周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析

周期函数运算
（加、减、乘、除、复合）结果分析
摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用. 关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期
1周期函数与周期
周期函数与周期的定义
设函数(),y f x x A =∈,如果存在一个数
T ,对任意x A ∈,有x T A +∈,且
()()f x T f x +=,则函数()y f x =叫做周期函数,数T 叫做函数()y f x =一个周期.函数具
有周期的性质叫做函数的周期性.
周期函数的周期的性质
性质1 若T 是(),y f x x A =∈的周期,则T -也是()y f x =的周期. 证明 因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以()(),f x T f x x T A +=+∈. 令'x x T A =+∈,则'x x T A =-∈,代入上式得:
(')(')f x f x T =-,即:
(')('),f x T f x x T A -=-∈.
所以T -也是()y f x =的周期.
性质2 若T 是(),y f x x A =∈的周期,且()x nT A n Z +∈∈,则nT 也是()y f x =的周期.
证明 (1)证明当n N ∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期(运用数学归纳法). ② 当1n =时,
T 是()y f x =的周期.
②假定当n k =时, kT 是()y f x =的周期,则()()f x kT f x +=,那么当1n k =+时,有
[(1)]()()()f x k T f x kT T f x kT f x ++=++=+=.
所以(1)k T +是()y f x =的周期.
由①、②可知:对于所有的自然数,n x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期. (2)当0n =时, ,0x nT x A nT +=∈=,显然, nT 是()y f x =的周期(特殊周期). (3)证明当n Z -∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期. 因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以由性质1可得:
T -也是()y f x =的周期.
又因为,()()n N x n T x nT A -∈+-⋅-=+∈即: ()()x n T A +--∈,所以由以上(1)的结论可得: ()n T --是()y f x =的周期.即: nT 是()y f x =的周期.
综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若T 是(),y f x x A =∈的周期, ()x nT A n Z +∈∈,则
nT 也是()y f x =的周期.
由性质1和性质2可得出如下结论:
结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期. 结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.
最小正周期的定义
由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:
设周期函数()y f x =,把()y f x =的所有正周期中的最小的一个叫做函数()y f x =的最小正周期.
显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.
2 周期函数的和、差、积、商函数
周期函数的和、差、积、商函数的周期性
周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点下面的定理可给出明确的回答. 定理1 设函数1()y f x =与2()y f x =都是定义在A 上的周期函数,周期分别为1T 与2T ,且
12T p a T q
==（a 为正有理数, ,p Z q Z ++
∈∈,且p 与q 互为质数),若
12,M qT pT x M A
==+∈,则
M
为函数
12()()f x f x +、12()()f x f x -、12()()f x f x ⋅、1
2()
()f x f x
2()0)f x x A ≠∈（，的周期.
证明 因为
12(,T p
p Z q Z T q
++=∈∈,且p 与q 互为质数),所以12qT pT M ==,即: M 为1T 与2T 的最小公倍数.
又因为1T 与2T 分别为1()y f x =与2()y f x =的周期,所以根据性质2可得:
M 为
1()y f x =与2()y f x =的周期.
所以 1122()(),()().f x M f x f x M f x +=+= 1212()()()().f x M f x M f x f x +++=+ 所以M 为函数12()()f x f x +的周期. 同理可证明:
M 为函数1121222()()()()()()0)()
f x f x f x f x f x f x x A f x -⋅≠∈、、（，的周期.
这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.
周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用
周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:
第一步:求出两个周期函数1()y f x =与2()y f x =的周期.设周期分别为1T 与2T . 第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即12T p a T q
== (a 为正有理数, ,p Z q Z +
+
∈∈,且
p 与q 互为质数).
第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出12M qT pT ==.那么最小公倍数
M 即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积
函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可
3 复合函数周期性
复合函数周期性的判定
定理2 设()u f x =是周期函数,函数()y g u =与()u f x =满足复合函数的条件,则复合函数[()]y g f x =是周期函数,且()u f x =的周期也是复合函数[()]y g f x =的周期.
证明 记()[()]F x g f x =,设l 为函数()f x 的一个周期.
任何()x D f ∈,则()()f x l f x +=,()[()][()]()F x l g f x l g f x F x +=+==. 同理()u f x =()()F x l F x -=,
因此,()[()]F x g f x =为周期函数,()f x 的周期也是[()]g f x 的周期. 必须指出, ()u f x =的最小周期未必是[()]y g f x =的最小正周期. 例1 2
()y g u u ==,()sin u f x x ==.复合函数21cos 2sin 2
x
y x -==
,()sin f x x =的最小正周期是2π,2
[()]sin g f x x =的最小正周期是π,所以()f x 的最小正周期2π是
[()]g f x 的周期,但不是它的最小正周期.
定理1可以推广到有限个函数复合的情形. 推论 设11()y f x =是周期函数,
11()y f x =,221()y f y =,L ,1()n n n y f y -=, 这n 个函数满足复合的条件,记
121()[(())]n n F x f f f f x -=L ,
则()F x 是周期函数,且1()f x 的周期是复合函数()F x 的周期.
例2 讨论函数y =的周期性.
解 函数y 的定义域
{()}4
2
D x R n x n n Z π
π
ππ=∈+
≤<+
∈,
函数y =
可看作12
y u =,ln u v =,tan v x =的复合函数,容易验证tan x 在D
上是周期函数,具有最小正周期π,有定理1的推论, y =
是周期函数.π是函数
.函数y 的零值集
0{()}4
D x x n n Z π
π==+
∈
有最小正周期π,因此, π.
在定理1中,如果()y g u =是周期函数,()u f x =是一般的函数,特别()u f x =不是周期
函数时,复合函数[()]y g f x =未必是周期函数.如sin y u =,2u x =的复合函数2
sin()y x =不是周期函数.而sin y u =,u ax b =+的复合函数sin()y ax b =+是周期函数.有下面一般性的结论.
定理3 设()y g u =是周期函数,l 是()g u 的一个周期,u ax b =+(,,0)a b R a ∈≠,则复合函数()y g ax b =+是周期函数,且
l
a
时函数()g ax b +的周期. 证明 设()y g u =的定义域为D ,记()()G x g ax b =+,则()()y G x g ax b ==+的定义域1{}D x R ax b D =∈+∈.
任意1x D ∈,则ax b D +∈,由l 为()g u 的周期,有ax b l D +±∈,即()l a x b D a
±+∈,所以1l
x D a
±
∈. 又()[()]l l G x g a x b a a
+=++
[()]g ax b l =++ ()()g ax b G x =+=,
因此,()()G x g ax b =+为周期函数,
l
a
为()G x 的周期. 也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.
例3 2
y u x ==,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数
cos cos y x x ===是周期函数,且有最小正周期.
几类复合周期函数的最小正周期问题
1
()
f x 的最小正周期 定理4 函数()f x 是定义在D 上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数1()()
F x f x =
是集合{()0}x D f x ∈≠上的周期函数,且函数()f x 的周期都是
1
()
f x 的周期. 必须指出,函数()f x 与
1
()
f x 的周期未必是一致的.
例4 函数0,()1,.x f x x R Z ⎧=⎨
∈-⎩
为偶数,
显然, ()f x 是以2为最小正周期的周期函数.
1
1()()
x R Z f x ≡∈- 易见
1
()
f x 是以1为最小正周期的周期函数. 定理5 若函数()f x 是R 上的不恒为零的周期函数,则函数()f x 与
1
()
f x 的周期一致. 证明 由定理1,函数()f x 的周期都是函数()F x 的周期. (){()0}D F x R f x =∈≠,设
0l 为函数()F x 的任意一个正周期.
任意()x D F ∈,则0()x l D F ±∈,且0()()F x l F x ±=, 从而0()()f x l f x += (1) 任意()R D F -,则()0f x =,因此0()0f x l +=.从而,
0()()0f x l f x +== (2)
由(1),(2)两步证明,0l 为函数()f x 的周期,所以函数()F x 的每个周期都是()f x 的周期. 由定理5,立即有:
推论 函数()f x 是R 上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数,则函数
1
()
f x 与()f x 具有相同的最小正周期.
()f x 的最小正周期
定理6 函数()f x 是周期函数,则()f x 是周期函数,且函数()f x 的周期都是()f x 的周期.
证明 因为()f x 是周期函数,
T 是它的周期
所以()()f x T f x += (x x T +、都是在定义域内) , 由绝对值的性质得()()f x T f x += , 所以()f x 也是周期函数,
T 是它的周期.
必须指出,函数()f x 的周期未必是函数()f x 的周期,甚至可能()f x 有最小正周期,但
()f x 未必有最小正周期.
例 1: 证明函数()sin cos f x x x =+是周期函数,并求出它的一个周期.
证明 因为sin x 和cos x 都是周期函数, 2π是它们的周期, 所以由上面定理 6得
sin x 和cos x 都是周期函数, 并且2π是它们的周期, 由上面定理 得sin cos x x +也
是 周 期 函 数 , 又 因 为sin()cos()cos sin sin cos 22
x x x x x x π
π
+
++=+-=+, 所以
2
π
是()sin cos f x x x =+的一个周期.
例5 函数()f x sin x =,函数()f x =sin x 有周期x ,但π不是sin x 的周期. 还要指出,定理6的逆不成立,即函数()f x 为周期函数时,函数()f x 未必是周期函数. 例6 函数()f x =sin x 不是周期函数,但函数()f x sin sin x x ==是周期函数. [()]n
f x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期
定理7 函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数[()]n
f x 是周期函数,且函数()f x 与
[()]n f x 的周期一致.
定理8 函数()f x 是周期函数,若n 为正偶数, 则函数[()]n
f x 是周期函数,且函数
[()]n f x 与()f x 的周期一致.
定理9函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负奇数,则函数[()]n
f x 是周期函数,且
[()]n f x 与
1
()
f x 的周期一致. 定理10函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负偶数,则函数[()]n
f x 是周期函数,且[()]n
f x 与
1
()
f x 的周期一致. 1[()]n
f x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期
n 为正奇数时,函数1[()]n
f x 的定义域与()f x 的定义域相同,且1(){[()]}n
n
f x f x =,因
此,由定理7可得
定理7＇函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数1[()]n
f x 是周期函数,且函数()
f x
与1[()]n
f x 的周期一致.
n 为正偶数时,函数()f x 是非负的周期函数,则函数1[()]n
f x 的定义域
1{()0}()D x R f x D f =∈≥=.
1
{[()]}()n n
f x f x =.
因此,由定理8,有
定理8＇函数()f x 是非负的周期函数,若n 为正偶数, 则函数1[()]n
f x 是周期函数,且函数1[()]n
f x 与()f x 的周期一致.
n 为负奇数时,函数1[()]n
f x 的定义域与1()
f x 的定义域相同,且
1
1
{[()]}()n n f x f x -=. 因此,由定理9,有
定理9＇函数()f x 是不恒为零的周期函数,若n 为负奇数，则函数1[()]n
f x 是周期函数,且函数1[()]n
f x 与
1
()
f x 的周期一致. n 为负偶数时,函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数, 函数1[()]n
f x 的定义域与
1()
f x 的定义域相同,且1
1{[()]}()n
n f x f x -=.
因此,由定理10,有
定理10＇函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数,若n 为负偶数，则函数1[()]n
f x 是周
期函数,且函数1
()
f x 与1
[()]n f x 的周期一致.
参考文献
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英文摘要
Probed into cycle function and cycle properties of the sum, the difference, the product and the quotient of it
Abstract The paper probes into the definition of cycle function and cycle,
cycle properties of cycle function and the definition of least positive cycle, and furthermore probes into cycle properties of the sum ,the difference ,the product ,the quotient of cycle function ,thus coming to its theorem ,and illustrates its application.
Key words cycle function; cycle; cycle properties; least positive cycle。