人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）
A ．15
B ．10
C ．152
D ．5 2．如图，在△ABC 中，D
E ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，C
F =6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
3．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）
A ．18013
B ．10
C ．12613
D ．1
4．下列各组线段能成比例的是（ ）
A ．1.5cm ，2.5cm ， 3.5cm ，4.5cm
B ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm
C ．3cm ， 6cm ， 4cm ， 8cm
D ．2cm ，10cm ，5cm ，15cm 5．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，
E ，
F ，若23
=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）
A ．13
B ．23
C ．25
D ．35
6．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D ．2:3
7．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．
结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）
A ．21cm
B ．14cm
C ．6cm
D ．24cm
11．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ）
A ．5(5-1)
B ．5(5+1)
C ．10(5-2) -
D ．5(3-5) 12．如图，已知点
E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）
A ．512-
B ．512+
C ．3
52 D ．352
+ 二、填空题
13．如图圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则
:ABM AFM S S =△△___________．
14．已知a c b d =＝12020
（b +d ≠0），则a c b d ++的值为_______ ． 15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得20BE m =，10EC m =，20CD m =，则河的宽度AB 等于_______．
16．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相
似，则线段PC ______．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．
18．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结
论：①AF ⊥BG ；②BN 43=NF ；③38
BM MG =；④S 四边形CGNF 12=S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是___________．
19．若2a c e b d f
===，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 20．如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是__．
三、解答题
21．综合与实践
将矩形ABCD 和Rt CEF △按如图1的方式放置，已知点D 在CF 上（2CF CD >），90FCE ∠=︒，连接BF ，DE ．
特例研究
（1）如图1，当AD CD =，CE CF =时，线段BF 与DE 之间的数量关系是_______；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_______；
（2）在（1）条件下中，将矩形ABCD 绕点C 旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
探究发现
（3）如图3，当2CF CE =，2CB CD =时，试判断线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由；
知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接BE ，FD ，若22CE CD ==，请直接写出22BE FD +的值．
22．在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上．
（1）以点O 为位似中心画△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，位似比为1:2．
（2）在(1)中所画得图形中，△ABC 的中线CD 与△A 1B 1C 1的中线C 1D 1的位置关系为 ．
23．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连接DE ，DC （E ，C 两点不重合），当AED DCB ∠=∠时，我们把AE EC 称为AD DB 的“类似比”，
（1）若12AD DB =，则“类似比”AE EC =___________； （2）若(1)AD k k DB =<时，求“类似比”AE EC
的值（用含k 的代数式表示）； （3）直接写出AED ∠和“类似比”
AE EC 的取值范围． 24．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．
（1）求证：C ABD BA ∽△△．
（2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．
25．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．
（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）； （2）请证明你找到的点是黄金分割点．
26．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．
（1）问题发现
如图①，对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线
BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变
换60⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
首先证明△ABD ∽△CBA ，由相似三角形的性质可得：△ABD 的面积：△ACB 的面积为1：4，因为△ACD 的面积为15，进而求出△ABD 的面积．
【详解】
∵∠DAB ＝∠C ，∠B ＝∠B ，
∴△ABD ∽△CBA ，
∵AC ＝4，AD ＝2，
∴△ABD 的面积：△ACB 的面积＝（
AD AC
）2＝1：4， ∴△ABD 的面积：△ACD 的面积＝1：3，
∵△ACD 的面积为15，
∴△ABD 的面积＝5．
故选：D ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
2．C
解析：C
【分析】
由DE //BC 可得出53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出△ADE ∽△EFC ，根据相似三角形的性质可得出
53AE DE EC FC ==，再根据CF ＝6,即可求出DE 的长度．
【详解】
解：∵DE //BC ，
∴
53
AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ． 又∵∠ADE ＝∠EFC ，
∴△ADE ∽△EFC ， ∴
53
AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6， ∴
563
DE =， ∴DE ＝10．
故选C
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
连结AM ，AN ，根据圆周角定理可知△ABM 是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC 的长；易证△AMN ∽△ACD ，根据相似三角形的性质即可求出MN 的长．
【详解】
解：连结AM ，AN ，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，
∵AB=13，BM=5，
∴22AB BM -，
∵CM=9，
∴AC=15，
∵∠MCA=∠MNA ，∠MCA=∠CAD ，
∴∠MNA=∠CAD ，
∵∠AMN=∠ACN ，
∴∠AMN=∠ACN ，
∵△NMA ∽△ACD ，
∴AM ：MN=CD ：AC ，
∴12：MN=13：15，
∴MN=18013
． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．
4．C
解析：C
【分析】
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【详解】
解：A 、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；
B 、1×4≠2×3，故本选项错误；
C 、3×8＝4×6，故本选项正确；
D ≠，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
5．C
解析：C
【分析】 先由
23AB BC =得出25
AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】 ∵
23AB BC =， ∴25
AB AC =， ∵a ∥b ∥c ，
∴25DE AB DF AC ==， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13
BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】
解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G
∵D 是BF 的中点，
∴DB DF =
∵//FG BC
∴DFG DBE ∆∆
∴1FG DF BE DB
== ∴FG BE =
又∵//FG BC
∴F C
EC G AF A = ∵CF 2AF =
∴3AC AF =
∴13
BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
7．D
【分析】
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，判断出DE BF =，在根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，便可以找到分的线段成比例。

AD AE DB EC
=，CE CF CA CB =，便可求解了． 【详解】 解：DE ∥BC ，EF ∥AB ∴ 四边形BFED 是平行四边形
DE BF ∴=
DE ∥BC AD ：BD=5：3
53AD AE DB EC ∴
== 38
CE CA ∴= 又EF ∥AB 38
CE CF CA CB ∴== 又
CF=6 16CB ∴=
10BF BC FC ∴=-=
即DE=10
故选C
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．
9．B
解析：B
连结AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD⊥BC，加上CD=BD，根据等腰三角形的判定即可得到AC＝AB；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断
AE BE
≠；接着证明△CED∽△CBA，利用相似比得到CD CE
AC BC
=，然后利用等线段代换
即可判断④．
【详解】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，
∴AE BE
≠，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD CE
AC BC
=，
∴CE•AC=CD·BC，
∴CE•AB=1
2
BC·BC，
∴2CE•AB＝BC2，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．
【详解】
解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AE DE
AC BC
=，
设屏幕上的图形高是x cm，则307 90x
=，
解得：x=21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．C
解析：C
【分析】
画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据
PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的长度．
【详解】
解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知
51 PB AQ
AB AB
-
==
∴AQ=PB，AB=10，
∴AQ =PB 105=，
∴PQ =AQ +PB －AB =5510202)+-==．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512AE AB 和12BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例．
【详解】
解：设正方形ABCD 的边长为a ，
∵点E 是AB 上的黄金分割点，
∴51AE AB ，则AE =，
∴BE AE =，则2
1322BE a a ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，
∵22211322S AE a a ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，
22S BE BC =⋅=，
∴)
2222333222S a a a a -=-
-=，
∴)
223231:2:22
S S a a =
=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 二、填空题
13．【分析】根据正六边形的性质判断出△AMB ∽△BAF 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】由题意可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°则△AMB ∽△BAF 且在△BAF 中∠BAF=120°∴△BAF 是
解析：12 【分析】 根据正六边形的性质，判断出△AMB ∽△BAF ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
由题意，可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°，
则△AMB ∽△BAF ，
且在△BAF 中，∠BAF=120°，
∴△BAF 是顶角为120°的等腰三角形，
作AP ⊥BF ，
∵∠ABF=30°，
∴AB=2AP ，BP=3AP ，BF=2BP=23AP ，
∴3
AB BF =， ∴△AMB ∽△BAF ，相似比为：3
， ∴:1:3ABM AFB S S =△△
∴1:1:22
ABM AFM S S ==， 故答案为：12
．
【点睛】
本题考查正多边形的性质及相似三角形的判定与性质，准确推断出相似三角形，且注意相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
14．【分析】根据已知条件求出abcd 之间的关系再代入计算即可【详解】∵＝∴∴故答案为【点睛】本题考查比例的性质熟练根据比例性质把比例式转换成乘积式是解题的关键
解析：12020
【分析】
根据已知条件求出ab 、cd 之间的关系，再代入计算即可.
【详解】
∵
a c
b d =＝12020
∴2020,2020b a d c == ∴1202020202020()2020
a c a c a c
b d a
c a c +++===+++ 故答案为
12020 【点睛】
本题考查比例的性质。

熟练根据比例性质把比例式转换成乘积式是解题的关键. 15．【分析】易证△ABE ∽△DCE 即可求得【详解】
∵∠ABE=∠DCE=90°∠BEA=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ∴即故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 解析：40m
【分析】
易证△ABE ∽△DCE ，即可求得．
【详解】
∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE ∽△DCE ∴
=AB BE CD CE
即20=2010AB cm m cm =40AB m
故答案为：40m
【点睛】
本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长
【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或
254
【分析】
分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．
【详解】
解：①如图，90CPD ∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，
∴AD BD CD ==，
∴DCP ABC ∠=∠，
∵90CPD BCA ∠=∠=︒，
∴
CPD BCA ， ∴CP CD BC BA =， ∵6AC =，8BC =，
∴10AB =，5AD BD CD ===，
∴5810
CP =，解得4CP =；
②如图，90CDP ∠=︒，
此时CDP BCA ，
∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254
CP =．
故答案是：4或
254
． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 17．5或82【分析】求出BF 和AO 的长分为两种情况
①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长再求出t 即可【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴∠C=90° 解析：5或8.2
【分析】
求出BF 和AO 的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长，再求出t 即可．
【详解】
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=20cm ，弦BC=12cm ，F 是弦BC 的中点，
∴BF=12BC=6cm ， 有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C=90°，
∵∠EFB=90°，
∴AC ∥EF ，
∵F 为BC 的中点，
∴E 为AB 的中点，即E 和O 重合，
∵AB=20cm ，
∴AE=AO=
12AB=10cm ， ∴1052
t ==； ②当∠FEB=90°时，如图：
∵∠B=∠B ，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB ∽△ACB ，
∴
BE BF BC AB =， ∴61220
BE =， 解得：BE=3.6（cm ），
∵AB=20cm ，
∴AE=AB-BE=16.4cm ，
∴16.48.22
t ==；
故答案为：5或8.2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．
18．①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG 根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和
解析：①③
【分析】
①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；
②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF
的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；
④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD ，
∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，
∴BF=CG ，
∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△BCG ，
∴∠BAF=∠CBG ，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；
②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩
， ∴△BNF ∽△BCG ，
32
BN BC NF CG ∴==， BN 32NF =
，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，
2213AF AB BF =+=， 1122ABF AF BN AB BF S ∆=
⋅=⋅， 6132413,N B 3NF BN === 3AN 91AF NF =
∴=-， ∵E 是BF 中点，
∴EH 是△BFN 的中位线， 313213,NH EH ==∴，BN ∥EH ， 1113AH AN MN AH EH ∴==，，解得：MN=2713， ∴BM=BN-MN=313，MG=BG-BM=813， 38
BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，
则713 11142712213S 13CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213
ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， S 12
CGNF S ≠四边形，④错误； 故答案为 ①③．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．
19．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8
【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
解析：8
【分析】
根据等比性质，可得答案．
【详解】
2a c e b d f ===， 由等比性质，得24
a c e a c e
b d f ++++==++， 所以8a
c e ++=．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质．
20．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线 解析：125
【分析】
过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，证明DE DG MN ==（设为)λ，得到
AM AN λ=-；证明△∽△ADG ABC ，列出比例式446
λλ-=，求出λ即可解决问题． 【详解】
解：如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，
四边形DEFG 是正方形，
DE DG MN ∴==（设为)λ，则AM AN λ=-；
6BC =，ABC 的面积为12，
∴1
6122
AN ⨯=， 4AN ∴=，4AM λ=-；
//DG BC ，
ADG ABC ∴∽， ∴446
λλ-=， 解得：125
λ=． 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．（1）BF DE =，BF DE ⊥；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3）2BF DE =，BF DE ⊥，理由见解析；（4）22BE FD +的值为25．
【分析】
（1）先证FBC EDC ∆∆≌，便可证得BF=DE ，∠BFC=∠CED ，再根据直角三角形两锐角互余及直角三角形判定不难证得BF ⊥DE ；
（2）方法同（1），问题易证；
（3）利用CED ∆∽CFB ∆证得∠BFC=∠CED ，再根据直角三角形两锐角互余及、对顶角相等及直三角形的判定即可证得结论成立；
（4）延长ED 交BF 于点G ，根据勾股定理求出EB 2，FD 2，FE 2，不难求出结果．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠BCD =90︒ ，BC=CD ，
在Rt CEF △，∠FCE=90︒，FC=CE ，
∴∠BCD=∠FCE ，
∴FBC EDC ∆∆≌，
∴BF DE =，∠BFC=∠DEC
∵∠BFC+∠FBC=90︒，
∴∠FBC+∠DEC=90︒，
∴BF DE ⊥
故答案为：BF=DE ，BF DE ⊥
（2）（1）中结论仍然成立．
理由如下：如图，延长ED 交FB 于点G ，交FC 于点H ，
四边形ABCD 是矩形，90BCD ∴∠=︒，AD BC =，
90BCF FCD ∴∠+∠=︒，
90FCE ∠=︒，90DCE FCD ∴∠+∠=︒，
BCF DCE ∴∠=∠．
AD CD =，BC CD ∴=，
在FBC ∆和EDC ∆中，BC DC =，BCF DCE ∠=∠，CF CE =，
()FBC EDC SAS ∴∆≅∆．
BF DE ∴=，BFC DEC ∠=∠．
90FCE ∠=︒，90DEC CHD ∴∠+∠=︒，
FHG CHD ∠=∠，90BFC FHG ∴∠+∠=︒，90FGE ∴∠=︒，
BF DE ∴⊥．
∴（1）中结论仍然成立．
（3）2BF DE =，BF DE ⊥．
如图，延长ED 交CF 于M ，交FB 于N ．
四边形ABCD 是矩形，90BCD ∴∠=︒，90BCF FCD ∴∠+∠=︒，
90FCE ∠=︒，90DCE FCD ∴∠+∠=︒，
BCF DCE ∴∠=∠．
2CF CE =，2CB CD =，
12
CE CD CF CB ∴==． CED CFB ∴∠=∠，12
DE BF =． 2BF DE ∴=．
90CME CED ∠+∠=︒，90CME CFB ∴∠+∠=︒．
CME FMN ∠=∠，90FMN CFB ∴∠+∠=︒．
90FNE ∴∠=︒．
BF DE ∴⊥．
（4）如图，
延长ED 交BF 于点G ，则EG ⊥BF 于G ，
∵22CE CD ==，2CF CE =，2CB CD =
∴CD=1，CF=4，BC=2，
∵在RtFGD 中，GF 2+GD 2=FD 2，
在RtGBE 中，GE 2+GB 2=BE 2，
∴BE 2+FD 2=（GF 2+GE 2）+（GB 2+GD 2）=22EF BD +
连接BD ，则BD 2=225BC CD += ，
∵在Rt △FCE 中，EF 2=22222420CF CE +=+=
∴BE 2+FD 2=20+5=25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及旋转变换等知识，侧重考查了对知识的综合应用．
22．（1）画图见解析；（2）11//CD C D
【分析】
（1）根据位似图形的性质可以得解；
（2）根据位似图形的性质可得解．
【详解】
（1）如图△A 1B 1C 1就是所求作的图形.
分别在射线AO 、BO 、CO 上截取1112OA OA OB OB OC OC ===，，，连结 111,,A B C 即得所作图形；
（2）∵在(1)中所画的图形中，△ABC 的中线CD 与111A B C 的中线 11C D 是对应线段， ∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行”的性质可以得到：CD ∥11C D .
【点睛】
本题考查位似图形的应用与作图，熟练掌握位似图形的意义和性质是解题关键． 23．（1）1；（2）
1k k -；（3）3060AED ︒<∠≤︒，0AE EC ≥． 【分析】
（1）先根据“类似比”的定义、等边三角形的性质可得ADE BDC ，再根据相似三角
形的性质即可得；
（2）参照（1）的方法，利用相似三角形的判定与性质即可得； （3）先根据
0,0AD AE BD EC
≥≥求出k 的取值范围，再根据等边三角形的性质可求出DCB ∠的取值范围，由此即可得．
【详解】 （1）ABC 是等边三角形，
60,ACB A B AC BC ∴∠=∠=∠=︒=，
由“类似比”的定义得：AED DCB ∠=∠，
在ADE 和BDC 中，A B AED BCD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， ADE
BDC ∴， 12AE AD BC BD ∴
==， 又BC AC AE EC ==+，
12AE AE EC ∴
=+，即AE EC =， 1AE EC
∴=， 故答案为：1；
（2）由（1）已证：AE AD k BC BD
==， BC AC AE EC ==+，
AE k AE EC
∴=+， 解得1AE k EC k
=-； （3）由题意得：001AD k BD AE k EC k ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=≥⎪-⎩
， 解得01k ≤<，
01AD BD
∴≤<，即0AD BD ≤<， 当0AD =，即点D 与点A 重合时，60DCB ACB ∠=∠=︒，
当AD BD =，即点D 是AB 的中点时，1302
DCB ACB ∠=∠=︒， 3060DCB ∴︒<∠≤︒，
又AED DCB ∠=∠，
3060AED ∴︒<∠≤︒，
综上，AED ∠的取值范围为3060AED ︒<∠≤︒，“类似比”
AE EC 的取值范围为0AE EC
≥． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
24．（1）证明见解析．（2）9．
【分析】
(1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．
【详解】
（1）如图所示：
,BAD C B B ∠=∠∠=∠，
∴C ABD BA ∽△△．
（2）
ABD CBA ∽， AB BD BC AB ∴=，即636
BC =， 解得：12BC =，
1239DC BC BD ∴=-=-=．
【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．
25．（1）图见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12
AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点； （2）设BC=a ，则AB=2a ，AC=
225AB BC a +=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可
解决问题．
【详解】
（1）如图：点E 即为所求；
（2）设BC=a ，则AB=2a ，
∴225AB BC a +=，
∵CD=BC=a ，
∴5a -a ，
∵2222(5625)AE a a a a =-=-，222(25)625AB BE a a a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，
∴点E 是线段AB 的黄金分割点．
【点睛】
此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．
26．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．
【分析】
（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，且相似比
，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；
（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；
（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC
'的值，进而求出n 的值． 【详解】
解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，
∴AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，
∴B B '∠=∠，
∴()2
:3:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，
∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，
即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．
故答案为：3:1，60．
（2）根据题意得：::1:AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，
∴BAB CAC ''∠=∠，
∴BAB '△∽CAC '△，
∴相似比AB k AC
=，BB A CC A ''∠=∠，
:AB AC =，
∴2:2ABB ACC S S ''==，
延长CC '交BB '于D ，如图，
设CC '交AB '于E ．
DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，
∴DEB '△∽AEC '，
∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，
∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，
∴90BAC '∠=︒，
30BAC ∠=︒，
∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，
90ACB ∠=︒，
∴90ACC '∠=︒，
在Rt ACC '△中，12
AC AC '=， ∴21
AC AC '=， ∴2AC n AC
'==， 即n 的值为2．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．。