝是首项为－4，公差为1的等差数列。

所以S n＝n b
1
＋b n
2
＝错误!n2－错误!n.
[能力提升]
1.等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15＝（)
A.±2
B.±4
C.2 D。

4
【解析】∵T13＝4T9.
∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)
∴a10a11a12a13＝4。

又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{a n｝为递减数列，∴q〉0.∴a8a15＝2.
【答案】C
2。

公差不为零的等差数列{a n｝中，2a3－a错误!＋2a11＝0，数列｛b n}是等比数列，且b7＝a
7
，则b6b8＝( ）
A。

16 B。

14
C。

4 D.49
【解析】∵2a3－a错误!＋2a11＝2（a3＋a11）－a错误!＝4a7－a错误!＝0,
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4。

∴b6b8＝b2，7＝16。

【答案】A
3.设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1（n＝1,2，…)，若数列{b n｝有连续四项在集合｛－53，－23，19,37,82}中，则6q＝________。

【解析】由题意知，数列｛b n｝有连续四项在集合{－53，－23,19，37，82｝中,说明｛a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81｝中，由于｛a n}中连续四项至少有一项为负，∴q 〈0.
又∵｜q｜〉1,
∴｛a n}的连续四项为－24，36，－54,81。

∴q＝错误!＝－错误!，∴6q＝－9.
【答案】－9
4。

在等差数列｛a n｝中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n｝的通项k n。

【解】依题设得a n＝a1＋（n－1）d，a错误!＝a1a4，
∴（a1＋d)2＝a1（a1＋3d），整理得d2＝a1d,
∵d≠0，
∴d＝a1，得a n＝nd。

∴由已知得d,3d,k1d，k2d，…，k n d，…是等比数列.
又d≠0,∴数列1,3,k1，k2，…，k n，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝错误!＝3,由此得k1＝9.
等比数列{k n｝的首项k1＝9，公比q＝3,
∴k n＝9×q n－1＝3n＋1(n＝1,2，3，…)，即得到数列{k n}的通项为k n＝3n＋1.。