绝对值不等式的解法 课件

1．形如 a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法， 即 a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b 或－b＜f(x)＜－a. 2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当 a＞0 时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a. (2)当 a＝0 时，|f(x)|＜a 无解．|f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0. (3)当 a＜0 时，|f(x)|＜a 无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．
【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即 6x＋3＞0，
解得 x＞－12，∴|x＋2|＞|x－1|的解集为xx＞－21
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(2)如图，设数轴上与－1,1 对应的点分别为 A，B，那么 A，B 两点间的距离 为 2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在 A 点左侧有一点 A1 到 A， B 两点的距离和为 3，A1 对应数轴上的 x.
【解】 (1)当 m＝1 时，原不等式可变为 0<|x＋3|－|x－7|<10，可得其解集为{x|2<x<7}． (2)设 t＝|x＋3|－|x－7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知 0<t≤10， 因 y＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，则 lg t≤1，当 t＝10，x≥7 时，lg t＝1， 故只需 m>1 即可，即 m>1 时，f(x)<m 恒成立．
所以－1－x＋1－x＝3，得 x＝－23. 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点的距离和为 3，B1 对应数轴上的 x， 所以 x－1＋x－(－1)＝3.
所以 x＝32.从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都小于 3； 点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于 3， 所以原不等式的解集是－∞，－32∪32，＋∞.
— 含参数的绝对值不等式问题
题型一、|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法
例 1 求解下列不等式． (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6. 【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
【自主解答】 (1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 即－5≤3x≤7，从而得－53≤x≤37， 所以原不等式的解集是x－53 ≤x≤37. (2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4 或－4＜x－2≤－3，即 5≤x＜6 或－2＜x≤－1. 所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1 或 5≤x＜6}．
题型三、含两个绝对值的不等式的解法
例 3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用 数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝 对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想， 利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)． 2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题 时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．
2．关于 x 的不等式 lg(|x＋3|－|x－7|)<m. (1)当 m＝1 时，解此不等式； (2)设函数 f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当 m 为何值时，f(x)<m 恒成立？
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法： 分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性， 但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
3．已知函数 f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数 f(x)的图象；(2)解不等式 f(x)>2.
题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题
例 2 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【精彩点拨】
解fx≤3，由集合相等，求a
(3)法一 由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.∴－6＜x2－5x＜6.
x2－5x＋6＞0， x－2x－3＞0， x＜2或x＞3，
∴x2－5x－6＜0，
∴x－ 3＜x＜6.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2 或 3＜x＜6}．
法二 作函数 y＝x2－5x 的图象，如图所示． |x2－5x|＜6 表示函数图象中直线 y＝－6 和直线 y＝6 之间相应 部分的自变量的集合． 解方程 x2－5x＝6，得 x1＝－1，x2＝6. 解方程 x2－5x＝－6，得 x′1＝2，x′2＝3. 即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2 或 3＜x＜6}．
→
求y＝fx＋fx＋5的最小 值，确定m的取值范围
【自主解答】 (1)由 f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得 a－3≤x≤a＋3.
a－3＝－1，
又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，所以
解得 a＝2.
a＋3＝5，
(2)法一 由(1)知 a＝2，此时 f(x)＝|x－2|，设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，
1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6. 【解】 (1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4 或－4≤x＋2＜－3， 即 1＜x≤2 或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或－6≤x＜－5}． (2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6 或 5x－x2≤－6， 由 5x－x2≥6，即 x2－5x＋6≤0，∴2≤x≤3， 由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，∴x≥6 或 x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
－2x－1，x<－3， 于是 g(x)＝5，－3≤x≤2， 2x＋1，x>2.
利用 g(x)的单调性，易知 g(x)的最小值为 5.
因此 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 对 x∈R 恒成立，知实数 m 的取值范围是(－∞，5]．
法二 当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|.设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时等号成立)， 得 g(x)的最小值为 5. 因此，若 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m 恒成立，则实数 m 的取值范围是(－∞，5]．
【解】
4，x≤4， (1)f(x)＝12－2x，4<x≤8， －4，x>8.
函数的图象如图所示．
(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即 f(x)>2.由－2x＋12＝2，得 x＝5， 根据函数 f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
— 绝对值的几何意义
绝对值不等式的解法———
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式 含两个绝对值的不等式的解法