辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试数学试题 Word版含答案

高二综合测试------大连市103中学
一、单选题
1．用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）
A．120B．72C．60D．48
2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（）
A．
2
19
B．
9
95
C．
48
95
D．
5
19
3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为a n,则a3等于()
A．26 B．27
C．7 D．8
4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是
3
10
的事件为()
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1n
n P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有
10k -<<，那么在这期间人口数
A ．呈下降趋势
B ．呈上升趋势
C ．摆动变化
D ．不变
6．有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为()E X =（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．3.5
7．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（ ）．
A ．0d <
B ．6S 与7S 是n S 的最大值
C ．95S S >
D ．70a =
8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，则249a a a ++=（ ） A ．9
B ．15
C ．18
D ．36
9．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31n n n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=
（ ） A ．()
2
31-n
B ．
()
1912
n
- C ．91n -
D ．
()
1314
n
- 10．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()sin cos x x '=-
B ．1ln x x '
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．()
1x x a xa -'=
D ．
'
=
11．已知函数()2ln f x x x =+，则()1f '=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．下列关于求导叙述正确的是（ ） A ．若()sin f x x =，则()cos f x x '=- B ．若()ln f x x x =+，则()1
x f x x
+'=
C ．若()2
4f x x =，则()4f x x '=
D ．若()x
f x e x =-，则()01f '=
二、填空题
13．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：
(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n n
f a n =∈*
)N ,*(2)()n n f b n N n =∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.
以上结论正确的是__________．
14．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．
16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 三、解答题
17．设{}n a 是等比数列的公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列，
已知11a =，322a a =+，
435a b b =+，5462a b b =+.
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式
（2）设()()111n
n n n a c a a +=
++，数列{}n c
的前n 项和为n T ，求n T ；
（3）设2,2{(log 1),2k
n n k
n n b n d b b n ≠=+=，其中k *
∈N ,求21
n
i i d =∑
18．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且218S =-，110S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n
n S b n
=，求证：数列{}n b 是等差数列.
19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且
00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．
（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；
（2）若函数2
()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值
20．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1;(1))M f --处的切线方程为
670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
21．已知在2n
x ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求23
19819n n
n n n n C C C -+++
+的值.
22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为3
4
，且各人是否答对
每道题互不影响.
（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率.
高二综合测试------大连市103中学
一、单选题
1．用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）
A．120B．72C．60D．48
【答案】B
2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（）
A．
2
19
B．
9
95
C．
48
95
D．
5
19
【答案】B
3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为a n,则a3等于()
A．26 B．27
C．7 D．8
【答案】D
4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是
3
10
的事件为()
A．恰有1个是坏的
B ．4个全是好的
C ．恰有2个是好的
D ．至多有2个是坏的 【答案】C
5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1n
n P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有
10k -<<，那么在这期间人口数
A ．呈下降趋势
B ．呈上升趋势
C ．摆动变化
D ．不变
【答案】A
6．有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为()E X =（ ） A ．2 B ．2.5
C ．3
D ．3.5
【答案】B
7．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（ ）．
A ．0d <
B ．6S 与7S 是n S 的最大值
C ．95S S >
D ．70a =
【答案】C
8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，则249a a a ++=（ ） A ．9 B ．15
C ．18
D ．36
【答案】C
9．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31n n n N a a a a *∈++++=-，则2222
123...n a a a a ++++=
（ ） A ．(
)
2
31-n
B ．
()
1912
n
- C ．91n - D ．
()
1314
n
- 【答案】B
10．下列求导运算正确的是（ ）
A ．()sin cos x x '=-
B ．1ln x x '
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．()1x
x a xa -'=
D
．
'=
【答案】D
11．已知函数()2ln f x x x =+，则()1f '=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
12．下列关于求导叙述正确的是（ ） A ．若()sin f x x =，则()cos f x x '=- B ．若()ln f x x x =+，则()1
x f x x
+'=
C ．若()2
4f x x =，则()4f x x '=
D ．若()x
f x e x =-，则()01f '=
【答案】B
二、填空题
13．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：
(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n n
f a n =∈*)N ,*
(2)()n n f b n N n =∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.
以上结论正确的是__________． 【答案】②③④ 【解析】
①因为对定义域内任意x ,y ,f (x )满足f (xy )=yf (x )+xf (y )， ∴令x =y =1,得f (1)=0，故①错误， ②令x =y =−1,得f (−1)=0； 令y =−1,有f (−x )=−f (x )+xf (−1)， 代入f (−1)=0得f (−x )=−f (x )，
故f (x )是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确，
③若()22n n
n
f a =
(n ∈N ∗)，
则
()()()()()()(
)()1
1
1
1
1
1122222222
222221222222
2
n n n
n n n n n n n
n n n n
f f f f f f f f a a -------+--=
-=-====.为
常数.
故数列{n a }为等差数列，故③正确， ④∵f (2)=2,f (xy )=xf (y )+yf (x )， ∴当x =y 时,f (x 2)=xf (x )+xf (x )=2xf (x )，
则()()2
2
2
42822
f f ===⨯，
()()()
3223332222222232f f f =+=+⨯=⨯.
… 则()2
2
n
n
f n =⨯，
若()2n n
f b n
=n ∈N ∗)，
则()
()
()()
()
()()111
12121221222
n 1
n
n
n n n n n n f n f n n b n b n n f nf ------====--为常数， 则数列{n b }为等比数列，故④正确， 故答案为②③④．
14．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
【答案】60
15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种． 【答案】1440 【详解】
解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻， ∴采用插空法来解，
先排列甲、乙、丙之外的4人，有4
4A 种结果，
再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有3
5A 种结果，
根据分步计数原理知共有43
451440A A =种结果，
故答案为：1440．
16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260.
三、解答题
17．设{}n a 是等比数列的公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列，已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式
（2）设()()111n
n n n a c a a +=
++，数列{}n c
的前n 项和为n T ，求n T ；
（3）设2,2{(log 1),2k
n n k
n n b n d b b n ≠=+=，其中k *
∈N ,求21
n
i i d =∑
【答案】（1）12n n a ，n b n =；（2）11221
n n T =
-+；（3）()121
43222
n n n --+-⋅+. 【详解】
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，
11a =，由322a a =+，得22q q =+，0q >，解得2q ，则1112n n n a a q --==.
由435a b b =+，5462a b b =+得11
268
31316b d b d +=⎧⎨
+=⎩，解得11b d ==，则()11n b b n d n =+-=；
（2）()()()()(
)(
)
(
)(
)
1111112121211
21212121212111
n n n n n n n n n n n n n
a c a a ----+-+-+===-=++++++++， 011211
1111
111212121212121221
n n n n
T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）由2,2{(log 1),2
k
n n k
n n b n d b b n ≠=+=，其中k *∈N 可得2,2(log 1),2k
n k
n n d n n n ⎧≠=⎨+=⎩，k *∈N 221
1
1
1
2(1)2n
n
n
n
i
i i i i i i i i d ====∴=-++⋅∑∑∑∑，
其中
(
)21
21
1
2122
2
2
n
n n
n n i i --=+=
=+∑，
(
)1
1
2122
2
212
n n
i
n i +=-=
=--∑
设12312232422(1)2n n
n n n S -=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅++⋅，
则2341
22232422(1)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅++⋅，
两式相减得(
)23112124222(1)22(1)2
12
n n n n n
S n n ++--=+++⋯+-+⋅=+-+⋅-
整理得1
2n n S n +=⋅，
则1(1)221
n
i
n i n i ++⋅=⋅=∑，
()
()2121111211
2222432222n
n n n n n n i i d n n --++--=-+∴=+-=⋅⋅+-+∑．
18．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且218S =-，110S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n
n S b n
=
，求证：数列{}n b 是等差数列. 【答案】（1）212n a n =-；（2）见解析. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111121811550S a d S a d =+=-⎧⎨
=+=⎩，解得110
2
a d =-⎧⎨=⎩，
()()111021212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-；
（2）()()()1102121122
n n n a a n n S n n +-+-=
==-，11n
n
S b n n ==-， 从而()()1111111n n b b n n +⎡⎤-=+---=⎣⎦（常数），所以数列{}n b 是等差数列.
19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．
（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；
（2）若函数2
()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值
【答案】（1）证明见解析 （2）
e
2
【详解】
解：（1）函数2(),()22f x x g x x x ==+-，则()1,()22f x g x x ''
==+．
由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得
222
122x x x x ⎧=+-⎨
=+⎩
，此方程组无解， 因此，()f x 与()g x 不存在“S ”点．
（2）函数21f x ax =-（
），()ln g x x =， 则1
2f x ax g x x
'='=（
），（）． 设0x 为()f x 与()g x 的“S ”点，由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，得
200001ln 12ax x ax x
⎧-=⎪
⎨=⎪⎩
，即2
002
01ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -
=，则1221e 22(e )
a -==． 当e
2
a =
时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S ”点．
因此，a 的值为
e
2
．
20．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点(1;(1))M f --处的切线方程为
670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
【答案】（1）()()11,16f f '-=-=；（2）()32
332f x x x x =--+
【解析】
分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可． 详解：
（1）∵f （x ）在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0． 故点（﹣1，f （﹣1））在切线6x ﹣y+7=0上，且切线斜率为6． 得f （﹣1）=1且f′（﹣1）=6． （2）∵f （x ）过点P （0，2） ∴d=2
∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ∴f′（x ）=3x 2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6 又由f （﹣1）=1，得﹣1+b ﹣c+d=1
联立方程得
故f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2
21．已知在2n
x ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求23
19819n n
n n n n C C C -+++
+的值.
【答案】（1）18-；（2）32
5376x -；（3）9101
9
-. 【详解】
（1）由5
5
3
3
(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，
∴通项27522
1
9
(2)r r r
r T
C x
-+=-，
令
2751122
r
-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为1
19(2)18C -=-.
（2）设第1r +项系数的绝对值最大，
则11
9911
99221732022
r r r r r r
r r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为2730
3
662229
(2)5376C x x ---=.
（3）原式()900122
9
9
9
9999
1110199991(19)19
99
C C C C -⎡⎤=+++
+-=+-=⎣⎦. 22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为3
4
，且各人是否答对每道题互不影响.
（Ⅰ）用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）见解析；（II ）135
()2048
P A =. 【详解】
（I ）X 所有可能的取值为0,1,2,3
()3
110464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1331914464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭； ()2
23
312724464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
()3
3273464
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭. X ∴的分布列为
∴数学期望()19272790123646464644
E X ⨯
⨯⨯=++=⨯+. （II ）由题意得：事件A “甲比乙答对题目数恰好多2”发生
即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况
()271279135
646464642048
P A ∴=
⨯+⨯=。