多项式除以多项式

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：
多项式除以多项式一般用竖式进行演算
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．
（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式
如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除
多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2
+÷++x x x
规范解法
∴
.5)4()209(2+=+÷++x x x x
解法步骤说明： （1）先把被除式2092
++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式2092++x x
的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．
（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42
+，写在2092++x x 的下面．
（4）从2092
++x x
减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．
（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2
+=+÷++x x x x
例2 计算)52()320796(2245
--÷+-+-x x x x x x ．
规范解法
∴
)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴
)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．
8．什么是综合除法
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算)3()432(3
-÷-+x x x
．
因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234
+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．
规范解法
∴ 商式2223-+-=
x x x ，余式＝10．
例2 用综合除法证明910152235
-+-x x x 能被3+x 整除．
规范证法 这里)3(3--=
+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
因余数是0，所以910152235
-+-x x x
能被3+x 整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723
-+x x
除以12+x 的商式和余数．
规范解法 把12+x 除以2，化为2
1
+
x ，用综合除法．
但是，商式2
3
22+
-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式43212+-
=
x x ，余数4
37-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723
-+x x
除以21+
x ，得商式2322
+-x x ，余数为4
37-，即 ∴
437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=-+x x x x x
()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-+=x x x ．
即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-
=x x ，余数仍为4
3
7-．
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式
)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式
)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。

当0)(=x r 时，就是
)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求34
74142x x x
-++除以2-x 所得的商和余式。

解：
余式
商的各项的系数
8
2
6322
41264414072++--+--++-444344421
∴)2()74142(34
-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。

上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同
-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，
同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到
余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢
例2、求)23()1623103(23
-÷+-+x x x x
的商式Q 和余式R 。

解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。

因此先用3
2
-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。

5
4161512333
2
108216231033-+++++-+++-+
∴Q=542
-+x x
， R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余
式。

例3、用综合除法求)23()4101173(2234
-+÷-+-+x x x x x x
的商Q 和余式R 。

解：
2
31
2323234
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232
+-x x ， R =23-x 。

二、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。

它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。

余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。

略证：设
R a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得
R a f =)(。

例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。

解：依题意
)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。

可得ｍ＝－17。

求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f
①
∵
)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b ∴
13)(2+-=x x x f 。

注：本例也可用待定系数法来解。

同学们不妨试一试。

即：1))(3())(2())(1(2
++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x
由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++
-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。

∴13)(2+-=x x x f 。

练习：
1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（1）)2()76543(234
-÷-+--x x x x x ；
（2）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；
（3）)())()((23
a x abc x ca bc a
b x
c b a x
-÷-+++++-；
（4）)23()188859(334224
y x y x xy y y x x -÷+--+；
（5）)32()15151672(2234
+-÷+-+-x X x x x x ；
（6）)253()712(23356
-++÷--+x x x x x x x
2、一个关于x 的二次多项式)(x f ，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整
除，求
)(x f 。

3、一个整系数四次多项式
)(x f ，有四个不同的整数4321,,,αααα，可使,1)(,1)(21==ααf f
1)(,1)(43==ααf f ，求证：任何整数β都不能使1)(-=βf 。

綜合除法：
當除式g (x )=x a 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。

【範例】：設f (x )=2x 4+x 2 5x ，g (x )= x 2，求f (x )除以g (x )的商式、餘式。

解 ：2 x 4 + x 2 5x = ( 2x 3
+ 4x 2
+ 9x +23 ) ( x – 2) +46
式
餘式商
,46,239
42461884)(205102
+
綜合除法的原理：
設f (x )=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，g (x )=x
b ，若存在商式q (x )=
c 2x 2+c 1x +c 0，餘式r (x )=
d 。

由除法的定義：(a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0)=( c 2x 2+c 1x +c 0)( x
b )+d
經比較係數可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-==d b c a c b c a c b c a c a 0001112223 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==b c a d b c a c b c a c a c 001102
2132
上面的關係可寫成以下的形式：
當f (x )除以g (x )=ax +b 時，我們也可利用綜合除法求餘式r (x )、商式q (x )。

由除法的定義：f (x )=(ax +b )
q (x )+r (x )=(x +b
a )
[aq (x )]+r (x )可先利用綜合除法求出f (x )除以(x +b
a )的商式q /(x )=aq (x )與餘式
r (x )， 而所要求的商式q (x )=1
a q /(x )，餘式r (x )不變。

餘式定理、因式定理 除法原理：f (x)= g (x)
q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0
餘式定理：多項式f(x)除以x a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f ( b
a )。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx 4以x +1除之，得餘式3，以x 1除之，得餘式1，若以x 2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax 2+bx 4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115
4
114
72
11356112+1511+7之值為 。

解： f(x) = x 5
-4x 4
-72x 3
-56x 2
+15x +7 利用綜合除法求f(11) = 51 範例：設二多項式f(x),g(x)以2x
2
3x 2除之，餘式分別為3x+2,4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何 Ans ：
192
解：f(x) = (2x
2
3x 2)× p(x) + (3x+2)
)
(,)(,)()(01200
112230120123
x r d
c c c x q b c a b c a b c a a b
b c b c b c a a a a x f ==⇓⇓⇓⇓++++↓+=
g(x) = (2x23x2)×q(x) + (-4x+7)
f(x)+g(x) = (2x23x2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)
= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)
F(x) = f(x)+g(x) , F(
1
2
-) = -(
1
2
-) +9 = 19
2
範例：f (x)=2x4+3x3+5x26，求2x1除f(x3)的餘式。

解：可令g (x)=f (x3)，再利用餘式定理。

Ans：113 2
範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何
解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)
(x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3
= (x2+2x+3)3+ 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2+ (x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式
= 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式
= 10x+14
範例：試求下列各小題：
(1)求多項式f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x1除之餘2，以x+2除之餘1，則以(x1)(x+2) 除f(x)的餘式為何？
(3)設多項式f(x)不低於3次，以x1除之餘3，以x+1除之餘1，以x2除
之餘2，則求以(x1)(x+1)(x2)除f(x)的餘式。

解：(1) f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)
也就是f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以x2-8x +7
我們可得餘式11x -29
(2) f(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b
由f(1) = 2 及f(-2) = -1 我們可以解得a = 1 , b =1
我們可得餘式x + 1
(3) f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)Q(x) + ax2+ bx + c
由f(1) = 3，f(-1) = 1 及f(2) = -2 我們可以解得a = -2 , b =1, c = 4
我們可得餘式2x2+x + 4
Ans：(1)11x29 (2)x+1 (3)2x2+x+4
範例：多項式f(x)以x2-3x4，2x23x+1除之餘式各為4x1，2x+7，試求f(x)以2x29x+4除之餘式為何
解：f(x) = (x2-3x4) ×p(x) + 4x 1 = (x-4)(x+1) ×p(x) + 4x1
f(x) = (2x23x+1) ×q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) ×q(x) + 2x+7
f(4) = 15 且f(1
2
) =8
f(x) = (2x29x+4) ×S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) ×S(x) + ax +b
利用f(4) = 15 = 4a +b 及f(1
2
) = 8 =
1
2
a +b
我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以2x29x+4除之餘式為2x + 7
範例：多項式f(x)以x(x1)除之，餘式為x+3，以x(x+1)除之餘式為3x+3，則f(x)
除以x(x21)之餘式為何
解：f(x) = x(x1) ×p(x) + (x+3)
f(x) = x(x+1) ×q(x) + (3x+3)
f(x) = x(x21) ×S(x) + ax2+ bx + c
我們有f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入f(x) = x(x21) ×S(x) + ax2+ bx + c。

可以解得a = 4, b = -2, c = 3 ，故f(x)除以x(x21)之餘式為4x22x+3。

範例：多項式f(x)除以x3得餘式16，除以x+4得餘式19，則f(x)除以(x3)(x+4)所得的餘式為
Ans：5x+1
範例：多項式f(x)以x23x+2除之餘式為3，以x24x+3除之得餘式為3x，則以x25x+6除之餘式為Ans：6x9
範例：以x2+2x+3除f(x)餘x+12，以(x+1)2除f(x)餘5x+4，則以(x+1)(x2+2x+3)除f(x)的餘式為Ans：6x211x6
範例：用(x1)2除x10+2所得的餘式為何
Ans：10x7 (直接除觀察係數規則即可得)
範例：以(x+1)2除x50+1之餘式為。

Ans：50x48 (直接除觀察係數規則即可得)
因式定理：設f(x)為一多項式，則x為f(x) 的因式f()=0 。

證明：因為f(x) = (x) Q(x)
推廣：ax b為f(x)的因式f( b a)=0
範例：因式定理的應用：
(1)試問下列何者為f(x)= 4x5+8x4+7x322x22x+5的因式(a)x 1 (b)x+2 (c)2x 1 (d)x 2
(2)設f(x)=x42x3+4x2+ax+3之一因式為x3，求a之值。

範例：設f(x)=4x411x3+14x210x+3，則下列何者為f(x)之因式？
(A)x+1 (B)4x+3 (C)4x 3 (D)3x 2 (E)x 1
Ans：(C)(E)
範例：若f(x)=x35x2+mx+n有因式x2+x6，則m+n=
Ans：24
範例：a,b,c為整數，0<a<b，若x c為x(x a)(x c)17的因式，則(a,b,c)=？
Ans：(2,18,1)
一次因式檢驗定理：
設f(x)=2x+3，g(x)=5x2x+7，h(x)=f(x)g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x ×5x2來的，21是3 ×7來的，因此觀察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，這個結果
對於一般整係數的多項式也是成立，我們將它寫成下面的定理：
定理：設f(x)=a
n x n+a 1
n-
x1
n-+…+a
1
x + a0為一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax b是f(x)的因式，且a,b
互質，則a|a
n 且b|a。

注意：一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。

例如：f(x)=3x 3+5x 2+4x
2，f(13 )0。

由此定理，可知若一次式cx d 中c 不為an 的因數或d 不為a 0的因數的話，則cx
d 必不 為f(x)的因式。

故只有滿足a|a n 且b|a 0的一次式ax
b 才有可能成為f(x)的因式，因此我們只要從滿足a|a n 且b|a 0這些ax
b 去找一次因式就可以了。

範例：求整係數f(x)=3x 3+5x 2+4x 2的整係數一次因式。

根據一次因式檢驗定理，假設ax b 為f(x)的一次因式，則a|3且b|2。

我們將所有可能的ax b 組合x+1,x 1,x+2,x 2,3x+1,3x 1,3x+2,3x 2，再 利用綜合除法檢驗看看那一個是f(x)的因式
3x 1是f(x)的因式。

範例：求f (x )=2x 4+5x 3
x 2+5x 3的一次因式。

Ans ：2x 1與x +3
範例：找出f (x )=6x 4
7x 3+6x 21的所有整係數一次式。

Ans ：2x 1、3x +1
定理：設f (x )為整係數多項式，a ,b 為不同的整數，證明：(a b )|f (a )f (b )。

範例：歷史學家為了推敲大數學家歐幾里得的出生年份，發現在西元前336年時，流傳了一則有趣的故事：那一年的某一天，歐幾里得造了一個整係數的多項式，並興高采烈的跟旁人說「我現在的年齡剛好是這個多項式的一個根。

」旁人為了想知道歐幾里得的年齡，於是將7及一個比7大的整數代入歐幾里得的多項式，結果得到77及85的值。

這時候歐幾里得笑著說：「我的年齡有你代的數那麼小嗎」你能根據這些史料推測出歐幾里得出生的年份嗎
[提示：設歐幾里得提及的多項式為f (x )，而歐幾里得有a 歲，且f (7)=77，f (b )=85，且b >7，由例題13可得b 7|f (b )f (7) b 7|8，且7a |f (7)f (a )=77，b a |f (b )f (a )=85，再根據這些條件，去求得a 的值，a =14，所以歐幾里得出生的年份是西元前350年。

]
最高公因式、最低公倍式
定義：設f(x),g(x)為二多項式，若存在多項式h(x)使得f(x)=g(x)
h(x)，則稱f(x) 為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。

符號：f(x)|g(x)。

範例：因為x 31=(x 1)(x 2+x+1)，所以x 1與x 2+x+1均為x 3+1的因式，x 3+1為x 1與x 2
+x+1 的倍式。

範例：因為
2143412++x x =)2)(1(41++x x =)121)(2121(++x x ，所以x+1，x+2， 2121+x ，121+x 都是2
143412++x x 的因式。

注意：由上面兩個例子可知，若f(x)|g(x)，則c f(x)|g(x)(c0)。

因此就一般而言，只要求出
整係數的因式或倍式即可。

(2)性質：若設d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，則d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。

公因式與公倍式：
若多項式d(x)同時為多項式f(x),g(x)的因式，則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。

注意：d(x)=c (c0)為任何兩個多項式的公因式。

設d(x) 為f(x),g(x)的公因式，則k d(x)(k0)亦為f(x),g(x)的公因式，因此我們通常只取一個代表就行了。

如果多項式f(x),g(x)除了常數以外，沒有其它的公因式，就稱它們互質。

設f(x),g(x)都是非零多項式，如果m(x)同時是f(x),g(x)的倍式，那麼就稱m(x)為f(x),g(x) 的公倍式。

設m(x) 為f(x),g(x)的公倍式，則k m(x)亦為f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個代表就行了。

範例：設f(x)=4x21,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x27x+3。

求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)
的公因式。

因為f(x)=(2x+1)(2x1)，g(x)=(2x+1)2，h(x)=(2x1)(x3)，
所以2x+1,x+1
2，4x+2…等凡是k(2x+1)的形式都是f(x),g(x)的公因式。

在g(x),h(x)中，除了常數外沒有其它的公因式，故g(x),h(x)互質。

最高公因式、最低公倍式：
設f(x),g(x)為兩多項式，如果d(x)是它們公因式中次數最高的，那麼稱d(x)為最高公因式，符號：(f(x),g(x))=d(x)。

注意當多項式f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x))=1。

最高公因式與公因式一樣，並不是只有一個，不過任兩個最高公因式之間都只差一個常
數因式，因此通常所謂兩個多項式的最高公因式，可取它們的任意一個最高公因式。

設f(x),g(x)為兩多項式，如果m(x)是它們公倍式中次數最低的，那麼稱d(x)為最低公倍式，符號：[f(x),g(x)]=m(x)注意：最低公倍式也不是唯一的，不過它們之間也都只差一個常數因式。

與的求法：
因式分解法：
範例：f(x)=(x2x+3)(x+4)(x5)(x+1)，g(x)=(x2x+3)(2x3)(x+6)(x5)
則f(x)與g(x)的最高公因式為(x2x+3) (x5)
範例：f(x)=(x2x+3)(x+4)(x5)(x+1)，g(x)=(x2x+3)(2x3)(x+6)(x5)
則f(x)與g(x)的最低公倍式為(x2x+3) (x5)(x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)
輾轉相除法：
設f(x)，g(x)為二多項式，且g(x)0，則由除法定理可知：恰有兩個多項式q(x),r(x)滿足f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中r(x)=0或deg r(x)<deg g(x)。

原理：(f(x),g(x))=k(g(x),r(x))。

k0
範例：以f(x)=x52x32x23x2，g(x)=x42x32x1為例，求f(x)與g(x)的最高公因式。

利用輾轉相除法，求出f(x)與g(x)的為d(x)，則f(x)與g(x)的
)
(
)
(
)
(
x
d
x
g
x
f。

原理：f(x)g(x)=k(f(x),g(x))[f(x),g(x)]
範例：以f(x)=x52x32x23x2，g(x)=x42x32x1為例，求f(x)與g(x)的最低公因式。