2019高三数学人教B版理一轮：单元质检卷九 解析几何

单元质检卷九 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2017河南焦作二模,理8)已知M 是抛物线C :y 2=2px (p>0)上一点,F 是抛物线C 的焦点,若|MF|=p ,K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点,则∠MKF=( ) A.45°
B.30°
C.15°
D.60° 3.(2017江西新余一中模拟七,理
11)设F 是双曲线x 2
a
2
−
y 2b
2=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线两渐近线分别
为l 1,l 2,过点F 作直线l 1的垂线,分别交l 1,l 2于A ,B 两点,若A ,B 两点均在x 轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则双曲线的离心率e 为( ) A. 5
2
B.2
C. 5
D. 6
4.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P 在抛物线x 2=4y 上,则当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( ) A.(2,1) B.(-2,1) C. -1,1
D. 1,1
5.(2017云南昆明一中仿真,理5)若双曲线M :x 2a 2−y 2
b
2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,以F 1F 2
为直径的圆与双曲线M 相交于点P ,且|PF 1|=16,|PF 2|=12,则双曲线M 的离心率为( ) A.5
4 B.4
3 C.53
D.5
〚导学号21500644〛
6.(2017河北保定二模,理9)当双曲线x 2
2−y 2
6-2m
=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为( )
A.y=±x
B.y=±2
3x C.y=±1
3
x D.y=±1
2
x
7.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:x 2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C
上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为2cb,则双曲线C的离心率为()
A.2
B.2
C.22
D.23
8.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为483,则p的值为()
A.2
B.23
C.4
D.43
9.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()
A.2+1
2
B.2+1
C.5-1
D. 1
10.(2017山东临沂一模,理8)抛物线x2=-6by的准线与双曲线x 2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右支分别交
于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双曲线的离心率为()
A.23
3B.3 C.43
3
D.23
11.(2017辽宁沈阳三模,理9)已知直线3x-y-3=0与抛物线y2=4x交于A,B两点(A在x轴上方),与x 轴交于点F,OF=λOA+μOB,则λ-μ=()
A.1
2B.-1
2
C.1
3
D.-1
3
〚导学号21500645〛
12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为()
A.3
B.22
C.5
D.2 〚导学号21500646〛
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:x 2
-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小
值为3,则a=.
14.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D 两点.若|AB|=23,则|CD|=.
15.(2017北京东城区二模,理13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=.
16.
(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;
(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.〚导学号21500647〛
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(14分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为15
4
,F1,F2是椭圆的两个焦
点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+215.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2=4
9
,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
18.(14分)(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
,A(a,0),b(0,b),D(-a,0),
△ABD的面积为23.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.
〚导学号21500648〛19.(14分)(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+p
2
交抛物线E 于A,B两点.
(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;
(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-3
2
,求直线l的斜率.
20.(14分)(2017湖南岳阳一模)已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=22,点A,B
在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于43.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.
21.(14分)已知F1,F2是椭圆x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率e=1
2
,点P为椭圆上的一个动点,
△PF1F2的内切圆面积的最大值为4π
3
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量F1A与F1C共线,F1B与F1D共线,且AC·BD=0,求
|AC|+|BD|的取值范围.
〚导学号21500649〛
参考答案
单元质检卷九解析几何
1.C当a=3时,两直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立;
反之,当两条直线平行时,有-a
2=3
1-a
且-3
2
a≠a-7
a-1
,∴a=3.
∴a=3是两条直线平行的充要条件.故选C.
2.A由题意,|MF|=p,
则设点M p
2
,p .
∵K-p
2
,0,∴k KM=1.
∴∠MKF=45°,故选A.
3.C在Rt△AOB中,|OA|=3,|OB|=5,
可得|AB|=52-32=4,
可得tan∠AOB=|AB|
|OA|=4
3
,
由直线l1:y=b
a x,直线l2:y=-b
a
x,
tan∠AOB=-b a -b a
1+-b·b =4
3
,
化简可得b=2a,
即有e=c
a = a2+b2
a
=5.
4.D如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,
可得y=1
4,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为1,1
4
,故
选D.
5.D双曲线M的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且
|PF1|=16,|PF2|=12,可得2a=16-12=4,解得a=2,2c=2+12220,可得c=10.
所以双曲线的离心率为e=c
a
=5.故选D.
6.B由题意,6-2m>0,即m<3,焦距2c=2(m2+8)+(6-2m)=2m2-2m+14,当m=1时,双曲线的焦
距最小,此时双曲线的方程为x 2
9−y2
4
=1,其渐近线的方程为y=±2
3
x,故选B.
7.D双曲线C:x2
a −y2
b
=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上.
设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c, ∴x0=-c
2
,四边形OFMN的面积为2cb.
∴|y0|c=2cb,即|y0|=2b.
∴M-c
2
,b .
代入双曲线可得,x 2
a −y2
b
=1,
整理得,c 2
4a
-2=1.
由e=c
a
,∴e2=12.
由e>1,解得e=23,故选D.
8.A设B(x1,y1),A(x2,y2).
∵|OA|=|OB|,
∴x12+y12=x22+y22.
又y12=2px1,y22=2px2,
∴x22−x12+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
∵x1,x2与p同号,
∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=3
3
x,联立y2=2px,解得B(6p,23p),
∴|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.
∴3
4
·(43p)2=483,∴p=2.
故选A.
9.B过点P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.
∵|PA|=m|PB|,
∴|PA|=m|PN|.
∴1
m =|PN|
|PA|
.
设直线PA的倾斜角为α,则sinα=1
m
.
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切.
设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0, ∴Δ=16k2-16=0,
∴k=±1,∴P(2,1).
∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(2-1),
∴双曲线的离心率为=2+1.
故选B.
10.C抛物线的准线为y=3
2
b,
∴B-13
2a,3
2
b ,
C13
2a,3
2
b .
易得∠AOC=∠BOC=60°,
∴k OC=313b
13a
=tan60°=3.
∴b2
a =13
3
,
∴e=1+b2
a2=1+13
3
=43
3
,故选C.
11.B直线3x-y-3=0过抛物线的焦点F(1,0),把直线方程代入抛物线的方程y2=4x,
解得x=3,
y=23或
x=1
3
,
y=-23
3
,
则A(3,23),
B1
3,-23
3
.
∵OF=λOA+μOB, ∴(1,0)
=(3λ,2)+1
3μ,-23
3
μ
=3λ+1
3μ,23λ-23
3
μ .
∴3λ+1
3μ=1,23λ-23
3
μ=0.
∴λ=1
4,μ=3
4
,则λ-μ=-1
2
.
故选B.
12. A建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),
由|BC|·|CD|=|BD|·r,
得r=|BC|·|CD|
|BD|=
5
=25
5
,
即圆的方程是(x-2)2+y2=4
5
.
易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,
得x=2μ, y-1=-λ,
所以μ=x
2
,λ=1-y,
所以λ+μ=1
2
x-y+1.
设z=1
2
x-y+1,
即1
2
x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4
5
上,
所以圆心C到直线1
2
x-y+1-z=0的距离d≤r, 即
4+1
≤25
5
,解得1≤z≤3,
所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
13.-1或25设P(x,y)(x≥2),
则|PA|2=(x-a)2+y2
=5 4 x-4
5
a
2
+1
5
a2-1,
当a>0时,x=4
5a,|PA|的最小值为1
5
a2-1=3,∴a=25.
当a<0时,2-a=3,∴a=-1.
故答案为-1或25.
14.4因为|AB|=23,且圆的半径R=23,
所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为R2-|AB|
22
=3.
由3|
m2+1=3,解得m=-3
3
.
将其代入直线l的方程,
得y=3
3
x+23,
即直线l的倾斜角为30°.
由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|
cos30°
=4.
15.21抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
设点A(x0,y0),若直线l的倾斜角为60°,
即斜率k=tan60°=3,∴直线l的方程为y=3(x-1),即x=3
3
y+1,
由y2=4x,
x=3
3
y+1,
解得x=3,
y=23,或
x=1
3
,
y=-23
3
.
∵点A在x轴上方,则A(3,23).
∴|OA|=32+(23)2=21.
故答案为21.
16.(1)Q1(2)p2(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.
(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均
每小时加工的零件数为p=y1+y2
x1+x2=
y1+y2
2
x1+x2
=k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得k OC
2
>k OC
1
>
k OC
3
,故p1,p2,p3中最大的是p2.
17.解 (1)由题意,e=c
a =15
4
=
a2-b2
a
,可知a=4b,c=15b.
∵△PF1F2的周长是8+215,
∴2a+2c=8+215,
∴a=4,b=1.
∴所求椭圆方程为x2
16
+y2=1.
(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率, 则设其方程为l:y=kx+1,
由直线y=kx+1与圆T相切可知
2=2
3
,
即32k 2+36k+5=0,
∴k 1+k 2=-98,k 1k 2=532.
由 y =k 1x +1,x 216+y 2=1
得(1+16k 12)x 2+32k 1x=0, ∴x E =-32k
11+16k 12. 同理x F =-
32k 21+16k 22, k EF =y E
-y
F x E -x F
=k 1x E -k 2x F x E -x F =k 1+k 2
1-16k 1k 2=34.
故直线EF 的斜率为34.
18.解 (1)由题意得 c a
=12,12(2a )b =2 3,a 2=b 2+c 2,
解得a=2,b= 3.
∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.
(2)由(1)知,A (2,0),B (0, 3),
由题意可得S 四边形ABNM =12
|AN|·|BM|. ∵P (x 0,y 0),-2<x 0<0,0<y 0< 3,3x 02+4y 02=12, ∴直线PA 的方程为y=y
0x 0-2(x-2). 令x=0,得y M =-2y 0
x 0-2.
从而|BM|=| 3-y M |
= 3+2y 0
x 0-2 .
直线PB 的方程为y=
y 0- 3
x 0x+ 3.
令y=0,得x N =- 30y . 从而|AN|=|2-x N |
= 2 3x 0y . ∴|AN|·|BM|
= 2 3x 0y · 3+2y 0
x 0-2
= 0202 3x 000 3y 0x y +2 3 = 3x 000 3y 0x y +2 3
=4 3.
∴S 四边形ABNM =1
2|AN|·|BM|=2 3. 19.解 (1)联立 y =x +p 2,x 2=2py ,消去x 得y 2-3py+p 24=0,由题设得|AB|=y A +p 2+y B +p 2=y A +y B +p=4p=8, ∴p=2.
∴抛物线E 的方程为x 2=4y.
(2)设A x 1,
12p x 12 ,B x 2,12p x 22 , 联立 y =kx +p 2,
x 2=2py ,消去y 得x 2-2pkx-p 2=0,
∴x 1+x 2=2pk ,x 1·x 2=-p 2.
由y=12p x 2得y'=1p x ,
∴直线l 1,l 2的方程分别为y=x 1p x-12p x 12,y=x 2p x-12p x 22,
联立 y =x 1p x -12p x 12,y =x 2p x -12p x 22得点P 的坐标为 pk ,-p 2 , ∴k PF =-1k ,∴-1k +k=-32. ∴k=-2或k=12.∴直线l 的斜率为k=-2或k=12.
20.解 (1)由△ABF 2的周长等于4 3,可得4a=4 3,a= 3.
由|F 1F 2|=2 2,得c= 2, ∴b 2=a 2-c 2=1.
∴椭圆的标准方程为x 2
3+y 2=1.
(2)设P (x P ,y P ),则x P 2+y P 2=4. ①若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则x P =± 3,y P =±1. 另一条切线的斜率为0,从而PM ⊥PN ,此时S △PMN =12|PM|·|PN|=12×2×2 3=2 3. ②若两条切线的斜率均存在,则x P ≠± 3.
设过点P 的椭圆的切线方程为y-y P =k (x-x P ),
代入椭圆方程,消去y 并整理得,
(1+3k 2)x 2+6k (y P -kx P )x+3(y P -kx P )2-3=0.
依题意得Δ=0,即(3-x P 2)k 2+2x P y P k+1-y P 2=0.
设切线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2,从而k 1k 2=1-y P 23-x P 2=x P 2-3
3-x P 2=-1.
∴PM⊥PN,则线段MN为圆O的直径,|MN|=4.
∴S△PMN=1
2
|PM|·|PN|
≤1
4
(|PM|2+|PN|2)
=1
4
|MN|2=4.
当且仅当|PM|=|PN|=22时,△PMN取最大值4.
综上,△PMN面积的最大值为4.
21.解 (1)由几何性质可知,当△PF1F2的内切圆面积最大时,即S
△PF1F2
取最大值,则
(S
△PF1F2)max=1
2
·2c·b=bc.
由πr2=4
3π,解得r=23
3
.
又由△PF1F2的周长为2a+2c定值,故bc
2a+2c =3
3
.
又e=c
a =1
2
,可得a=2c,即b=23,故c=2,b=23,a=4,
故椭圆方程为x 2
16+y2
12
=1.
(2)①当直线AC和BD中有一条垂直于x轴时,|AC|+|BD|=6+8=14.
②当直线AC的斜率存在但不为0时,设AC的方程为y=k(x+2),
由y=k(x+2), x2
16
+y2
12
=1,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,
代入弦长公式得,|AC|=24(k2+1)
3+4k
.
同理由y=-1
k
(x+2), x2
16
+y2
12
=1,
消去y,代入弦长公式得|BD|=24(k2+1)
3k+4
.
故|AC|+|BD|=168(k2+1)2
(3+4k2)(4+3k2)
=168
12+12-1
(k2+1)2
,
令1
k2+1
=t∈(0,1),
则-t2+t+12∈12,49
4
.
则|AC|+|BD|∈96
7
,14.
由①②可知|AC|+|BD|的取值范围是96
7
,14.。