【精选】苏科版数学七年级上册 有理数单元测试与练习(word解析版)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.
（1）点B表示的数是________；
（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；
（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4
（2）0
（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA
4－3t=2+t
t=0.5
② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB
2+t=2(3t-4)
t=2
③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA
3t－-4=2(2+t)
t=8
综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.
【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；
【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；
（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；
（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。

2．若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|＝0.
（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴正方向运动经过t秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由.
【答案】（1）解：∵a，b，c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|=0，∴a=﹣5，b=2，c=3.
设点P对应的数为x.
当x＜﹣5时，﹣5﹣x+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣6；
当﹣5≤x＜2时，x﹣（﹣5）+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣4；
当2≤x＜3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=3﹣x，解得：x=0（舍去）；
当x≥3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=x﹣3，解得：x=﹣6（舍去）.
综上所述：在数轴上存在点P，使得PA+PB=PC，点P对应的数为﹣6或﹣4.
（2）解：AB﹣BC的值不变，理由如下：
当运动时间为t秒时，点A对应的数为t﹣5，点B对应的数为3t+2，点C对应的数为5t+3，∴AB﹣BC=3t+2﹣（t﹣5）﹣[5t+3﹣（3t+2）]=6.
∴AB﹣BC的值不变.
【解析】【分析】由绝对值的非负性可求出a，b，c的值.（1）设点P对应的数为x，分x ＜﹣5，﹣5≤x＜2，2≤x＜3及x≥3四种情况考虑，由PA+PB=PC利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）找出当运动时间为t秒时点A，B，C对应的数，进而可求出AB﹣BC=6，此题得解.
3．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：
（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；
（2）化简：；
（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．
【答案】（1）>；<；<
（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，
∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c
（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，
∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，
则2b -c - (a - 4c - b)．
=2b -c - a + 4c + b
=3(b+c)-2=
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a
∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0
【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．
4．仔细观察下列等式：
第1个：22﹣1＝1×3
第2个：32﹣1＝2×4
第3个：42﹣1＝3×5
第4个：52﹣1＝4×6
第5个：62﹣1＝5×7
…
这些等式反映出自然数间的某种运算规律．按要求解答下列问题：
（1）请你写出第6个等式：________；
（2）设n（n≥1）表示自然数，则第n个等式可表示为________；
（3）运用上述结论，计算： .
【答案】（1）72﹣1＝6×8
（2）（n+1）2-1=n（n+2）
（3）解：
=
=
=
【解析】【解答】解：（1）∵第1个：22-1=1×3
第2个：32-1=2×4
第3个：42-1=3×5
第4个：52-1=4×6
第5个：62-1=5×7，
∴第6个等式：72-1=6×8；
故答案为：72-1=6×8
2）设n（n≥1）表示自然数，则第n个等式可表示为：（n+1）2-1=n（n+2）；
故答案为：（n+1）2-1=n（n+2）；
【分析】（1）根据题中所给出的例子找出规律，即可得到第六个等式．（2）根据题中所给出的例子找出规律，进行解答即可．（3）根据所得结论，进行化简，即可得到答案.
5．观察下面的式子：
, , ,
（1）你发现规律了吗？下一个式子应该是________；
（2）利用你发现的规律,计算：
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= .
【解析】【解答】（1）根据规律，下一个式子是：
【分析】（1）规律：两个自然数（0除外）的乘积的倒数等于这两个自然数倒数的差，据此写出结论即可；
（2）利用规律将原式转化为加减运算，然后利用加法结合律进行计算即可.
6．已知A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a、b、c
（1）填空：abc________0，a＋b________ac，ab－ac________0；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若|a|＝2，且点B到点A、C的距离相等
① 当b2＝16时，求c的值
② 求b、c之间的数量关系
③ P是数轴上B，C两点之间的一个动点设点P表示的数为x.当P点在运动过程中，bx＋cx＋|x－c|－10|x＋a|的值保持不变，求b的值
【答案】（1）<；>；>
（2）解：① 且 , ,
且 , .
∵点B到点A，C的距离相等,∴
∴ ,∴
②∵ , ∴ ,
③依题意，得
∴原式=
∵
∴原式= 【此处不取-2没关系】
∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关
∴ ,∴
【解析】【解答】解：（1）由题中的数轴可知，a＜0＜b＜c，且
∴abc＜0，a+b＞ac，ab-ac＞0，
故答案为：＜，＞，＞；
【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点得出a＜0＜b＜c，且，从而根据有理数的乘法法则，加法法则、减法法则及有理数大小的比较方法即可一一判断得出答案；
（2）①根据数轴上点的位置及绝对值的意义、有理数的乘方确定a、b的取值，进而根据点B到点A，C的距离相等,即即可求解；
②根据数轴上两个点之间的距离及点B到点A，C的距离相等,即，即可得结论；
③根据绝对值的意义把算式化简，再根据当P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关列出方程，求解即可.
7．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时。

（1）如果甲、乙、丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？
（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时。

那么要多少小时完成？
（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需要说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）
【答案】（1）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师
的阅卷速度分别为；如果甲、乙、丙三人同时改卷，令需要x时间完成，那么
，整理得，解得x=
（2）解：设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时，则甲、乙、丙三个教师的阅卷速
度分别为；如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每
人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮甲、乙、丙三人可阅卷，三轮共9小时，一共阅卷，还剩下，接下来该轮到甲阅卷，因为，所以甲阅卷1小时后，阅卷还没完，还剩下的任务，因此乙还要进行阅卷，因为，所以乙在一小时之内能阅完试卷，所用时间为=
小时，即35分钟，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时+35分钟=10小时35分钟
（3）解：能，可以按丙甲乙的顺序，根据（2）可得设我们把第17题的网上阅卷任务为1，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需
要8小时，则丙、甲、乙三个教师的阅卷速度分别为；如果按照丙、甲、乙、丙、甲、乙、……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，共3个小时，则一轮丙、
甲、乙三人可阅卷，三轮共9小时，一共阅卷，还
剩下，接下来该轮到丙阅卷，因为，所以丙阅卷1小时，阅卷即可完成，所以完成阅卷任务的时间=9小时+1小时=10小时，它比（2）中所花时间少35分钟，提前了半个多小时，所以可按丙甲乙的顺序
【解析】【分析】（1）设需要x时间完成，由工作效率×工作时间=工作总量，利用甲工作量+乙工作量+丙工作量=1，列出一元一次方程，解之即可；
（2）根据每轮完成的工作量，分析经过几轮在谁手中完成的改卷任务，再将各段时间相加即可求出结论；
（3）按丙甲乙的顺序，3轮后丙再做1个小时的任务，正好完成，求出完成阅卷的时间，与（2）中的结论进行比较即可.
8．如图，在数轴上点A表示数−20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.
比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC…
（1）点A与点C之间的距离记作AC，则AC的长为________；若数轴上有一点D满足CD=AD，则D点表示的数为________；
（2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C 的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒.
①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求t的值________；
②若点A向左运动，点C向右运动，2AB−m×B C的值不随时间t的变化而改变，则2AB−m×BC的值为________(直接写出答案).
【答案】（1）50；5
（2）10或；-45．
【解析】【解答】（1）解：∵A表示的数为-20，C表示的数为30，
∴AC=30-（-20）=50；
∵CD=AD
∴点D为AC的中点
∴D所表示的数为 =5，
故答案为50；5（2）解：①根据题意，A所表示的数为-20+2t，C所表示的数为30-3t，B 所表示的数为1+t，
AB=|-20+2t-（1+t）|=|-21+t|，
BC=|30-3t-（1+t）|=|29-4t|，
∵AB=BC
∴|-21+t|=|29-4t|，
-21+t=29-4t，
解得t=10，
-21+t=4t-29
解得t= ．
∴当AB=BC时，t=10或．
②根据题意，A所表示的数为-20-2t，B所表示的数为1+t，C所表示的数为30+3t，
AB=1+t-（-20-2t）=21+3t，
BC=30+3t-（1+t）=29+2t，
∴2AB-m×BC=2（21+3t）-m×（29+2t）=42+6t-29m-2mt，
∵2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变，
∴6t-2mt=0，
∴m=3，
∴42+6t-29m-2mt=-45，
∴2AB-m×BC=-45．
故答案为-45．
【分析】（1）在数轴上表示两点所组成的线段长度用右边点所表示的数减去左边点所表示的数即可．（2）当数轴上想表示两个点之间的距离，根据绝对值的意义可用绝对值进行处理．动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离．
9．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足
（1）求a和b的值；
（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？
（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：a=-8，b=22；
（2）解：5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；
（3）解：存在
理由：设运动的时间为x秒，
点C对应的数为7，
点P对应的数为−8＋5x，
点M对应的数为 7＋3x，
点N对应的数为22−4x，
则PM＝|（−8＋5x）−（7＋3x）|＝|−15＋2x|，PN＝|（−8＋5x）−（22−4x）|＝|−30＋9x|．
由PM＋PN＝12得|−15＋2x|＋|−30＋9x|＝12．
①当0＜x≤ 时，15−2x＋30−9x=12，解得：x=3 ，
此时P对应的数为-8+5x=7；
②当＜x≤ 时，15−2x-30+9x=12，解得：x= 且＜≤ ，
此时P对应的数为-8+5x= ；
③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x= 且＜，舍去；
综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，
此时点P对应的数为 7或 .
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；（2）根据点P 运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论；（3）分三种情况：①0＜x≤ ；② ＜x≤ ；③ ＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．
10．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
解答下列式子：
（1）比较a，，c的大小(用“<”连接)；
（2）若，试化简等式的右边；
（3）在(2)的条件下，求的值．
【答案】（1）解：根据数轴上点的位置得：；
（2）解：根据题意得：a+b<0，b-1<0，a-c<0，
则；
（3）解：根据题意得：b＜0，a＜0，c＞0，m=-1-c，
∴原式 .
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置判断即可；（2）由数轴可得a+b<0，b-1<0，a-c<0，然后利用绝对值的代数意义化简即可；（3）根据b＜0，a＜0，c＞0，m=-1-c，进行计算即可.
11．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5 （1）求b的值
（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?
（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.
【答案】（1）解：由题意得：，解得：
（2）解：当B在A左侧时，由（1）可知：，设点D运动的时间为t秒，则D 表示的数为-2t，当D到A、B两点的距离之和为8时，可得D在B左侧，且DB+DA=DB+DB+AB=2DB+5=8，故 DB=1.5，即-2-（-2t）=1.5，解得t=1.75
（3）解：在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由如下：
当B在A左侧时，由（1）可知：，设点D运动的时间为t秒，则
D表示的数为-2t，M表示的数为-2-t，N表示的数为3+4t；
故MN的中点P表示的数为0.5+1.5t，OD的中点Q表示的数为-t；
则MN-2PQ=[（3+4t）-（-2-t）]-2[(0.5+1.5t)-(-t)]
=5+5t-2(0.5+2.5t)
=5+5t-1-5t
=4
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解.（2）根据运动速度可表达出D点坐标，根据D到A、B两点的距离之和为8，可知D点在B的左侧，根据两点之间的距离公式即可求解（3）根据运动速度可表达出M、D、N点的坐标，根据中点公式求出P、Q坐标进而求出MN、PQ线段长即可求解.
12．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点Q到达点A时P、Q两点停止运动，设运动时间为单位：秒．
（1）求时，求点P和点Q表示的有理数；
（2）求点P与点Q第一次重合时的t值；
（3）当t的值为多少时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度？【答案】（1）解：当时，
点P表示的数为：，
点Q表示的数为：
（2）解：
答：点P与点Q第一次重合时的t值为4
（3）解：点P和点Q第一相遇前，
，
解得，；
当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，
，
解得，；
当点P从点B向点A运动时，
，
解得，；
由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．
【解析】【分析】(1）根据题意可以得到当时，点P和点Q表示的有理数；(2)根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；(3)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．。