19.1多边形内角和(沪科版)

180°·n-360°=(n-2) ·180°
由此，我们就可以得出 :
n边形的内角和为：
(n-2) 180 °
它有什么作用 呢?
1.知道多边形的边数, 可以求出多边形的度数.
2.知道多边形的度数, 可以求出多边形的边数.
练一练：
1、十边形的内角和为_1_4_4_0_º_.
2、已知多边形内角和等于2520º， 则它的边数为__1_6___ .
结论:多边形的外角和都等于360°.
做一做：
例1：一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍，它是几边形？
问题
1、什么叫正三角形？什么叫正方形？ 2、什么叫正多边形？
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等， 那么这样的三角形就叫做正三角形。
正三角形 正方形
正五边形
(或正三边形) (或正四边形)
正六边形
解决有关问题；
1.课本P74 习题 19.1 第1-4题 2.同步练习19.1及拓展与提高
日 多边形的内角和
常
日
常
行
做
，
，
不
不
怕
怕
千
千
万
万
里
事
；
。
解：
正六边形内角和为 （6-2）x180°=720° 所以每个内角的度数：720 ° /6=120 °
图 8.3.3 四四边边形形从有顶----点4---A个出顶发点可，以总引共出有对--角--2-线--------条---对---角--A-线-C--。-------------（用字母表示）
3、已知多边形每个内角都等于 150°，求它的边数及内角和.
解：设此多边形边数为n，由多边形的 内角和公式可得： （n-2) ·180°= 150°·n
n =12 150º×12 = 1800º 答：此多边形边数为12，内角和为1800º.
探究
做一做
（1）什么是三角形的外角？外角有什么 性质？ （2）如图，求△ABC的三个外角的和。
任意凸四边形内角和
④在四边形外部任取一点，连接各顶点， 如图
内角和为 3×180°-180°
想一想：五边形的内角和是多少度呢？
你能动手做一做吗?
A
E B
D C
3 × 1800 = 5400
动动脑和手 按照第一种分割的做法来看：
多边 从一个顶点引出
分割成的
形边 对角线条数 数
图形 三角形个 多边形的内角和
19.1 多边形内角和
观察：
由这组图形中你能抽象出什么几何图形？
三四多角边形 的定义：
在平面内， 由若三四干条条不在同一 条直线上的线段首尾顺次相接所 组成的封闭图形.
A
B
C
.......
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
多
A
边
顶点
形
的
元B
素
及
表 示
边
C
内角
E 外角
1
D
对角线
对角线：多边形中连接不相邻的两个顶点的线段.
Hale Waihona Puke 正八边形归如果多边形各边都相等，各个角也都相等， 那么这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、
纳 正四边形（正方形）、正五边形等等 。
那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.
（n－2）×180°/ n
怎样求正六边形每个内角的度数？
A
B
你有什么方法验证你
的猜想？
C
D
任意凸四边形内角和
①过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形， 内角和为 2×180°=3600
任意凸四边形内角和
②在四边形内部任取一点，连接各顶点， 如图
内角和为 4×180°-360°
任意凸四边形内角和
③在四边形一边上任取一点，连接不相临 的各顶点，
内角和为 3×180°-180°
比 你能说出这两幅图形的异同点吗？
一
不
比
是
凸
多
边
形
(1) 是凸多边形
(2)
一个多边形，如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样 的多边形叫做凸多边形.
动手操作，探索新知:
⑴三角形内角和是多少度？
（2）长方形、正方形的内角和是多少？
4×90°=360°
能猜想任意凸四边形内角和是多少度吗？
A
2
B3
1
C
三角形的三个外角 之和为3600
明确：多边形内角的一边与另一边的反向延长线
所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和。
（3）四边形的外角和等于多少度？
C
3
B
2
4
D
1
A
（4）五边形的外角和怎么求？n边形呢？
清晨，小华 沿一个五边 形广场周围 的小路，按 逆时针方向 跑步。
五边形从顶点A出发可以引出对角线--A--C---.-A--D-------，（用字母表示）
五边形有---5--个顶点，总共有--5---条对角线。 六边形从顶点A出发可以引出对角线----A--C--.-A--D--.-A--E--（用字母表示）
六边形有--6---个顶点，总共有---9----条对角线。
四边形不稳定性的应用.
1、下列图形中具有稳定性的是（C）
（A）正方形
（B）长方形
（C）直角三角形 （D）平行四边形
2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
3、下列图中具有稳定性有（ C ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
练练你的“本领”
有一张长方形的桌面，现在 锯掉它的一个角，剩下的桌 面是一个几边形？它的内角 和是多少？
想一想：
如果广场的形状是六边形、八边形， 那么还有类似的结论吗？
定理
n边形的外角和等于 想36一0想ْ(议n一为不议小：于3的整数）
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和 公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出 多边形内角和的结论？反过来呢？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻 的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角 和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此， 外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
B
E
M
C
① ②③ N
A D
2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生 怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O 内角和不变 内角和增加180O
课堂小结:
（1）通过本节课的学习，你学到了 哪些知识和方法？
（2）你认为这节课中最大的收获是什么？
（3）你还有哪些疑惑或不足？
谈谈收获
1、n边形的内角和等于(n-2)×1800； 2、多边形的外角和是360度； 3、会运用多边形的内角和与外角和
数
4
1
2
2×1800
5
2
6
3
...
……
3 4
…… ……
3×1800 4×1800
……
n
n-3
n-2
(n-2)×1800
猜想：n边形的内角和等于
（n-2）•180° (n为不小于3的整数)
你能用其他的方法得出这个结论吗？
你能证明n边形内角和定理吗？
n边形内角和定理的证明
证明：在n边形内部任 取一点O，再把点O与 各顶点连接，将原多边 形分割成n个三角形，n 个三角形的内角和减去 一个周角，即得n边形 的内角和为
（1）小华每从一条街 道转到下一条街道时， 身体转过的角是哪个 角？
（2）他每跑完一圈，身 体转过的角度之和是 多少？
（3）在图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5吗？你是怎样 得到的？
A
E'
1
A'
B
5
2
E
θ
α
δ
C 3
B' 4
βO γ D'
D
结论： C'
1， 2， 3， 4， 5的和等于360ْ
（n-3）
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引--------条，n边形
n
n(n-3) ÷2
有----个顶点，n边形一共有-------------------条对角线。
思考
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对 顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状 还会改变吗?
三角形具有稳定性， 四边形具有不稳定性