内蒙古赤峰市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析

内蒙古赤峰市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜1
2．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF
,其中正确的结论
A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.
3．已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，﹣a），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（）
A．
2
2
B．2C．3D．2
4．小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间t（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：
①小明家距学校4千米；
②小明上学所用的时间为12分钟；
③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；
④小明放学回家所用时间为15分钟．
其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，点D 在△ABC 边延长线上，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线EF ∥BC ，交∠BCA 的平分线于点F ，交∠BCA 的外角平分线于E,当点O 在线段AC 上移动（不与点A ，C 重合）时，下列结论不一定成立的是（ ）
A ．2∠ACE=∠BAC+∠B
B ．EF=2O
C C ．∠FCE=90°
D ．四边形AFCE
是矩形 6．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，他们购买的数量如下表所示，小华一共花的钱比小红少8元，下列说法正确的是（ ）
百合花 玫瑰花 小华
6支 5支 小红 8支 3支
A ．2支百合花比2支玫瑰花多8元
B ．2支百合花比2支玫瑰花少8元
C ．14支百合花比8支玫瑰花多8元
D ．14支百合花比8支玫瑰花少8元
8．已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）
A ．6±
B ．6
C ．2或3
D 23
9112的值在（ ）
A ．0到l 之间
B ．1到2之间
C ．2到3之间
D ．3到4之间
10．对于代数式ax 2+bx+c(a≠0)，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数p≠q ，使得ap 2+bp+c=aq 2+bq+c ，则a 2x +bx+c=a （x-p ）（x-q ）
②存在三个实数m≠n≠s ，使得am 2+bm+c=an 2+bn+c=as 2+bs+c
③如果ac ＜0，则一定存在两个实数m ＜n ，使am 2+bm+c ＜0＜an 2+bn+c
④如果ac ＞0，则一定存在两个实数m ＜n ，使am 2+bm+c ＜0＜an 2+bn+c
A ．③
B ．①③
C ．②④
D ．①③④
11．如图已知⊙O 的内接五边形ABCDE ，连接BE 、CE ，若AB ＝BC ＝CE ，∠EDC ＝130°，则∠ABE 的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
12．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A ．19
B ．16
C ．13
D ．23
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.
14．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =，20BC =米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．
15．四边形ABCD 中，向量AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r
_____________.
16．株洲市城区参加2018年初中毕业会考的人数约为10600人，则数10600用科学记数法表示为_____． 17．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是__________．
18．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到COD ∆，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠的度数是 _______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在Y ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
求证：△ADE≌△BFE；若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的
位置关系，并说明理由．
20．（6分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为»BD的中点，且BD＝
8，AC＝9，sinC＝1
3
，求⊙O的半径．
21．（6分）阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
请根据阅读材料，解决下列问题：
如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点（点E不与点C、D重合），连结AE、BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．
（I）旋转中心是点，旋转了（度）；
（II）当点E从点D向点C移动时，连结AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC 的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况．
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=3，求⊙O的直径．
23．（8分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
24．（10分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
25．（10分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．
（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？
（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．
26．（12分）已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当A （﹣1，0），C （0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P （m ，t ）为抛物线上的一个动点．
①当点P 关于原点的对称点P′落在直线BC 上时，求m 的值；
②当点P 关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A 2取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 27．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ADB=90°，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点．
（1）求证：四边形DEBF 是菱形；
（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M 为BF 的中点，当点P 在BD 边上运动时，则PF+PM 的最小值为 ，
并在图上标出此时点P 的位置．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
将关于x 的一元二次方程化成标准形式，然后利用Δ>0，即得m 的取值范围.
【详解】
因为方程是关于x 的一元二次方程方程，所以可得220x x m －＝,Δ＝4+4m > 0，解得m>﹣1,故选D.
【点睛】
本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键.
2．D
【解析】
【详解】
解：①∵ABCD 为菱形，∴AB=AD ．
∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=1S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=1
2
CG，CM=
3
CG，
∴S四边形CMGN=1S△CMG=1×1
2
×
1
2
CG×
3
CG=CG1．
③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=1FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=1AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF．
故选D．
3．B
【解析】
【分析】
首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x 的交点坐标，再求得交点与D之间的距离即可．
【详解】
AB的中点D的坐标是（4，-2），
∵C（a，-a）在一次函数y=-x上，
∴设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b，
把（4，-2）代入解析式得：4+b=-2，
解得：b=-1，
则函数解析式是y=x-1．
根据题意得：
6 {
y x
y x
-
-
＝
＝
，
解得：
3
{
3 x
y
＝
＝-
，
则交点的坐标是（3，-3）．
．
故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C（a，-a），一定在直线y=-x 上，是关键．
4．C
【解析】
【分析】
从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡（AB 段）、下坡（B到学校段）的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可求解．
【详解】
解：①小明家距学校4千米，正确；
②小明上学所用的时间为12分钟，正确；
③小明上坡的速度是21
0.2
83
-
=
-
千米/分钟，错误；
④小明放学回家所用时间为3+2+10＝15分钟，正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
5．D
【解析】
【分析】
依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B，EF=2OC，∠FCE=90°，进而得到结论．
【详解】
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠B，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACD=2∠ACE，
∴2∠ACE=∠BAC+∠B，故A选项正确；
∵EF∥BC，CF平分∠BCA，
∴∠BCF=∠CFE，∠BCF=∠ACF，
∴∠ACF=∠EFC，
∴OF=OC，
同理可得OE=OC，
∴EF=2OC，故B选项正确；
∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1
2
×180°=90°，故C选项正确；
∵O不一定是AC的中点，
∴四边形AECF不一定是平行四边形，
∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，故选D．
【点睛】
本题考查三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质．
6．A
【解析】
分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转． 详解：A 、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；
B 、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；
C 、是一个圆台，故本选项错误；
D 、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；
故选A ．
点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．
7．A
【解析】
【分析】
设每支百合花x 元，每支玫瑰花y 元，根据总价＝单价×购买数量结合小华一共花的钱比小红少8元，即可得出关于x 、y 的二元一次方程，整理后即可得出结论．
【详解】
设每支百合花x 元，每支玫瑰花y 元，根据题意得：
8x+3y ﹣（6x+5y ）＝8，整理得：2x ﹣2y ＝8，
∴2支百合花比2支玫瑰花多8元．
故选：A ．
【点睛】
考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．
【详解】
∵方程2230x kx -+=有两个相等的实根，
∴△=k 2-4×2×3=k 2-24=0，
解得：k=± 故选A ． 【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 9．B 【解析】 ∵9<11<16,
∴34<<,
∴122<-< 故选B. 10．A 【解析】
设2
(0)y ax bx c a =++≠
（1）如果存在两个实数p≠q ，使得ap 2+bp+c=aq 2+bq+c ，则说明在2
(0)y ax bx c a =++≠中，当x=p 和x=q 时的y 值相等，但并不能说明此时p 、q 是2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，故①中结论不一定成立；
（2）若am 2+bm+c=an 2+bn+c=as 2+bs+c ，则说明在2
(0)y ax bx c a =++≠中当x=m 、n 、s 时，对应的y 值相等，因此m 、n 、s 中至少有两个数是相等的，故②错误；
（3）如果ac ＜0，则b 2-4ac>0，则2
(0)y ax bx c a =++≠的图象和x 轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m ＜n ，使am 2+bm+c ＜0＜an 2+bn+c ，故③在结论正确；
（4）如果ac ＞0，则b 2-4ac 的值的正负无法确定，此时2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点情况无法确定，所以④中结论不一定成立. 综上所述，四种说法中正确的是③. 故选A. 11．B 【解析】 【分析】
如图，连接OA ，OB ，OC ，OE ．想办法求出∠AOE 即可解决问题． 【详解】
如图，连接OA ，OB ，OC ，OE ．
∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠EDC＝130°，∴∠EBC＝50°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝100°，
∵AB＝BC＝CE，
∴弧AB＝弧BC＝弧CE，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠EOC＝100°，
∴∠AOE＝360°﹣3×100°＝60°，
∴∠ABE＝1
2
∠AOE＝30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．C
【解析】
分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
详解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
A B C
A （A，A）（B，A）（C，A）
B （A，B）（B，B）（C，B）
C （A，C）（B，C）（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93
.
故选：C．
点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到
的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．-23≤y≤2
【解析】
【分析】
先根据a=-1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=-3，再根据-4≤x≤2，可知当x=-3时y 最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．
【详解】
解：∵a=-1，
∴抛物线的开口向下，故有最大值，
∵对称轴x=-3，
∴当x=-3时y最大为2，
当x=2时y最小为-23，
∴函数y的取值范围为-23≤y≤2，
故答案为：-23≤y≤2.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题关键．
14．（
【解析】
【分析】
过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．
【详解】
如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F．
∵CD=8，CD与地面成30°角，
∴DE=1
2
CD=
1
2
×8=4，
根据勾股定理得：
∵1m杆的影长为2m，
∴DE
EF
=
1
2
，
∴EF=2DE=2×4=8，
∴（．
∵
AB BF =12
， ∴AB=1
2
（28+43）=14+23．
故答案为（14+23）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB 的影长若全在水平地面上的长BF 是解题的关键． 15．AD u u u r
【解析】 分析：
根据“向量运算”的三角形法则进行计算即可. 详解：
如下图所示，由向量运算的三角形法则可得：
AB BC CD u u u v u u u v u u u v ++
=AC CD u u u v u u u v + =AD uuu v
. 故答案为AD uuu v
.
点睛：理解向量运算的三角形法则是正确解答本题的关键. 16．1.06×104 【解析】 【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：10600＝1.06×104，
故答案为：1.06×104
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17．1
4
．
【解析】
【分析】
先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】
解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值
41 164 ==，
∴它停在黑色区域的概率是1
4
；
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
结果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．
18．60°
【解析】
【分析】
根据题意可得AOD AOB BOD
∠=∠+∠,根据已知条件计算即可. 【详解】
根据题意可得：AOD AOB BOD
∠=∠+∠
Q15
AOB
∠=︒，45
BOD︒
∠=
451560
AOD︒︒︒
∴∠=+=
故答案为60°
【点睛】
本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）见解析；（1）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．
（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF．
∴∠1=∠1．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE，
∵在△ADE与△BFE中，
12
DEA FEB AE BE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（1）CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE，
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠1．∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠1．
∴CD=CF．
∴CE⊥DF．
20．⊙O的半径为25
6
．
【解析】
【分析】
如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。

【详解】
解：如图，连接OA．交BC于H．
∵点A为»BD的中点，
∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，
∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵
1AH
sin C
3AC
==，AC＝9，
∴AH＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，
∴r＝25
6
，
∴⊙O的半径为25
6
．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．B 60
【解析】
分析：(1)根据旋转的性质可得出结论;(2)根据旋转的性质可得BF=CF，则点F在线段BC的垂直平分线上，又由AC=AB，可得点A在线段BC的垂直平分线上，由AF垂直平分BC,即∠CQP=90，进而得出∠APC 的度数.
详解：(1)B,60；
（2）补全图形如图所示；
APC ∠的大小保持不变,
理由如下：设AF 与BC 交于点Q ∵直线CD 是等边ABC ∆的对称轴 ∴AE BE =,1
302
DCB ACD ACB ∠=∠=
∠=︒ ∵ABE ∆经顺时针旋转后与BCF ∆重合 ∴ BE BF =,AE CF = ∴BF CF =
∴点F 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AC AB =
∴点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∴AF 垂直平分BC ,即90CQP ∠=︒ ∴120CPA PCB CQP ∠=∠+∠=︒
点睛：本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟记旋转的性质及垂直平分线的性质，注意只证明一点是不能说明这条直线是垂直平分线的. 22．（1）见解析（2）23 【解析】
解：（1）证明：连接OA ， ∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1． ∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=2． 又∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=2． ∴∠OAP=∠AOC ﹣∠P=3．∴OA ⊥PA ． ∵OA 是⊙O 的半径，∴PA 是⊙O 的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵PD=3，∴2OA=2PD=23．
∴⊙O的直径为23．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=3，可得出⊙O的直径．
23．(1)画图见解析(2)B'（-6,2）、C'（-4，-2）(3) M'（-2x,-2y）
【解析】
【详解】
解：（1）
（2）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，则是对应点的坐标放大两倍，并将符号进行相应的改变，因为B(3，-1)，则B’(-6,2) C(2,1)，则C‘（-4，-2）
（3）因为点M (x，y)在△OBC内部，则它的对应点M′的坐标是M的坐标乘以2，并改变符号，即M’（-2x,-2y）
24．（1）作图见解析；；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过数格子可得到点P关于AC的对称点，再直接利用勾股定理可得到周长；（2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形.
试题解析：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：；（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
考点：1轴对称；2勾股定理.
25．（1）,1
3
（2）
2
9
【解析】
解：（1）画树状图得：
∵总共有9种等可能情况，每人获胜的情形都是3种，
∴两人获胜的概率都是1
3
．
（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为1
3
．任选其中一人的情形可画树状图得：
∵总共有9种等可能情况，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，
∴两局游戏能确定赢家的概率为：2
9
．
（1）根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利用概率公式即可求得答案．
（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为1
3
．可画树状图，由树状图求得所有
等可能的结果与进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
26．（1）抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1，顶点坐标为（1，﹣4）；（3）①333
±
；②P′A3取得最小
值时，m的值是214
-
，这个最小值是
15
4
．
【解析】
【分析】
（1）根据A（﹣1，3），C（3，﹣1）在抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；（3）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A3，从而可以求得当P′A3取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x3+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，3），
C（3，﹣1），∴
2
110
3
b c
c
⎧-+⨯-+=
⎨
=-
⎩
（）（）
，解得：
2
3
b
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，∴该抛物线的解析式为y=x3﹣3x﹣1．
∵y=x3﹣3x﹣1=（x﹣1）3﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（3）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m3﹣3m﹣1．
∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=3时，3=x3﹣3x﹣1，解得：x1=﹣1，x3=1，由已知可得：点B（1，3）．
∵点B（1，3），点C（3，﹣1），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，30
3 k d
d
+=
⎧
⎨
=-⎩，解得：
1
3
k
d
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴直线BC的直线解析式为y=x﹣1．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣1，即t=m+1，∴m3﹣3m﹣1=m+1，解得：
；
②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞3，﹣t＞3，∴m＜3，t＜3．
∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜3．
∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m3﹣3m﹣1，∴t+1=m3﹣3m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H （﹣m，3）．
又∵A（﹣1，3），则P′H3=t3，AH3=（﹣m+1）3．在Rt△P′AH中，P′A3=AH3+P′H3，∴P′A3=（﹣m+1）
3+t3=m3﹣3m+1+t3=t3+t+4=（t+1
2
）3+
15
4
，∴当t=﹣
1
2
时，P′A3有最小值，此时P′A3=
15
4
，∴
1
2
-=m3
﹣3m﹣1，解得：
m=
2
2
±
．
∵m＜3，∴
m=
2
2
-
，即P′A3取得最小值时，m
的值是
2
2
，这个最小值是
15
4
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
27．（1）详见解析；（2）23.
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四
边相等即可证得；
（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，
利用三角函数求解．
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．
∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=1
2
AB=AE=BE．
同理，BF=DF．
∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；（2）连接BF．
∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．
∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．
则EM=BE•sin60°=4×3
=23．
即PF+PM的最小值是23．故答案为：23．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．。