2020-2021高三数学下期末模拟试题(及答案)(1)

2020-2021高三数学下期末模拟试题(及答案)(1)
一、选择题
1．若3
tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．
6425 B ．
4825
C ．1
D ．
1625
2．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
5．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7
6．已知向量)
3,1a =r
，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=r r b =r
（ ）
A ．3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．133,44⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．()1,0
7．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①()32f x x =
-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与
()2g x x =
③()0
f x x =与()0
1g x x =
；④()221f x x x =--与()2
21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③
C ．③ ④
D ．① ④
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4
100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．函数
()sin(2)2
f x x π
=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π
=对称，则关于函
数()y g x =以下说法正确的是（ ） A ．最大值为1，图象关于直线2
x π=
对称
B ．在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛
⎫
⎪⎝⎭
对称 11．已知向量()1,1m λ=+r ，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r
，则λ=（ ） A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
12．已知tan 212πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭，则tan 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ） A ．1
3-
B ．
13
C ．-3
D ．3
二、填空题
13．若过点()2,0M 3()2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v
，则a =____．
14．在平行四边形ABCD 中，3A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是
边BC ，CD 上的点,且满足CN CD
BM BC =u u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AM AN ⋅u u u u v u u u v 的取值范围是_________． 15．若9
()a
x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
16．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取
_______名学生．
17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 18．计算：1726
cos()sin 43
ππ-
+=_____． 19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2
EF =
，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
22．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若21
2z z =，求m ，n 的值.
23．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.
24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？
5.92≈≈≈）
25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方
形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,
3
AC BC B C ACB π==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：由3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525
αα+=
+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2
x x
e e
f x x x ---=+-=() f x -
所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】
解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】
由于样本容量与总体中的个体数的比值为
201
1005
=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，1
2555⨯=，20956--=.故选：B
【点睛】
本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
设()(),0b x y y =≠r
，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可
得出向量b r
的坐标. 【详解】 设(),b x y =r ，其中0y ≠
，则a y b ⋅=+=r r
由题意得2210x y y y ⎧+=+=≠⎪⎩
，解得122x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，即12b ⎛= ⎝⎭r . 故选：B. 【点睛】
本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】 ①中(
)f x =
的定义域为(),0∞-，(
)f x =(),0∞-，但
(
)f x ==-与(
)f x =
②中()f x x =与(
)g x =
R ，但(
)g x x ==与()f x x =对应关系不
一致，所以②不是同一函数； ③中()0
f x x =与()01
g x x =
定义域都是{}|0x x ≠，且()0
1f x x ==，()
11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；
④中()2
21f x x x =--与()2
21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C 【点睛】
本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
8．B
解析：B 【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】
由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】
本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】
设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4
y π
-+在函数y=f(x)的图像
上，
sin[2(-x+)]sin 2()42
y x g x ππ
=-=-=，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012
g π
=≠±，所以图象不关于直线2
x π=
对
称，所以该选项是错误的；
对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22
k x k π
π
ππ-
≤≤得
+
4
4
k x k π
π
ππ-
≤≤，
)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以该选项是正确的；
对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()4
4
k k k Z π
π
ππ+
∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；
对于选项D,函数的周期为π，解2,,2
k x k x π
π=∴=
所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π
∈（
,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】
本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴
()()0m n m n +⋅-=r r r r . ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】
3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tan
tan tan ππαππα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭，故选A .
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-
⎪⎩
，
解得，交点B
坐标为(a 4-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()442402a x y ⎧
+-⎪=⎪
⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩
，解得(a A 44+，
将)
()a a 8A 444
++代入抛物线方程，
即()2a
a 44
=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
14．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ， 13,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设||||||||BM CN BC CD λ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，[]
0,1λ∈，则(22M λ+，3)λ，5(22N λ-，3)， 所以(22AM AN λ=+u u u u r u u u r g ，35)(22λλ-g ，22353)542544
λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2252,5λλ--+∈． 故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
15．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二 解析：1
【解析】
【分析】
先求出二项式9()a
x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.
【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=， 9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=， 故答案为1.
【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
16．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人
解析：60
【解析】
【分析】
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.
【详解】
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556
⨯
=+++. 故答案为60. 17．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8
【解析】 考查类比的方法，1111122222111131428
3
S h V S h V S h S h ⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 18．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.
【详解】 依题意，原式
17π26ππ2π
cos
sin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πcos sin 432
=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.
19．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不
解析：y =sin x （答案不唯一）
【解析】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.
详解：令0,0
()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f
（x ）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.
20．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；
对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；
对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误． 综上知①②③正确，故答案为①②③
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题
21．(1)
； (2)36000；（3）.
【解析】
【分析】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.
【详解】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×
0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×
a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.
（Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
【考点】
频率分布直方图
【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
22．（1）5 （2）0,1.m n =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；
（2）根据21
2z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】
（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，
所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以
()2212215z z +=+-=. （2）若212z z =，则()
221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n
⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】
此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.
23．（Ⅰ）B=
4π（Ⅱ）21+ 【解析】
【分析】
【详解】
(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①
在三角形ABC 中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2) S △ABC 12=ac sin B 2=， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π
≥2ac ﹣2ac 22
⨯，
整理得：
ac ≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC
面积的最大值为11222
⨯=（
2
=1． 24．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50%
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据； （2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3
）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．
【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得 ()1928486788974837877898310
x =+++++++++=， 则有
()()()()()()()()()()222222222221928384838683788389837483838378837783898310
S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦
33= 所以均值83x =，方差233s =.
（3
）由题意知评分在(83即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为
50.550%10== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．
25．（I
）(4,
),(2)24ππ
（II ）1,2a b =-= 【解析】
【分析】
【详解】
（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-= 联立得22(2)4{40
x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为
(4,),(22,)24ππ （II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+=
由参数方程可得122
b ab y x =-+，所以1,12,1,222b ab a b =-+==-=解得 26．（1）详见解析；（2）
431. 【解析】
【分析】
（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面11A ACC ．
（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值．
【详解】
证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．
因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点，
又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且12
MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =，
所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ，
因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ，
故1B Q P 平面11A ACC ．
（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，
则)3,1,0A -，)13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，
所以()
113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r ．
设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r ，
则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即32020x y y z
⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则()
4,23,3m =u r 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,3131m n m n m n ===u r r u r r g u r r g ． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为431．
【点睛】
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.。