第七章参数估计72

?
, x ? 2.576? ?
]的概率为0.99
n
n
P{x ?
u?
2
?
?
n
?
?
?
x?
u?
2
?
?
}? n
1? ?
上式说明未知参数?
落在区间[
x
?
u?
2
?
?
n
,
x
?
u?
2
?
?
n
]的概率为1-
?
这里,
不仅给出了未知参数?
的区间估计[
x
?
u?
2
?
?
n
,
x
?
u?
2
?
?
n
]
还给出了这一区间估计的置信度 (或置信概率) 为1- ?
2分布是偏态分布，寻
找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区
间：采用 ?
2的两个分位数
?
2 ?
/2(n-1)
和?
2 1-?
/2(n-1)，
在? 2分布两侧各截面积为 ? /2的部分，使得
P
? ???
?
2
1? ?
/2
?
?n ? 1?s 2
?2
?
?
2
?
/2
? ???
?
1? ?
由此给出 ? 2的1-? 置信区间为
当? =0.01时，u0.005=2.576，
该总体均值的的 0.99置信区间为
?
?
[ x ? u? , x ? u? ]
2n
2n
? [14.95? 2.576? 0.06 , 14.95 ? 2.576? 0.06 ] ? [14.69,15.21]
6
6
例 用天平秤某物体的重量 9次，得平均值为
x ? 15.4 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其
标准差为 0.1克。试求该物体重量的 0.95置信区间。
解：由于1-? =0.95，因此? =0.05，u0.025=1.96 又n=9, ? =0.1，x ? 15.4
因此 x ? u? 2 ? n ? 15.4? 1.96? 0.1 9
? 15.4? 0.0653
6
6
例 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径 X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取 6个，测得直 径为（单位：毫米）：
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1
若总体方差 ? 2=0.06。试求该总体均值的置信区 间（? =0.05，? =0.01 ）。
解：n=6, ? 2=0.06 ，x ? 14.95
若总体方差 ? 2=0.06。试求该总体均值的置信区 间（? =0.05，? =0.01 ）。
解：n=6, ? 2=0.06 ，x ? 14.95
当? =0.05时，u0.025=1.96，
该总体均值为 0.95的置信区间为
?
?
[x ? u? , x ? u? ]
2n
2n
? [14.95? 1.96? 0.06 , 14.95 ? 1.96? 0.06 ]? [14.75,15.15]
区间的长度增大 , 此时区间估计的精度降低 ; 当置
信度1-? 减小, 样本容量 n固定时, 置信区间的长度
减小, 此时区间估计的精度提高。
(2) 设置信度 1-? 固定, 当样本容量 n增大时,置
信区间的长度减小 , 此时区间估计的精度提高。
二、单个正态总体参数的置信区间
1、 ? 已知时? 的置信区间 2、? 2未知时? 的置信区间 3、? 2的置信区间
E(Ak ) ?
1 n
n i ?1
E( Xik )
k
故 k 阶样本矩 Ak 是 k阶总体矩? k 的无偏估计.
特别的 : 不论总体 X 服从什么分布 , 只要它的数学期望存在 ,
X 总是总体 X 的数学期望 ?1 ? E( X) 的无偏
估计量.
例2 对于均值 ? , 方差 ? 2 ? 0 都存在的总体 , 若
又设 X1, X2 , , Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
? 总体服从什么分布 ,
k 阶样本矩
Ak
?
1 n
n
X
k i
i?1
是k
阶总体矩 ? k 的无偏估计 .
证 因为X1, X2 , , Xn 与 X同分布，
故有 E(Xik ) ? E(X k ) ? ? k , i ? 1,2, , n.
? ? ? . 即
此处 s2 ?
n
1 ?
1
?
( xi ? x)2 是?
2的无偏估计。
例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的 平均寿命，现随机地抽 12只轮胎试用，测得它们的寿 命（单位：万公里）如下：
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 试求平均寿命的 0.95置信区间。 解：经计算有 x ? 4.7092 ，s2=0.0615
???n ? 1?s2
?
2 ?
2
?n
?
1?,
?n ? 1?s2
?
2 1?
?
2 ?n ? 1???
上述区间两端开方可得标准差的 ? 的1-? 置信区间
例7-22 某厂生产的零件重量服从正态分布 N(? ,? 2)，
现从该厂生产的零件中抽取 9个，测得其重量为（单 位：克）
45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6
由于 u~N(0, 1), 因此有
P{| u |? u? } ? ? (0 ? ? ? 1) 或 P{| u |? u? } ? 1 ? ?
2
又 u ? (x ? ? )
?/ n
2
故P{x ?
u?
2
?
?
n
?
?
?
x?
u?
2
?
? }?
n
1? ?
当? =0.05时, 1-? =0.95, u? ? 1.96
2
因而有P{ x ? 1.96 ? ? ? ? ? x ? 1.96 ? ? } ? 0.95
n
n
上式说明未知参数? 落在区间[x ? 1.96? ? , x ? 1.96? ? ]的概率为0.95
n
n
当? =0.01时, 1-? =0.99, u? ? 2.576
则未知参数?
2
落在区间[
x
?
2.576?
下面介绍几个常用标准 .
7.2.1 无偏性
定义7-3 设 ? ? ? ( x1, , xn ) 是? 的一个估计， ? 的 参数空间为 Θ，若对任意的 ?? Θ，有
E(??) ? ?
则称?? 是? 的无偏估计 ，否则称为有偏估计。
例1 设总体 X 的 k 阶矩 ? k ? E ( X k ) (k ? 1)存在,
.
?
?
1和
?
?
2 分别称为 ?
的
置信下限和置信上限
.
?
?
2
?
?
?
1
称为置信区间的长度
。
这里置信度1-? 的含义是指该置信区间以100(1-? )%的 概率含有? 。
说明
置信区间的长度可视为区间估计的精度 , 置信 度和精度具有如下的关系 :
(1) 当置信度 ? 增大, 样本容量 n固定时, 置信
当? 变小, 1-? =变大时, u? 增大
2
区间[ x
?
u?
2
?
?
n
,
x
?
u?
2
?
?]
n
的长度增大
当? 变大, 1-? =变小时, u? 变小,
2
区间[ x
?
u?
2
?
?
n
,
x
?
u?
2
?
?
] n
的长度减小
区间估计的定义
定义7.5.1 设? 是总体的一个参数，其参数空间为 Θ，
x1, x2 , …, x n是来自该总体的样本，对给定的一个 ?
7.2 点估计的评价标准
一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到 , 对于同一个参数 , 用不 同的估计方法求出的点估计可能不相同 . 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的点估计量 . 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好 ?
(2)评价估计量的标准是什么 ?
1、 ? 已知时?的置信区间
设总体X服从正态分布 N(? , ? 2), ，其中 ? 已知， 而? 未知，求 ? 的置信度为 1－α的置信区间
?
?
P{x ? ? ? ? ? ? x ? ? ? } ? 1 ? ?
2n
2n
所以，? 的置信度为 1－α的置信区间为
?
?
[x ? ?? , x ? ?? ]
? ? ,
?
2
均为未知, 则 ?
2
的估计量
??2
?
1 n
n
( Xi
i?1
?
X )2
是 有偏的(即不是无偏估计 ).
? 证
??2
?
1 n
n i?1
Xi2 ?
X2 ?
A2 ?
X2,
因为 E(A2) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ,
又因为 E(X 2) ? D( X) ? [E(X)]2
? ? 2 ? ? 2,
四、小结
估计量的评选标准
? 无偏性 ? ? ?? 有效性
第三节 区间估计
一、区间估计的基本概念 二、单个正态总体参数的置信区间
一、区间估计的基本概念
例 设某种绝缘子抗扭强度 X服从正态分布 N(? , ? 2), 其 中? 未知, ? 2已知(? =45公斤·米), 试对总体均值作区间
估计.
对于区间估计, 首先要选择一个合适的统计量.
若在该总体取一个容量为n的样本x1, x2,…,xn, 样本均值为 x
?的点估计(矩估计)为 x
?2
x ~ N(? , )
然后需要选择一个合适的估计函数
n
(x ? ? )
对于总体为正态分布的问题, 估计函数可取 u ?
(1) u中包含所要估计的未知参数?
?/ n
(2) u~N(0, 1),且与未知参数?无关
于是该物体重量 ? 的0.95置信区间为
[15.3347 ，15.4653]
2、? 2未知时? 的置信区间
这时可用 t 统计量，因为 t ? n ( x ? ? ) ~ t(n ? 1)，完
s
全类似于上一小节，可得到 ? 的1-? 置信区间为
??x? t? 2(n? 1)s n, x? t? 2(n? 1)s n??
试求总体标准差 ? 的0.95置信区间。
解：由数据可算得 s2 =0.0325，(n-1)s2=8? 0325=0.26
查表知 ? 2 0.025(8) = 17.5345 ，?20.975(8)= 2.1797
n
所以 E(??2 ) ? E( A2 ? X 2 ) ? E(A2 ) ? E(X 2 )
? n ? 1? 2 ? ? 2, 所以 ??2 是有偏的.
n
若以 n 乘 ??2, 所得到的估计量就是无偏的.
n?1
(这种方法称为 无偏化).
E
? ??
n n?
1
??
2
? ??
?
n E(??2 ) ?
n?1
例7-15 设 x1, x2 , …, x n 是取自某总体的样本，记
总体均值为 ? ，总体方差为 ? 2，则??1 ? x1,??2 ? x 都 是? 的无偏估计，但
D(? 1 ) ? ? 2 , D(? 2 ) ? ? 2 / n
显然，只要 n>1，??2 比 ??1有效。
这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用 部分数据更有效。
?
2.
? 因为
n ??2 ? S 2
n?1
?
1 n?1
n
(Xi
i?1
?
X 2 ),
即 S 2是? 2 的无偏估计, 故通常取S 2作? 2的估计量.
对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。
当总体k阶矩存在时，样本 k阶原点矩ak是总体k阶原点
矩? k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由 于计，E (对sn2此) ?，n有n? 1如? 下2，两样点本说方明差：不是总体方差 ? 2的无偏估
2n
2n
当? =0.05时, 1-? =0.95, ? ? ? 1.96
2
当? =0.01时, 1-? =0.99, ? ? ? 2.576
2
例 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径 X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取 6个，测得直 径为（单位：毫米）：
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1
(0<?
<1)
，若有两个统计量
?
?
1
?
? ? 1( x1 ,
,
xn
)
和
?
?
2
?
?
?
2 ( x1 ,
, xn )
若对任意的 ? ? Θ，有
P(? 1 ? ? ? ? 2 ) ? 1 ? ? ,
则称随机区间
[
?
?
?
1,?
2] 为?
的置信度为 1-?
的置信区间，
或简称
[
?
?
?
1,?
2] 是?
的1-?
置信区间
由? =0.05，查表知 t0.025(11)=2.2010
x? t? 2(n? 1)s n ? 4.7092 ? 2.2010 ? 0.0615 / 12
于是平均寿命的 0.95置信区间为（单位：万公里）
[4.5516, 4.8668]
3、? 2的置信区间
由
?2
?
(n ? 1)s2
?2
~
? 2 ?n ? 1?，由于 ?
(1) 当样本量趋于无穷时，有 E ( sn 2 ) ? ? 2 ，
我们称 sn2 为? 2的渐近无偏估计。
? (2)
若对 sn2作如下修正：
s2 ?
ns n 2 ? n? 1
1 n? 1
n
( xi ?
i?1
x )2
则 s2 是总体方差的无偏估计。
7.2.3 有效性
比较参数? 的两个无偏估计量 ??1 和??2 , 如果
在样本容量 n相同的情况下 , ??1的观察值在真值
? 的附近较??2 更密集 , 则认为??1 较 ??2 有效 .
定义7.2.3
设?
1,?
是
2
?
的两个无偏估计，如果
对任意的 ? ? Θ, 有
D(? 1 ) ? D(? 2 ),
且至少有一个 ? ? Θ使得上述不等号严格成立，
则称??1 比 ??2 有效。