欣宜市实验学校二零二一学年度招生国统一考试数学试题江苏卷,参考解析试题_1

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度绝密★启用前
2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕
数学I 本卷须知
考生在在答题之前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求
1.本套试卷一共4页，包含非选择题〔第1题~第20题，一共20题〕.本卷总分值是为160分，考试时间是是为120分钟。

在在考试完毕之后以后，请将本套试卷和答题卡一起交回。

2.在答题之前，请必须将本人的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写上在试卷及答题卡的规定的指定正确位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的规定的正确位置答题，在其他位置答题一律无效。

5.如需改动，须需要用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分，请把答案填写上在答题卡相应位置上 1.集合{}=1,2A
，{}=+2,3
B a a ，假设A
B ={1}那么实数a 的值是________
2.复数z=〔1+i 〕〔1+2i 〕,其中i 是虚数单位，那么z 的模是__________
、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进展检验，那么应从丙种型号的产品中抽取件. 4.右图是一个算法流程图，假设输入x 的值是
1
16
，那么输出的y 的值是. 5.假设tan 1-
=46
πα⎛⎫
⎪⎝
⎭,那么tan α=. 6.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，那么
1
2
V V 的值是
()f x = D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，那么x ∈D 的概率是
xoy 中,双曲线2
213
x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1
,F 2
,那么四边形F 1
PF 2
Q 的面积是
{}n
a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n
，3
6763，44
S
S =
=， 那么8a =
10.某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x 的值是
()3x x
1
2x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，假设
()()
2a-1+2a ≤f f 0，那么实数a
的取值范围是。

12.如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1
OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与
OC 的夹角为45°。

假设OC =m OA +n OB 〔m ，n ∈R 〕，那么m+n=
13.在平面直角坐标系xOy 中，A 〔-12,0〕，B 〔0,6〕，点P 在圆O ：x 2
+y 2
=50上，假设PA ·PB ≤20，那么点P 的横坐标的
取值范围是
14.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1⎡⎣上，()
2,,x x D f x
x x D
⎧∈=⎨∉⎩其中集合D=1
,n x x n N n +⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，
那么方程f(x)-lgx=0的解的个数是. 15.〔本小题总分值是14分〕
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F 〔E 与A 、D 不重合〕分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：〔1〕EF ∥平面ABC ； 〔2〕AD ⊥AC.
16.〔本小题总分值是14分〕
向量a =〔cos x ,sin x 〕,b =(3,−√3),x ∈[0,π].
〔1〕假设a ∥b ，求x 的值；
〔2〕记f (x )=a ∙b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值 17.〔本小题总分值是14分〕
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆10:＞＞2222x y +=(a b )a b
E 的左、右焦点分别为
F 1
，F 2
，离心率为1
2P 在椭
圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. 〔1〕求椭圆E 的HY 方程；
〔2〕假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 18.〔本小题总分值是16分〕
如图，程度放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，
容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm.〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕
〔1〕将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中局部的长度； 〔2〕将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中局部的长度. 19.〔本小题总分值是16分〕
对于给定的正整数k ,假设数列l a n l 满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111...
...2n k n k n n n k n k n k =2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立，那么称数列l a n l 是“P(k)数列〞. (1)证明：等差数列l a n l 是“P(3)数列〞；
（1） 假设数列l a n l 既是“P(2)数列〞，又是“P(3)数列〞，证明：l a n l 是等差数列.
20.〔本小题总分值是16分〕
函数
()
f
x =x x +++>∈321(a 0,b R)a bx 有极值，且导函数()f
x ，
的极值点是()f x 的零
点。

〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕
（1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2） 证明：b ²>3a; （3） 假设()f x ，()f
x ，
这两个函数的所有极值之和不小于7-2
，求a 的取值范围。

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕
数学II 〔附加题〕
本卷须知
考生在在答题之前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求
1.本套试卷一共2页，均为非选择题〔第21题~第23题〕。

本卷总分值是为40分，考试时间是是为30分钟。

在在考试完毕
之后以后，请将本套试卷和答题卡一起交回。

2.在答题之前，请必须将本人的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写上在试卷及答题卡的规定的指定正确位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的规定的正确位置答题，在其他位置答题一律无效。

5.如需改动，须需要用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内答题．．．．．．．．．．．．。

假设多做，那么按答题的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

A.【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值是10分〕
如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足。

求证：〔1〕∠PAC =∠CAB ; 〔2〕AC 2
=AP ·AB 。

B.[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值是10分〕 矩阵A=[
0110]，B=[10
02
]. (1) 求AB;
假设曲线C 1;
22
y =182
x +在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，
求C 2的方程.
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值是10分〕
在平面坐标系中xOy 中，直线l 的参考方程为x 82
t t
y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕,曲线C 的参数方程为2
x 2s ,
22s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩〔s 为参数〕。

设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的间隔的最小值 Ｄ．［选修4-5：不等式选讲］〔本小题总分值是10分〕 a,b,c,d 为实数，且a 2
+b 2
=4,c 2
+d 2
=16,证明ac+bd ≤8.
22.〔本小题总分值是10分〕
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD =120º.
〔1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； 〔2〕求二面角B-A 1D-A 的正弦值。

23.〔本小题总分值是10〕
一个口袋有m 个白球，n 个黑球〔m,n ∈
2N ,n ≥2〕,这些球除颜色外全部一样。

现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如
下列图的编号为1,2,3，……，m+n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉〔k=1,2,3，……，m+n 〕. 〔1〕试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
〔2〕随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x 的数学期望，证明
参考解析
1.1【解析】由题意1B ∈，显然2
33a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．
10(1)(12)1122510z i i i i =++=++==10
8【解析】所求人数为300
601810000
⨯
=，故答案为18．
4.2-【解析】由题意21
2log 216
y =+=-，故答案为－2．
5.75【解析】11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---．故答案为
75．
6.32【解析】设球半径为r ，那么
213223423
V r r V r ππ⨯==．故答案为3
2．
7.
59
【解析】由260x x +-≥，即2
60x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)5
5(4)9
--=--.
8.
【答案】【解析】
右准线方程为x =
，
渐近线为y =，
那么P
，Q
，1(F
，2F
，那么S ==. 9.【答案】32
【解析】当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，那么7812324a =⨯=. 10.【答案】30
【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900
x x
=
，即30x =时等号成立. 11.1[1,
]2-【解析】因为31
()2e ()e
x x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，
因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增，
又
21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，
解得112a -≤≤
，故实数a 的取值范围为1
[1,]2
-. 15.【解析】〔1〕在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，那么AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥
平面ABC .
〔2〕∵BC ⊥BD ，平面
ABD 平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面
ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面
ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面
ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD
⊥AC.
16.【解析】〔1〕∵a ∥b
，∴3sin x
x =，又cos 0x ≠
，∴tan x =x ∈[0,π]，∴5π
6
x =. 〔2〕
(
)π
3cos )
3
f x x x x =-=--.∵x ∈[0,π]，∴
ππ2π[,]333
x -∈-，
∴
πsin()13x ≤-≤，
∴()3f x -≤，当ππ
33
x -=-，即0x =时，
f (x )获得最大值，为3；当ππ
32
x -=，即5π
6
x =
时，f (x )
获得最小值，为-. 17.【解析】〔1〕∵椭圆E 的离心率为
1
2，∴1
2
c a =①.∵两准线之间的间隔为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，
∴b =E 的HY 方程为22
143
x y +=. 〔2〕设00(,)P x y ，那么000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧
=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩
，整理得02
01x x x y y
=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭
圆E 上，∴2200143x y +=，∴222
0020
(1)33y x y -=，∴2
20
0169
,77
x y =
=，故点P
的坐标是()77. 18.【解析】〔1〕记玻璃棒与1CC 交点为H
，那么30CH =
，3
sin 4
HAC ∠=
，没入水中的局部为12
16sin HAC
=∠(cm).
19.【解析】当{a n }为等差数列时，∵1112n k n k n n n k n a a a a a ka --+-++++++++=，
∴111(21)n k n k n n n n k n a a a a a a k a --+-+++++++++=+，
∴
(21)(21)2
n k n k
n a a k k a -+++=+， ∴2n k n k n a a a -++=.
〔2〕21124n n n n n a a a a a --+++++=〔2n >，n ∈Z 〕， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=〔2n >，n ∈Z 〕， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.
20.【解析】〔1〕因为
2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3
a
x =-
， 所以
()03
a
f -=，所以3239a b a =+， 因为2
4120a b ∆=->，所以3a >.
〔2〕2
63
45-39813
b a a a =
-+， 因为135
278
t =
<， 所以
min (27)0y y >=，所以b ²>3a .
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内答题．．．．．．．．．．．．。

假设多做，那么按答题的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

A.【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值是10分〕
【解析】〔1〕因为PC 是圆O 的切线，所以PCA CBA =∠∠， 又AP ⊥PC ，所以90PAC PCA +=︒∠∠，
因为B 为半圆O 的直径，所以90CAB CBA +=︒∠∠，所以PAC CAB ∠=∠.
〔2〕由〔1〕可得PAC CAB △∽△，所以PA AC CA AB
=
，所以2
·AC AP AB =. B.【解析】〔1〕AB =[
0110][1002]=[02
10
]. 〔2〕设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤
⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
所以112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112
x y
y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，所以228x y +=即曲线C 2
的方程.
C.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=
，设2
(2,)P s
，
那么点P 到直线l
的的间隔22d ==
，
易知当s
=
min 5d =
=. D.【解析】由柯西不等式可得2
2222()()()a
b c d ac bd ++≥+，
即2
()
41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.
22.【解析】以AB ，AD ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，那么A 〔0,0,0〕，B 〔2,0,0〕，D 〔0,2,0〕，A 1〔0,0
，
C 1〔2,2
〕.
〔1
〕
11(2,0,3),A B AC =-
=1111114cos ,||||7A
B A
C A B AC A B AC ⋅=
==
，
即A 1B 与AC 1
. 〔2〕设平面BA 1D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，又(2,2,0)BD =-，
那么1
220
20
BD x y A
B x ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅==⎪
⎩m m ，取x =2y z ==
，即2)
=m .
又平面AA 1D 的一个法向量为(1,0,0)=n ，
所以cos |⋅⋅=
==
⋅m n m n |m |n |，所以sin 10
⋅=
m n . 23.【解析】〔1〕112
22
C C C 22()(1)
m n n
m n n n mn P A m n m n ++-+==++-.。