隐函数的求导公式(11)

z Fy y Fz
5z4
4
z3 xz3
3
yz 2
代入,同样可得 2z xy
15( 0 , 0 )
例7：设由F ( x y, y z, z x) 0确定z z( x, y),求
z , z 及dz x y
解：法一：令G(x,y,z) F(x y,y z,z x)
G
' x
F1'
F3'
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
20
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
dz z (dx z dy)
zx
y
法二：对方程 x ln z ln y两边微分 z
zdx xdz z2
dz z
dy y
整理可得
dz z (dx z dy)
z x
y9
例 5 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
思路：
把z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数 z ， x
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
法二：全微分F1'(dx dy) F2' (dy dz) F3' (dz dx) 0
12
法二 : 令 F(x,y, z) z - f(x y z, xyz)
Fx ( f1 1 f2 yz) f1 yzf2 Fy ( f11 f2 xz) f1 xzf2
Fz 1 ( f11 f2 xy) 1 f1 xyf2
z x
Fx Fz
f1 yzf2 1 f1 xyf2
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
一阶全微分形式不变性
u, v为自变量时，z
f (u, v),dz
f1' (u, v)du
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ，
x
Fz
z Fy .
y
Fz
注 : 求Fx Fy Fz 时,要把x, y, z看成独立变量
6
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
f
Hale Waihona Puke ' 2(u,v)dv
u, v为中间变量时，dz f1' (u, v)du f2' (u, v)dv
8
例4：已知x ln z ,求dz zy
法一：F(x,y,z) x ln z ln y z
1
1
x 1 xz
Fx z ,Fy y ,Fz z2 z z2
z Fx z , z Fy z2 x Fz z x y Fz y(z x)
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
把 y 看成 x, z的函数对 z 求偏导数得 y . z
解: 法一: 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
10
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
整理得 z fu yzfv , x 1 fu xyfv
u y
x
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu x2
xv y2
,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yu y2
,
v y
xu x2
yv y2
.
解3
由方程组可得u
x2
y
y2
,v
x2
x
y2
把u, v视为x,y的二元函数，分别对x,y求导
(F1' F3' )dx (F2' F1' )dy (F2' F3' )dz
dz
F1' F2'
F3' F3'
dx
F2' F2'
F1' F3'
dy
z x
F1' F2'
F3' F3'
,
z y
F2' F2'
F1' F3'
18
二、方程组的情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
一、填空题: 1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则 z ___________________________, x z ___________________________. y
5z4 z z4 4xz3 z 3yz 2 z 0
(1)
x
x
x
5z4 z 4xz3 z z3 3yz 2 z 0
(2)
y
y
y
方程(1)对y求导 :
2z(10z2 6xz 3y) z z z2 (5z2 4xz 3y) 2z
x y
xy
4z3 z 3z2 z 0
(314)
x Fz 2z 3xy x
2z 3xy 25
四、小结
隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
26
思考题
已知 x ( y)，其中 为可微函数，
zz 求 x z y z ?
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
11
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
u x
(x2
2xy y2
)2
,
u y
x2 y2 (x2 y2 )2
,
23
v y 2 x2 v
2xy
x
(x2
y2 )2
, y
(x2
y2 )2
,
24
三、复合隐函数的求导
例8：已知F(x,x y,x y z) 0，求 z x
解：方程两边对x求导
F1'
F2'
F3' (1
z ) x
0
z x
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
19
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y) ，
f1 yzf2 1 f1 xyf2
x Fy f1 xzf2
y Fx
f1 yzf2
y Fz 1 f1 xyf2
z Fy
f1 xzf2
13
例6：设z z(x,y)是由方程z5 xz4 yz 3 1确定的
隐函数，求 2z xy
x0 y0
解：方程两边分别对x, y求偏导
21
例 7：设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x y
u x u
y x
v x v
u ,
v
x x
在J 0的条件下，
x J
y x2 y2,
yx
22
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
4
例2
已知ln
x2 y2 arctan y ，求
dy
.
x
dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y x
1 ln( x2 y2 ) arctan y
2
x
则
Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
5
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z) 在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0 在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z, 证明：z z 1. x y
29
三、如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 t何 恒 满 足 关 系 式
第五节 隐函数的求导公式
一.一个方程的情形 二.方程组的情形 三.复合隐函数的求导 四.小结
1
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
注 : 求Fx Fy 时,要把x, y看成独立变量
2
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
3
函数的一阶和二阶导数为
F1'
F2' F3'
F3'
例9：f (x,y,z) xy2z3 ,而x,y,z满足
x2 y2 z2 3xyz 0,求 f x
解：由方程可确定z z(x, y), f y 2 (z3 3xz2 z )
x
x
z Fx 2x 3yz ， f y 2z3－3xy2z2 2x 3yz
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
y
x
将x
0,
y
0, z
1代入(1)( 2)：z x
(0,0）
1，z 5
y
(0,0）
1, 5
再将它们代入(3)可得 :
2z
3
xy
25
(0,0)
法二: 令 F(x,y, z) z5 xz4 yz3 1
z x
Fx Fz
5z4
z4 4 xz 3
3 yz2
再求出 2z , xy
最后将 x 0,y 0,z 1
(1),
G
' y
F1'
(1)
F2'
,
G
' z
F2'
(1)
F3'
z x
G G
' x ' z
F3' F3'
F1' F2'
; z y
G
' y
G
' z
F1' F3'
F2' F2'
dz
z dx x
z dy y
F3'
1
F2' [(F3'
F1' )dx
(F1'
F2' )dy]
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
x y
27
思考题解答
记F(x, y, z) x ( y),
zz
则Fx
1， z
Fy
(
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y
( y)
z Fy
Fz
( z
y
2
)
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是x z y z z . x y
28
练习题