70高考冲刺 函数与方程 巩固练习

【巩固练习】
1.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的（ ）
（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件 2.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）
()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1
()D ()f x x =-
3.函数22)(3
-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4.已知x=ln π，y=log 52，2
1-=e
z ，则（ ）
(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x
5.设0a >且1a ≠，则“函数()x
f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3
()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2
()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，
()f x x =。

则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（ ）
（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012
7.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8.设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13
[,]22
-上的零点个数为（ ）
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 9.若函数f (x )＝e x －a －2
x
恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________． 10.已知函数|
|)(a x e
x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11.已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

12.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x
x g ，若同时满足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ； ②)4,(--∞∈∀x , )(x f 0)(<x g 。

则m 的取值范围是_______。

13.已知函数1
12--=
x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.
14.已知函数)1lg()(+=x x f ．
（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；
（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.
15.设函数()(,,)n
n f x x bx c
n N b c R +=++∈∈
（1）设2n ≥，1,
1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点；
（2）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的零点，判断数列23,,,n
x x x 的增减性。

【答案与解析】 1.【答案】D
【解析】因为)(x f 为偶函数，所以当)(x f 在]1,0[上是增函数，则)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 的周期是4，
所以在区间]4,3[也为减函数.若)(x f 在区间]4,3[为减函数，根据函数的周期可知)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 为偶函数，根据对称性可知，)(x f 在]1,0[上是增函数，综上可知，“)(x f 在]1,0[上是增函数”是“)(x f 为区间]4,3[上的减函数”成立的充要条件，选D. 2.【答案】C
【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。

【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件． 3.【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法1：因为函数22)(3
-+=x x f x
的导数为032ln 2)('2
≥+=x x f x
，所以函数
3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()
f x 内的零点个数是1.
B 正确.
e e 1
21
=-，112
1<<
e ，所以x z y <<，选5.【答案】A
【解析】若函数x
a x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。

函数3
)2()(x a x g -=为增函数，则有
02>-a ，所以2<a ，所以“函数x a x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”
的充分不必要条件，选A. 6.【答案】B
【解析】由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，0)4()2(==-f f ，
1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ，所以
33833351335)2()1()2012()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f ，选B.
7.【答案】D
【解析】函数周期为2，画出y 1＝log 4|x |与y 2＝f (x )在(0，＋∞)上的大致图象，又y ＝f (x )－log 4|x |为偶函数，可得答案选D
答案：D 8.【答案】B
【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题. 【解析】 法1：因为当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3. 所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2，f (x )=f (2-x )=(2-x )3， 当1
[0,]2x ∈时，g (x )=x cos ()x π；当13[,]22
x ∈时，g (x )= -x cos ()x π，注意到函数f (x )、 g (x )都是偶函数，且f (0)= g (0)， f (1)= g (1)，13()()022
g g ==，作出函数f (x )、 g (x )的大致图象，函数h (x )除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0][][][1]2222
-、0,、,1、,上各有一个零点，共有6个零点，故选B
法2：由()()f x f x -=知,所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2-=-2f x f x f x ，所以函数)(x f 为周期
为2的周期函数，且()()0=0,1=1f f ，而()()=cos g x x x π为偶函数，且()1130==-==0222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，在同一坐标系下作出两函数在
13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，发现在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内图像共有6个公共点，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的零点个数为6，故选B.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。

9. 【答案】a ≤0 【解析】令f (x )＝e x －a －
2x ＝0，得e x ＝a ＋2x ，设y 1＝e x ，y 2＝a ＋2
x
，分别作出y 1、y 2的图象，观察图象可知a ≤0时，两图象只有一个交点． 10.【答案】]1,(-∞
【解析】令a x t -=，则a x t -=在区间),[+∞a 上单调递增，而t
e y =为增函数，所以要是函数
a
x e
x f -=)(在),1[+∞单调递增，则有1≤a ，所以a 的取值范围是]1,(-∞。

【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 11.【答案】1-
【解析】因为2
)(x x f y +=为奇函数，所以2
2
)()(x x f x x f --=+-，所以2
2)()(x x f x f --=-，
32)1()1(=+=f g ，
所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g 。

【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有
)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.
12.【答案】)2,4(--∈m
【解析】根据022)(<-=x
x g ，可解得1<x 。

由于题目中第一个条件的限制R x ∈∀，0)(<x f 或
0)(<x g 成立的限制，导致)(x 在1≥x 时必须是0)(<x f 的。

当0=m 时，0)(=x f 不能做到)(x f 在
1≥x 时0)(<x f ，所以舍掉。

因此，)(x f 作为二次函数开口只能向下，故0<m ，且此时两个根为
m x 21=，32--=m x 。

为保证此条件成立，需要⎪⎩
⎪
⎨⎧
-><⇒⎩⎨⎧<--=<=4
21131221m m m x m x ，和大前提0<m 取交
集结果为04<<-m ；又由于条件2：要求)4,(--∞∈x ，<)()(x g x f 0的限制，可分析得出在)
4,(--∞∈x
时，)(x f 恒负，因此就需要在这个范围内)(x g 有得正数的可能，即4-应该比21,x x 两根中小的那个大，当)0,1(-∈m 时，43-<--m ，解得，交集为空，舍。

当1-=m 时，两个根同为42->-，舍。

当
)1,4(--∈m 时，42-<m ，解得2-<m ，综上所述)2,4(--∈m ．
13.【答案】10<<k 或41<<k
【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围. 【解析】函数1
)
1)(1(1
12-+-=
--=
x x x x x y ，当1>x 时，111
12+=+=--=
x x x x y ，当1<x 时，
⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=
1
,11
1,1111
2x x x x x x x y ，综上函
数
⎪
⎩⎪
⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1
,111,11
111
2x x x x x x x x y ，，做出函数的图象(蓝线)，要使函数y 与
2-=kx y 有两个不同的交点，则直线2-=kx y 必须在四边形区域ABCD 内
(和直线1+=x y 平行的直线除外，如图，则此时当直线经过)2,1(B ，
40
1)
2(2=---=
k ，综上实数的取值范围是40<<k 且1≠k ，即10<<k 或41<<k 。

14.【解析】（1）由⎩
⎨⎧>+>-010
22x x ，得11<<-x .
由1lg
)1lg()22lg(01
22<=+--<+-x x
x x 得1011
22<<
+-x x .
因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，31
3
2<<-
x .
由⎩⎨⎧<<-<<-31
3
21
1x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此
)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.
由单调性可得]2lg ,0[∈y .
因为y
x 103-=，所以所求反函数是x
y 103-=，]2lg ,0[∈x .
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．
15.【解析】（1）1)(2,1,1-+=≥-==x x x f n c b n
n 时，
）
，在（121
)(,01)2121()1()21(x f f f n n n n ∴<⨯-= 内存在零点。

又当,01)()1,21(1
'>+=∈-n n nx x f x 时，
）内存在唯一零点。

，在（）上是单调递增的，，在（12
1
)(121)(x f x f n n ∴∴ （2）当n=2时，c bx x x f ++=2
2)(
对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有x f x f x f x x 上的最大值与最小值之差
4≤M ,据此分类讨论如下：
(Ⅰ)时，即当
2,12
>>b b
与题设矛盾,42)1()1(22>=--=b f f M 。

(Ⅱ) 时，
即当20,02
-1-≤<<≤b b
恒成立,4)12()2()1(222≤+=--=b
b f f M 。

(Ⅲ) 时，即当02-,12
-0≤≤≤≤b b
恒成立,4)1-2
()2()1-(222≤=--=b
b f f M 。

综上可知，22-≤≤b 。

注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下： 用中的较大者表示b a b a ,},m ax {
当时，
即22-,12
-1-≤≤≤≤b b
恒成立。

4)2
1()
4
(1)
2
(2)1()1(2)1()1()}
2
(),1(),1(max{2
2
22222222≤+=+--++=----++-=--=b c b
b c b f f f f f b
f f f M （3）证法一：设））内的唯一零点（，在（是212
1)(≥n x f x n n ， )1,2
1(,01)(,01)(1
11
111∈=-+==-+=++++++n n n n n n n n n n n x x x x f x x x f
于是有)(1)(0)(11
111++++++<-+===n n n n n n n n n x f x x x f x f ！，
又由（1）知)2(12
1
)(1≥<+n x x x f n n n ）上市递增的，故，在（， 所以，数列是递增数列,.......,....,n 32x x x
证法二：设）内的唯一零点，在（是12
1)(x f x n n ，
011)111)(1()1()(11111=-+<-+=-+-+=+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x f x f ，
则,2
1,)(111）（）内，故在（的零点≥<+++n x x x x x f n n n n n 所以，数列是递增数列,.......,....,n 32x x x。