中考复习方案 中考数学(北京专版)专题突破五 四边形的有关计算 作业手册

专题突破(五) 四边形的有关计算
四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.2015年计算量和难度都有所下降．
2011—2015年北京中考知识点对比
题型 年份
2011
2012 2013 2014 2015 题型
梯形有 关计算
四边形 有关 计算
四边形有 关证明及 计算
四边形 有关证 明及 运算
四边形 有关证 明与 计算
1．[2015·北京] 如图Z5－1，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF .
(1)求证：四边形BFDE 是矩形；
(2)若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.
图Z5－1
2．[2014·北京] 如图Z5－2，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD.
(1)求证：四边形ABEF 是菱形；
(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．
图Z5－2
3．[2013·北京] 如图Z5－3，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝1
2
BC ，连接DE ，CF . (1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；
(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．
图Z5－3
4．[2012·北京]如图Z5－4，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC ＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD 的面积．
图Z5－4
一、以特殊平行四边形为背景图形
1．[2015·顺义一模]如图Z5－4，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD 于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G.
(1)画出△DEC平移后的三角形；
(2)若BC＝2 5，BD＝6，CE＝3，求AG的长．
图Z5－5
2．[2015·东城一模]如图Z5－6，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．
图Z5－6
3．[2015·海淀一模] 如图Z5－7，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F ＝45°.
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若AB ＝14，DE ＝8，求sin ∠AEB 的值．
图Z5－7
4．[2015·朝阳一模] 如图Z5－8，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且DE ＝1
2
AC ，连接CE ，OE ，连接AE 交OD 于点F .
(1)求证：OE ＝CD ；
(2)若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，求AE 的长．
图Z5－8
5．[2015·西城一模] 如图Z5－9，在四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥A C.
(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；
(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长．
图Z5－9
二、以一般四边形为背景图形
1．[2014·海淀一模]如图Z5－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 3，以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD，连接BD.
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求BD的长．
图Z5－10
2．[2014·顺义一模]如图Z5－11，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．
图Z5－11
3．[2014·石景山一模]如图Z5－12，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC＝45°，求BC的长．
图Z5－12
4．[2014·昌平一模]已知：如图Z5－13，BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3＋3，CD＝2 3.
(1)求tan∠ABD的值；
(2)求AD的长．
图Z5－13
三、以三角形为背景图形
1．[2015·平谷一模]如图Z5－14，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB 上，且DE∥AB，EF∥AC.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求DE的长及四边形ADEF的面积．
图Z5－14
2．[2015·延庆一模]如图Z5－15，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．
图Z5－15
3．[2015·海淀二模]如图Z5－16，已知：在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC ＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.
(1)求证：AD＝CD；
(2)若tan B＝3，求线段AB的长．
图Z5－16
4．[2015·大兴一模]已知：如图Z5－17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B.
(1)请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；
(2)求BC′的长．
图Z5－17
参考答案
北京真题体验
1.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE.
又∵DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形．
又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形．
(2)∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC＝∠BFD＝90°.
∵CF＝3，BF＝4，
∴BC＝32＋42＝5，
∴AD＝BC＝5，
∴AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DF A.
∵CD∥AB，
∴∠DF A＝∠F AB，
∴∠DAF＝∠F AB，
即AF平分∠DAB.
2．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥CB.
∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ABF＝∠CBF.
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，AB＝AF，
∴AF＝BE.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为菱形．
(2)如图，过点P作PH⊥AD于点H.
∵∠ABC＝60°，AB＝BE，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB＝4，∠AEB＝60°.
∵AD∥BC，∴∠DAE＝60°.
∵四边形ABEF为菱形，
∴P为AE的中点，
∴AP＝2.
在Rt△APH中，∠AHP＝90°，∠P AH＝60°，AP＝2，∴AH＝1，PH＝ 3. ∵AD＝6，
∴DH＝5，
∴tan ∠ADP ＝PH DH ＝3
5
.
3．解：(1)证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC. ∵F 是AD 的中点， ∴DF ＝1
2AD.
又∵CE ＝1
2
BC ，
∴DF ＝CE ，且DF ∥CE ，
∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H .
在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°， ∴∠DCE ＝60°. ∵AB ＝4，
∴CD ＝AB ＝4， ∴CH ＝2，DH ＝2 3.
在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝1
2
AD ＝3，则EH ＝1.
∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝DH 2＋EH 2＝（2 3）2＋1＝13. 4．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H . ∵∠CED ＝45°，DH ⊥EC ，DE ＝2， ∴EH ＝DH ＝1.
又∵∠DCE ＝30°，
∴HC ＝3，DC ＝2.
∵∠AEB ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝2 2， ∴AB ＝AE ＝2，
∴AC ＝2＋1＋3＝3＋3，
∴S 四边形ABCD ＝12×2×(3＋3)＋1
2×1×(3＋3)＝3 3＋92
.
北京专题训练
一、以特殊平行四边形为背景图形
1．解：(1)如图所示．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.
由平移可知点C 平移到点B ，且△DEC ≌△AGB ， ∴BG ＝CE ，BG ∥CE . ∵CE ⊥BD ，CE ＝3， ∴BG ＝3，∠GBD ＝90°.
在Rt △GBD 中，BD ＝6，BG ＝3.
∴DG ＝3 5. 又∵BC ＝2 5， ∴AD ＝2 5，
∴AG ＝DG －AD ＝ 5.
2．解：(1)证明：∵DE ∥BC ，CE ∥AB ， ∴四边形DBCE 是平行四边形， ∴CE ＝BD.
又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝AD ， ∴CE ＝D A. 又∵CE ∥DA ，
∴四边形ADCE 是平行四边形．
∵∠BCA ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD ＝CD ，
∴四边形ADCE 是菱形． (2)过点C 作CF ⊥AB 于点F .
由(1)可知BC ＝DE .设BC ＝x ，则AC ＝2x . 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可求得AB ＝5x . ∵12AB ·CF ＝1
2AC ·BC ， ∴CF ＝AC ·BC AB ＝2 55x .
∵CD ＝12AB ＝5
2x ，
∴sin ∠CDB ＝CF CD ＝4
5
.
3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠F . ∵∠F ＝45°， ∴∠DAE ＝45°.
∵AF 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAB ＝∠DAE ＝45°， ∴∠DAB ＝90°.
又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．
(2)如图，过点B 作BH ⊥AE 于点H .
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠DCB ＝∠D ＝90°. ∵AB ＝14，DE ＝8， ∴CE ＝6.
在Rt △ADE 中，∠DAE ＝45°， ∴∠DEA ＝∠DAE ＝45°， ∴AD ＝DE ＝8， ∴BC ＝8.
在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝10. 在Rt △AHB 中，∠HAB ＝45°， ∴BH ＝AB ·sin45°＝7 2.
∵在Rt △BHE 中，∠BHE ＝90°， ∴sin ∠AEB ＝BH BE ＝7 2
10
.
4．解：(1)证明：在菱形ABCD 中，OC ＝1
2AC.
∵DE ＝1
2
AC ，
∴DE ＝OC. 又∵DE ∥AC ，
∴四边形OCED 是平行四边形． ∵AC ⊥BD ，
∴▱OCED 是矩形， ∴OE ＝CD.
(2)∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AC ＝AB ＝2，∴AO ＝1
2
AC ＝1.
∴在矩形OCED 中，CE ＝OD ＝AD 2－AO 2＝ 3. 在Rt △ACE 中，AE ＝AC 2＋CE 2＝7. 5．解：(1)证明：∵∠ADE ＝∠BAD ， ∴AB ∥ED.
∵BD 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴BD ⊥AC ，AF ＝FC . 又∵AE ⊥AC ，
∴∠EAC ＝∠DFC ＝90°， ∴AE ∥BD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形． (2)如图，连接BE 交AD 于点O .
∵DA 平分∠BDE ， ∴∠ADE ＝∠1.
又∵∠ADE ＝∠BAD ，
∴∠1＝∠BAD ，∴AB ＝BD ， ∴▱ABDE 是菱形． ∵AB ＝5，AD ＝6，
∴BD ＝AB ＝5，AD ⊥BE ，OA ＝1
2AD ＝3.
在Rt △OAB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝4.
∵S △ABD ＝12AD ·OB ＝1
2BD ·AF ，
∴6×4＝5AF ，
解得AF ＝4.8.
∵BD 垂直平分AC ， ∴AC ＝2AF ＝9.6.
二、以一般四边形为背景图形
1．解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2 3， ∴cos ∠ABC ＝BC AB ，AC ＝1
2AB ，∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－30°＝60°，
∴AB ＝BC cos ∠ABC ＝2 3cos30°＝4，AC ＝1
2×4＝2.
∵△ACD 为等边三角形，
∴AD ＝CD ＝AC ＝2，∠DAC ＝60°.
如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE ＝AD ·sin ∠DAC ＝2×sin60°＝3， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AC ·BC ＋1
2AC ·DE ＝12×2×2 3＋1
2×2× 3 ＝3 3.
(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F .
∵∠DAF ＝180°－∠BAC －∠DAC ＝180°－60°－60°＝60°， ∴DF ＝AD ·sin ∠DAF ＝2sin60°＝3， AF ＝AD ·cos ∠DAF ＝2cos60°＝1， ∴BF ＝AB ＋AF ＝4＋1＝5. ∵DF ⊥AB ，
∴在Rt △BDF 中，BD 2＝DF 2＋BF 2＝(3)2＋52＝28， ∴BD ＝2 7.
2．解：如图，延长BA ，CD 交于点E .
∵∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝4， ∴∠E ＝30°，CE ＝8，BE ＝4 3. ∵CD ＝3， ∴DE ＝5，
∴AE ＝DE cos E ＝5cos30°＝10
3 3，
∴AB ＝BE －AE ＝4 3－
103 3＝2
3
3. 3．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E .
∵DB ⊥AB ，AB ＝2，∠A ＝60°， ∴BD ＝AB ·tan60°＝2 3.
∵∠DBC ＝45°，DE ⊥BC ， ∴BE ＝DE ＝BD ·sin45°＝ 6.
∵∠C ＝∠A ＝60°，∠DEC ＝90°， ∴CE ＝DE
tan60°
＝2，
∴BC ＝2＋ 6.
4．解：(1)如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E . ∵在Rt △CDE 中，∠C ＝60°，CD ＝2 3， ∴CE ＝3，DE ＝3. ∵BC ＝3＋3，
∴BE ＝BC －CE ＝3＋3－3＝3， ∴DE ＝BE ＝3，
∴在Rt △BDE 中，∠EDB ＝∠EBD ＝45°. ∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，
∴∠ABD ＝∠ABC －∠EBD ＝45°， ∴tan ∠ABD ＝1.
(2)如图，过点A 作AF ⊥BD 于点F .
在Rt △ABF 中，∠ABF ＝45°，AB ＝1，
∴BF ＝AF ＝
22
. ∵在Rt △BDE 中，DE ＝BE ＝3， ∴BD ＝3 2，
∴DF ＝BD －BF ＝3 2－
22＝5 22
， ∴在Rt △AFD 中，AD ＝DF 2＋AF 2＝13.
三、以三角形为背景图形
1．解：(1)证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，
∴四边形ADEF 是平行四边形，∠ABD ＝∠BDE ， ∴AF ＝DE .
∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠DBE ， ∴∠DBE ＝∠BDE ， ∴BE ＝DE ，∴BE ＝AF .
(2)如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H .
∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝30°， ∴DG ＝12BD ＝1
2
×12＝6.
∵BE ＝DE ，∴BH ＝DH ＝1
2BD ＝6，
∴BE ＝BH
cos30°
＝4 3，
∴DE ＝BE ＝4 3，
∴四边形ADEF 的面积为DE ·DG ＝24 3.
2．解：(1)证明：∵D ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴DG ∥BC ，DG ＝1
2
BC .
∵E ，F 分别是OB ，OC 的中点， ∴EF ∥BC ，EF ＝1
2
BC ，
∴DG ＝EF ，DG ∥EF ，
∴四边形DEFG 是平行四边形． (2)过点O 作OM ⊥BC 于点M .
在Rt △OCM 中，∠OCM ＝30°，OC ＝4. ∴OM ＝1
2
OC ＝2，
∴CM ＝2 3.
在Rt △OBM 中，∠OBM ＝∠BOM ＝45°， ∴BM ＝OM ＝2，
∴BC ＝2＋2 3， ∴EF ＝1＋ 3.
3．解：(1)证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°.
在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝1
2AE ＝2.
∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C.
又∵∠EDC ＋∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝DC.
(2)如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F .
∴∠AFC ＝∠AFB ＝90°. ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6.
在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝1
2
AC ＝3.
在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝AF
tan B
＝1，
∴AB ＝AF 2＋FB 2＝10.
4．解：(1)BC ′与AB ′互相垂直．
理由：如图，连接BB ′，延长BC ′交AB ′于点D.
∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′C ′， ∴AB ＝AB ′，∠BAB ′＝60°， ∴△ABB ′是等边三角形， ∴AB ＝BB ′.
∵AC ＝BC ，∴AC ′＝B ′C ′. 在△ABC ′和△B ′BC ′中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝B ′B ，AC ′＝B ′C ′，BC ′＝BC ′，
∴△ABC ′≌△B ′BC ′(SSS )，
∴∠ABC ′＝∠B ′BC ′，∴BD ⊥AB ′.
(2)∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，∴AB ′＝2. 由(1)知BD ⊥AB ′且D 为AB ′的中点， ∴C ′D ＝1
2
×2＝1.
∵在Rt △ABD 中，∠ABD ＝12∠ABB ′＝30°，AB ＝2，∴BD ＝2×3
2＝3，
∴BC ′＝BD －C ′D ＝3－1.。