【高考风向标】高考数学一轮课时知能训练 第3章 第5讲 函数的图象 文

第5讲 函数的图象
1．(2011年安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫10a
，b ＋1 D ．(a 2,2b )
2．下列四个函数中，图象如图K3－5－1所示的只能是( )
图K3－5－1
A ．y ＝x ＋lg x
B ．y ＝x －lg x
C ．y ＝－x ＋lg x
D ．y ＝－x －lg x
3．(2011年陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根
4．与函数y ＝0.1lg(2x －1)的图象相同的函数是( )
A ．y ＝2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12
B ．y ＝12x －1
C ．y ＝12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12
D ．y ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
12x －1
5．(2011年陕西)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )
A B
C D 6．方程lg x ＝sin x 的实根的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：
①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x ；④φ(x )＝ln x .
其中是一阶整点函数的是( )
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①④
D ．④
8．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是____．
9．(2011年陕西3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2 x ≤－，
x －
x |－ x >－，
如果方程f (x )＝a 有四个不同的实数根，求实
数a 的取值范围．
10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2
－x ＋a . (1)求f (x )的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．
第5讲 函数的图象
1．D 2.B
3．C 解析：构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图D36，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
图D36
4．C 5.B
6．C 解析：画出y ＝sin x ，y ＝lg x 在同一坐标系中的图象如图D37，即可．
图D37
7．C 解析：f (x )＝sin2x 只有整点(0,0)；g (x )＝x 3有无数个整点，如(0,0)，(1,1)；h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x 有无数个整点，如(0,0)，(1,1)；φ(x )＝ln x 只有整点()1，0.故选C.
8．1 解析：作函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象，如图D38.由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2
－4x ＋3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x ＋3|＝1也就是方程|x 2－4x ＋3|－1＝0有三个不相等的实数根，因此a ＝
1.
图D38 图D39
9．解：将f (x )的解析式整理，得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2 x ≤－，－x 2＋x ＋2 －1<x
，
x 2
－3x ＋2 x
令y 1＝f (x )，y 2＝a ，则方程
f (x )＝a 有四个不同的实数根等价于函数y 1与y 2的图象有四个不同的交点， 在同一坐标系中画出y 1的图象如图D39， 由图象可知a ∈(0,2)．
10．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.
若f ′(x )＝0，则x 1＝－1
3
，x 2＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－3＝27
＋a ，
极小值是f (1)＝a －1.
(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.
由此可知，取足够大的正数时，有f (x )>0，取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，利用二次函数的图象，结合f (x )的单调性可知：
当f (x )的极大值527＋a <0，即a ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上．
当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝
f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－13上．
∴当a ∈⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。