吉林省长春市朝阳实验中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年吉林省长春市朝阳实验中学高二（上）期中数学
试卷（理科）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．命题“存在x0∈R，2x0≤0"的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0 2．下列各组向量中不平行的是( )
A．
B．
C． D．
3．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．椭圆+=1的长轴垂直x于轴，则m的取值范围是（）
A．m＞0 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m＞0且m≠1 5．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（)
A．2 B．3 C．6 D．8
6．以椭圆+=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（)
A．
B．
C．或
D．以上都不对
7．命题p：若a、b∈R，则|a|+｜b|＞1是｜a+b｜＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1］∪［3,+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真
8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ）
A．y=3x2或y=﹣3x2B．y=3x2
C．y2=﹣9x或y=3x2D．y=﹣3x2或y2=9x
9．若A（x，5﹣x,2x﹣1），B(1，x+2，2﹣x)，当｜|取最小值时，x的值等于（)
A．19 B．C． D．
10．若椭圆的弦中点（4,2），则此弦所在直线的斜率是（)
A．2 B．﹣2 C． D．
11．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P 到点（0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．B．3 C．D．
12．双曲线mx2﹣y2=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）
A．B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知动圆M经过点A（3,0），且与直线l：x=﹣3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
14．已知｜｜=3，｜|=4，=+，=+λ，＜，＞=135°，若⊥，则λ=．
15．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．
16．已知椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B(0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于,则椭圆的离心率为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4(m+2）x+1=0无实数根．若“p或q"为真命题,求m的取值范围．
18．已知p：｜1﹣｜≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m ＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件,求实数m的取值范围．
19．已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P,Q为圆上的动点．
(1）求线段AP中点的轨迹方程;
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明:面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．
21．设椭圆C：的左焦点为F，过点F 的直线与椭圆C相交于A，B两点,直线l的倾斜角为60°，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果｜AB|=，求椭圆C的方程．
22．已知点A（0，﹣2),椭圆E：+=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为,O为坐标原点．
(Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
2016—2017学年吉林省长春市朝阳实验中学高二(上)
期中数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0 C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】命题的否定．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解:命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R,2x＞0，
故选：D．
2．下列各组向量中不平行的是（）
A．
B．
C． D．
【考点】用向量证明平行．
【分析】判断两向量共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数λ，使得=λ，另外零向量与任意向量平行,于是可得本题答案．
【解答】解:选项A中，;
选项B中有:,
选项C中零向量与任意向量平行,
选项D，事实上不存在任何一个实数λ，使得，即：（16,24，40）=λ(16，24，40）．
故应选：D
3．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞"的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．
【解答】解：∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∵A＞30°，
∴30°＜A＜180°，
∴0＜sin A＜1，
∴可判断它是sinA＞的必要而不充分条件．
故选:B．
4．椭圆+=1的长轴垂直x于轴，则m的取值范围是（）
A．m＞0 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m＞0且m≠1【考点】椭圆的简单性质．
【分析】椭圆+=1的长轴垂直x于轴，可得椭圆的焦点在y轴上，即可得出．
【解答】解：∵椭圆+=1的长轴垂直x于轴,∴椭圆的焦点在y轴上,
∴2m＞＞0，3m+1＞0，
解得m＞1．
故选：C．
5．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为( ）A．2 B．3 C．6 D．8
【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0)，根据P （x0，y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向
量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解:由题意，F（﹣1，0),设点P（x0，y0),则有，解得，
因为,，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2,所以当x0=2时，取得最大值，
故选C．
6．以椭圆+=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】根据题意，椭圆的顶点为（4,0)、(﹣4,0）、（0，3)、（0，﹣3)；则双曲线的顶点有两种情况，即在x轴上,为（4,0)、（﹣4，0）；和在y轴上，为（0，3)、（0，﹣3）;分两种情况分别讨论,计算可得a、b的值,可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的顶点为(4，0)、（﹣4，0）、(0,3）、（0，﹣3）；
故分两种情况讨论，
①双曲线的顶点为（4，0）、(﹣4，0），焦点在x轴上；即a=4，由e=2，可得c=8，
b2=64﹣16=48；
此时，双曲线的方程为；
②双曲线的顶点为(0，3）、(0，﹣3），焦点在y轴上;即a=3，由e=2,可得c=6,
b2=36﹣9=27;
此时，双曲线的方程为;
综合可得，双曲线的方程为或；
故选C
7．命题p:若a、b∈R，则|a｜+｜b｜＞1是|a+b｜＞1的充分而不必要条件;命题q：函数y=的定义域是（﹣∞,﹣1］∪[3，+∞)，则（）
A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真
【考点】复合命题的真假．
【分析】若｜a|+｜b|＞1，不能推出|a+b｜＞1，而｜a+b｜＞1，一定有|a｜+｜b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为x∈（﹣∞，﹣1］∪［3，+∞），q为真命题．
【解答】解：∵｜a+b|≤|a｜+｜b｜，
若｜a｜+|b|＞1，不能推出｜a+b|＞1，而｜a+b｜＞1，一定有｜a｜+｜b｜＞1，故命题p为假．
又由函数y=的定义域为｜x﹣1｜﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．
故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
∴q为真命题．
故选D．
8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )
A．y=3x2或y=﹣3x2B．y=3x2
C．y2=﹣9x或y=3x2D．y=﹣3x2或y2=9x
【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程．
【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1,﹣3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入,求出方程;当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程
【解答】解:根据题意知，
圆心为(1，﹣3），
(1)设x2=2py，p=﹣，x2=﹣y；
(2）设y2=2px，p=，y2=9x
故选D．
9．若A（x，5﹣x,2x﹣1）,B（1,x+2,2﹣x），当｜｜取最小值时，x的值等于（）
A．19 B．C． D．
【考点】向量的模．
【分析】利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．
【解答】解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），
|｜=
=
求出被开方数的对称轴为x=
当时，|｜取最小值．
故选C
10．若椭圆的弦中点（4，2),则此弦所在直线的斜率是( ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．
【分析】设此弦所在直线与椭圆相交于点
A(x1,y1）,B(x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法"即可得出．
【解答】解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2)．
则，，两式相减得
=0．
∵,，．
代入上式可得,解得k AB=．
故选D．
11．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．B．3 C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥｜AF｜，再求出|AF｜的值即可．
【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P’，抛物线的焦点为F，则，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为｜
PP'｜=｜PF｜，
则点P到点A(0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
．
故选A．
12．双曲线mx2﹣y2=1（m＞0)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B,C使得△ABC为等腰直角三角形,则实数m的值可能为( ）
A．B．1 C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，我们易判断出AB边的倾斜角进而求出其斜率，利用双曲线的性质，我们易确定渐近线斜率的范围，结合已知中双曲线的方程,我们要以构造出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：由题意,双曲线的渐近线方程为
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAX=45°
设其中一条渐近线与X轴夹角为θ，则0°＜θ＜45°∴0＜tanθ＜1
∴
∴0＜m＜1
故选A．
二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13．已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=﹣3相切,求动圆圆心M的轨迹方程．
【考点】抛物线的定义．
【分析】法一：利用抛物线的定义即可得出；
法二：利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：法一设动点M（x，y），设⊙M与直线l:x=﹣3的切点为N，则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=﹣3的距离相等,所以点M的轨迹是抛物线，且以A（3，0）为焦点，以直线l：x=﹣3为准线，
∴=3,∴p=6．
∴圆心M的轨迹方程是y2=12x．
法二设动点M（x，y），则点M的轨迹是集合P=｛M|｜MA｜=|MN|｝，
即,化简,得y2=12x．
∴圆心M的轨迹方程为y2=12x．
14．已知｜|=3，||=4，=+，=+λ，＜，＞=135°，若⊥,则λ=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积公式以及向量的垂直的条件即可求出．
【解答】解：||=3,｜|=4，＜,＞=135°，
∴=|｜•｜｜cos135°=3×4×（﹣)=﹣12，∵⊥，=+,=+λ，
∴•=（+）（+λ）=|｜2+λ｜|2+（1+λ）=18+16λ﹣12(1+λ)=0，
解得λ=，
故答案为：
15．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意知,m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．
【解答】解：由题意知，
∴m=3．
∴c2=4+3=7,
∴双曲线的焦点坐标是（）．
故答案：（）．
16．已知椭圆的左焦点为F，A（﹣a,0），B（0，b）为椭圆的两个顶点,若F到AB的距离等于,则椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得直线AB的方程：bx﹣ay+ab=0，利用点F（﹣c，0)到直线AB的距离公式可求得d=，整理可得答案．
【解答】解：依题意得,AB的方程为+=1，即：bx ﹣ay+ab=0，设点F（﹣c,0）到直线AB的距离为d，∴d==，
∴5a2﹣14ac+8c2=0,
∴8e2﹣14e+5=0，∵e∈(0,1)
∴e=或e=（舍)．
故答案为：．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根,命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根．若“p 或q”为真命题,求m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】“p或q”为真命题，即p和q中至少有一个真命题，分别求出p和q为真命题时对应的范围，再求并集．
命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根⇔
,命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根
⇔△＜0．
【解答】解:“p或q"为真命题,则p为真命题，或q为真命题．
当p为真命题时，则,得m＜﹣2；
当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1
∴“p或q”为真命题时,m＜﹣1
18．已知p：|1﹣｜≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0(m ＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：∵|1﹣｜≤2，∴｜x﹣4｜≤6，即﹣2≤x≤10，
∵x2﹣2x+1﹣m2≤0(m＞0），
∴[x﹣(1﹣m）][x﹣（1+m)］≤0,
即1﹣m≤x≤1+m，
若￢p是￢q的必要非充分条件,
即q是p的必要非充分条件，
即，即，
解得m≥9．
19．已知圆x2+y2=4上一定点A（2,0），B(1，1)为圆内一点，P,Q为圆上的动点．
（1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【考点】轨迹方程．
【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
(2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到｜PN|=｜BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|2=｜ON|2+|PN｜2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．
【解答】解：（1）设AP中点为M（x,y）,
由中点坐标公式可知,P点坐标为（2x﹣2，2y）
∵P点在圆x2+y2=4上,∴（2x﹣2）2+(2y）2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1)2+y2=1．
(2)设PQ的中点为N(x,y)，
在Rt△PBQ中,｜PN｜=｜BN｜,
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以｜OP|2=|ON｜2+｜PN|2=｜ON｜2+|BN｜2，所以x2+y2+（x﹣1）2+(y﹣1）2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．
20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且
PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD 内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；
（Ⅱ）过点B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角;
（Ⅲ）作AN⊥CM,垂足为N，连接BN，说明∠ANB 为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,∴CD⊥面PAD．
又CD⊂面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA,
则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a2=3b2,PB=，
∴cos∠PBE=．
∴AC与PB所成的角为arccos．
（Ⅲ)解:作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中,AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=，
∴AN=．
∴AB=2，
∴cos∠ANB==﹣
故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．
21．设椭圆C：的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．
（1)求椭圆C的离心率；
（2）如果｜AB|=，求椭圆C的方程．
【考点】椭圆的简单性质;直线的倾斜角；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标,再由，求出离心率．
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值,从而写出标准方程．
【解答】解：设A（x1,y1），B（x2，y2),由题意知y1＞0，y2＜0．
（1）直线l的方程为，其中．
联立得．
解得，．
因为，所以﹣y1=2y2．即﹣=2,解得离心率．
(2)因为，∴•．
由得,所以，解得a=3，．
故椭圆C的方程为．
22．已知点A(0,﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
(Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当△OPQ的面积最大时,求l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ)通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2，设P(x1,y1)，Q（x2，y2）将y=kx ﹣2代入,利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出｜PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0）,由条件知，得又，
所以a=2,b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx ﹣2，设P（x1,y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入,得（1+4k2)x2﹣16kx+12=0，当△=16(4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=,
设，则t＞0,，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…
2016年11月13日。