备战2020年高考数学一轮复习 第8单元 不等式单元训练(A卷,文,含解析)

1
单元训练金卷▪高三▪数学卷(A ）
第8单元 不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．2
2
a
b >
B ．||||a b >
C ．11
a b <
D ．a
2．不等式2
620x x --+≤的解集是（
）
A ．
21|32x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬
⎩
⎭
B ．⎧
⎨
⎩
C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨
⎬⎩
⎭或 D ．1
223x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩
⎭
3．不等式1
02x x +≤-的解集为（
）
A ．{}|12x x -≤≤
B ．{}|12x x -≤<
只
装
订
不
密封
准考证号 考场号 座位号
2
C ．{}12x x x ≤-≥或
D ．{}12x x x 或≤->
4．不等式
26
01
x x x -->-的解集为（ )
A ．{}23x x x <>－或
B ．{}213|x x x <-<<或
C ．{}
1|23x x x <<->或
D ．{}2113x x x -<<<<或
5．设0a >，0b >
，若3a
与3b
的等比中
项，则14
a b +的最小值为（
） A ．2 B ．8
3
C ．3
D
．6．已知,x y 满足约束条件20
2020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值与最小值之和为(
） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
7．已知(),M x y 是圆221x y +=上任意一点，则
2
y
x +的取值范围是( ）
A
．⎡⎢⎣⎦
B
．⎡⎣
C
．3,,3⎛⎡⎫
-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦
⎣⎭
D ．()
,3,⎡-∞+∞⎣
8．已知实数x ,y 满足41x y -≤-≤-，
145x y -≤-≤,则9x y -的取值范围是( ) A ．[7,26]-
B ．[1,20]-
C ．[4,15]
D ．[1,15]
9．设0a b >>，且2=ab ，则21
()
a a a
b +-的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．若不等式2
0ax
x a -+>对一切实数x 都成
立，则实数a 的取值范围为（ )
A ．12
a <-或1
2a > B ．1
2a >或a <
C ．1
2
a >
D ．11
22
a -
<<
11．在上定义运算，若存在
使不等式成立，
则实数的取值范围为（）
A ．
B ．
C ．
D ．12．已知函数，若对任意
的正数,满足，则31
a b
+的最
小值为（）
A．6 B．8 C．12 D．24
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5
分．
13．已知实数x,y满足约束条件
20
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩
，
若2
z x y
=+的最小值为3,则实数b=____．14．已知关于x的不等式20
ax bx c
++<的解集是1
2
2
x x x
⎧⎫
<->-
⎨⎬
⎩⎭
或，则20
ax bx c
-+>的
解集为_____．
15．已知不等式:①；②11
a b
>>;③,如果且，则其中正确不等式的个数是_______．
16．已知π0,
2
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,则
22
13
sin cos
αα
+的最小值为__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分）已知下列三个不等式：①；
②c d
a b
>；③,
3
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
18．（12分)已知函数2
()45()
f x x x x
=-+∈R．（1）求关于x的不等式()2
f x<的解集;（2)若不等式()|3|
f x m
>-对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
4
5
19．（12分）若变量x ，y 满足约束条件
20360x y x y x y +-≥-≤-≥⎧⎪
⎨⎪⎩
,求: （1）2
3
y z x +=+的取值范围；
（2)
的最大值．
20．（12分）已知,a b是正实数,且2
+=，
a b
证明：
（1
≤；
2
(2）33
++≥．
a b a b
(4
)()
21．（12分）雾霾大气严重影响人们的生
活，某科技公司拟投资开发新型节能环
保产品，策划部制定投资计划时，不仅
要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑
可能出现的亏损，经过市场调查，公司
打算投资甲、乙两个项目，根据预测，
6
甲、乙项目可能的最大盈利率分别为
和，可能的最大亏损率分别为和
，投资人计划投资金额不超过9万元，
要求确保可能的资金亏损不超过万
元．
（1）若投资人用x万元投资甲项目，y
万元投资乙项目,试写出x，y所满足的条
件，并在直角坐标系内作出表示x，y范
围的图形；
（2)根据（1)的规划,投资公司对甲、乙两
个项目分别投资多少万元,才能使可能的
盈利最大？
7
8
22．(12分）已知不等式212x -<的解集与关于x 的不等式2
0x px q --+>的解集相同．
(1）求实数,p q 值;
(2）若实数,a b +
∈R ，满足4a+b =p+q ,求
14
a b
+的最小值．
1
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）
第8单元 不等式 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】选项A ：由不等式性质
2
2
0a b a b
>>⇒>可知，是两个正数存在a b >，
才有2
2
a
b >，本题的已知条件没有说明是两
个正数,所以本选项是错误的；
选项B ：若2,1-=-=b a ,显然结论||||a b >不正确,所以本选项是错误的; 选项
C:11b a
a b ba
--=，
a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性,
所以本选项不正确；
选项D ：若0c =，由a b >，可以得到2
2ac bc =，
若0c ≠时，由不等式的性质可知：
a b >，2220c ac bc >⇒>,故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确,
所以本题选D ． 2．【答案】B 【解析】
2620x x --+≤，2620x x ∴+-≥，即
(21)(32)0x x -+≥，
解得2
3x ≤-或1
2x ≥，故选B ． 3．【答案】D
【解析】因为102x x +≤-，所以1
02x x +≥-，即得1
x ≤-或2x >，故选D ． 4．【答案】C
【解析】不等式
26
01
x x x -->-的解集等价于不
2
等式的解集，
由数轴标根法可知，不等式的解集为{}1|23x x x <<->或,
故选C ． 5．【答案】C
【解析】因为33是3a
与3b
的等比中项，所
以23(33)3
33b a
⋅==，故3a b +=,
因为0a >，0b >， 所以
41411411()145233334b a b a b a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当且仅当4b a
a b =，即1,2a b ==时，取等号,故
选C ．
6．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域
如图所示，
目标函数，即2y x z =-+，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为
max 2226z =⨯+=，
其中z 取得最小值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点A 处取得最小值，
联立直线方程20
20y x y -=⎧⎨+-=⎩
，可得点的坐标为
()0,2A ，
据此可知目标函数的最小值为
min 2022z =⨯+=．
综上可得2z x y =+的最大值与最小值之和为8．故选C ． 7．【答案】A
【解析】2y
x +表示圆上一点()x y ，与点(2,0)
-连线的斜率，由图可知，
当过(2,0)-的直线与圆221x y +=相切时，目标函数取得最值,
设过(2,0)-且与圆221x y +=相切的直线方程为(2)y k x =+,即20kx y k -+=，
因此根据点到直线距离公式可得
2211k
k =+，解得3k =
所以332y x ≤≤+，故选A ．
8．【答案】B
【解析】令m x y =-，4n x y =-，3
43n m x n m y -⎧
=⎪⎪⇒⎨
-⎪=⎪⎩
,则85
933z x y n m =-=-， 41m -≤≤-,5520
333
m ∴≤-≤，
又
15n -≤≤，8840
333
n ∴-≤≤，因此85
192033
z x y n m -≤=-=-≤，
故本题选B ． 9．【答案】D
【解析】因为0a b >>，∴()0a a b ->, 又由2=ab ,所以
22111
2()2()()()
a a a
b a a b a a b a a b a a b +
=-++=-++---
1
2()2224()
a a
b a a b ≥-⋅
+=+=-,
当且仅当()1a a b -=,即3a =,3
3
2=
b 时等号成立, 所以21
()
a a a
b +
-的最小值是4，故选D ．
10．【答案】C
【解析】显然a =0,不等式不恒成立,所以不等式2
0ax
x a -+>对一切实数x 都成立,
则00a Δ>⎧⎨<⎩,即20140a a >⎧⎨-<⎩
，解得1
2a >,
所以实数a 的取值范围是1
2a >．故选C ． 11．【答案】C 【解析】令， 因为，即
,
也就是
,
在时，，
取最大值为6，
所以，
解得
，故选C ．
12．【答案】C 【解析】因为所以
定义域为， 因为()2
2
1
log 1f x x x =++，所以为减函数,
因为()2
2
1
log
1f x x x
=++，
，
所以为奇函数， 因为
,所以，即
，
所以(
)3131936b a
a b a
b
a
b a
b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
, 因为992
6b a b a
a
b a b
+≥⨯=，所以3112a b +≥（当且
仅当12a =
,1
6
b =时，等号成立）， 故选C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】9
4
【解析】由已知作可行域如图所示，
2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，
由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，
由0000
023
2y x y x y x b
=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩,解得034x =,032y =，9
4b =， 故答案为94
． 14．【答案】122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
【解析】由题意，关于x 的不等式
2
0ax bx c ++<的解集是122x x x ⎧⎫
<->-⎨⎬⎩
⎭或，
则0122122a b a c a ⎧
⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=-⎨ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫-⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎩
，解得5
2
b a =
,c a =， 所以不等式2
0ax
bx c -+>，即为
2
2551022ax ax a a x x ⎛⎫
-+=-+> ⎪⎝⎭
，
即2
5102x x -+<，即1(2)02x x ⎛⎫--< ⎪⎝
⎭，解得1
22x <<， 即不等式2
0ax bx c -+>的解集为122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
． 15．【答案】2 【解析】因为且
，所以
,
①
化简后是
，显然正确;②
11
0a b
>>显然正确； ③化简后是
，显然不正确．
故正确的不等式是①②，共2个，故答案
为2．
16．【答案】
【解析】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，所以
,，
所以
()222222
2213cos 3sin sin cos 4sin cos s cos in αααααααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
2222
cos 3sin 42423si cos n αα
αα≥+⋅=+ 当且仅当2222
cos 3sin sin cos αα
αα
=，即4
1
tan 3
α=
时等号成
立． 所以22
min
13423sin cos αα⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
三、解答题：本大题共6个大题，共
70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】可组成3个正确命题．
【解析】（1）对②变形，得0c d bc ad
a b ab
->⇔>, 由,得②成立，即①③②．
（2）若00bc ad
ab ab ->>，，则,即①②③． （3）若0bc ad
bc ad ab
->>，，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题． 18．【答案】（1){}13x x <<;(2）(2,4)． 【解析】（1）由()2f x <,得2
430x
x -+<,即
13x <<，
所以()2f x <的解集为{}13x x <<．
（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立
min |3|()m f x ⇔-<，
由2
2()45(2)1f x x x x =-+=-+，得()f x 的最小值为
1,
所以|3|1m -<恒成立,即131m -<-<,所以
24m <<，
所以实数m 的取值范围为(2,4)．
19．【答案】（1）25,56z ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
;(2）．
【解析】作出可行域,如图所示:
由20
36
x y x y +-=-=⎧⎨
⎩，解得点；由20
x y x y +-=-=⎧⎨
⎩，解得点
；
由36
x y x y -=-=⎧⎨
⎩，解得点．
（1）2
3
y z x +=+，可看作可行域内的点与
定点连线的斜率． 所以在点，
处取得最优解．
所以min
022235AM z
k +==
=+，max 325
336
CM z k +===+． 所以23
y z x +=+的取值范围为25,56⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （2）由，可得1322
z
y x -=+， 故在点
处取得最大值，则．
20．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）
,a b 是正实数，2a b ab ∴+≥，
1ab ∴≤,
∴(
)
2
24a b
a b ab +=++≤,2a b ∴+≤，
当且仅当1a b ==时,取""=． （2）
222a b ab +≥,∴
()()2
2222224a b a b ab a b +≥+=+=，∴222a b +≥,
∴
()()
(
)
2
3
3
44334422
22
24
a b a
b a b a b ab a b a b a b
++=+++≥++=+≥，
当且仅当221a b
a b =⎧⎨=⎩
，即1a b ==时，取""=．
21．【答案】（1)详见解析；（2）用万元投资甲项目，万元投资乙项目．
【解析】（1）由题意，知x ，y 满足的条
件为9
0.20.1 1.4
00
x y x y x y +≤+≤≥≥⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界
（2）根据第一问的规划和题设条件,依题意可知目标函数为，
在上图中，作直线:，平移直线， 当经过直线与
的交点A 时,
其纵截距最大, 解方程与
，解得
，
，
即，
此时万元，
所以当
，时，z 取得最大值
, 即投资人用5万元投资甲项目,4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元,
且使可能的利润最大
22．【答案】（1）3
1,4p q =-=
；（2）92． 【解析】(1)212x -<,解得13
22
x -<<，
又2
0x
px q --+>20x px q ⇒+-<，解集为
13
22
x -
<<， 故12
-和3
2是方程的两根，根据韦达定理得到1
134p p q -=⎧⎪⇒=-⎨-=-⎪⎩
，3
4q =．
（2）2a b +=,则
14114149
()5222
b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当4b a
a b
=，即2b a =时取等号，即23a =,43b =时有最小值92
．。