成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时函数的单调性的应用

第二章 2.1.3 第2课时
一、选择题
1．已知函数f (x )＝3
x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D ．(1，＋∞) [答案] C
[解析] f (x )＝3
x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，
＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．
2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5]
[答案] C
[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，
∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.
3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2
x －1
[答案] D
[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2
x
－1在(0，＋∞)上为减函
数，故选D.
4．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋6(1≤x ≤2)
x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )
A ．10,6
B ．10,8
C ．8,6
D ．以上都不对
[答案] A
[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.
5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)
D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C
[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 2
2－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)
∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．
6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，2)
[答案] D
[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题
7．函数y ＝－a
x 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为
________．
[答案] 单调递减
[解析] ∵函数y ＝－a
x
在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开
口向下的抛物线，对称轴为x ＝a
4
<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．
8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3]
[解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1(x ≥3)
5－x (x <3)，其图象如图所示，
由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题
9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋a
x ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．
[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋a
x 1＋b
＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )
， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.
∴f (x )＝x ＋a
x ＋b
(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.
一、选择题
1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0
D ．a ≤0
[解析] 如图所示：
∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.
2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)>f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．不能确定
[答案] D
[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.
3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有Δy
Δx >0”的是( )
A ．f (x )＝2
x
B ．f (x )＝－3x ＋1
C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3
D ．f (x )＝x ＋1
x
[答案] C
[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2
x 及f (x )＝－3x ＋1
在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1
x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，
故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.
4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25
D ．f (1)>25
[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m
8，由f (x )在区
间[－2，＋∞)上为增函数，∴m
8
≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.
二、填空题
5．已知函数y ＝ax 和y ＝b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)
上是__________函数．
[答案] 增
[解析] ∵y ＝ax 和y ＝b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可
得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．
6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．
[答案] f (－3)>f (－π)
[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题
7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤t ≤2
0≤t ≤1t <12
，即0≤t <1
2
.
故t 的取值范围为0≤t <1
2
.
8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．
[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，
又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，
则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．
9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
.
(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，
∴f (x 2－x 1)<0，
又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－2
3＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。