第八章第五节q、Q、M的微积分关系, 第八章第六节平面刚架和曲杆的内力及内力图

∴ dM = FS dx
dM = FS dx
3
dFS ( x ) = q( x ) 微段 dx 平衡 dM ( x ) = FS ( x ) 方程 dx d 2 M ( x ) dFS ( x ) = = q( x ) 2 dx dx
qdx
FS M C FS ＋dFS dx M＋dM ＋
【结论5】梁上任一截面处分布载荷的集度 q ， 结论 】 等于F 图在该截面处的斜率； 等于 S 图在该截面处的斜率 ； 又 ： 任一截面处 的剪力F 等于M 图在该截面处的斜率。 的剪力 S ，等于 图在该截面处的斜率。
B
x
RA
RB
2
q 、 FS、 M 间的关系
由
y
A x
q(x)
B dx
∑Y = 0
得：
x
FS + qdx − ( FS + dFS ) = 0 RA
RB
∴ dFS = qdx
由
dFS =q dx
FS M
qdx
M＋dM ＋ C FS ＋dFS dx
∑m
C
= 0 得：
dx − M − FS dx − qdx ⋅ 2 + ( M + dM ) = 0
∫
x2 x1
ωF
FS2 FS2
S
令：
ωq =
S
∫
x2 x1
qdx
FS
M1
+ +
ω F = ∫ FS dx
x1
x2
M2
M
于是： 于是：
FS 2 − FS 1 = ω q M 2 − M 1 = ω FS
FS 2 = FS 1 + ω q M 2 = M 1 + ω FS
11
【结论 6】 】
无集中力作用的一段梁 的右端截面上的剪力FS2等于 左端截面上的剪力FS1与两截 M1 面间q图面积的代数和 。 无集中力偶作用的一段 梁的右端截面上的弯矩Ｍ2等 于左端截面上的弯矩Ｍ1与两 截面间FS图面积的代数和 。
a
N2 M2 FS2
x2
C 2qa
1
2a
1
q
x1
A
N1 FS1
2qa 2qa 2qa
M1
N 1 = 2qa FS1 = 2qa − qx1 qx M 1 = 2qax1 − 2
2 1
q
A
x1
2qa 2qa
FS
2qa
FS图
34
B
2 2
x2
C 2qa
N2 = 0 FS 2 = − 2qa M 2 = 2qax 2
Ｂ
l RA RＢ
ql RA = RB = 2
13
ql R A = RB = 2
q
A
Ｂ
2、作FS 、 M图 、 图 ql 2 ql FSA+ = 2 ql 2 ql FSB − = − 2 +
l
ql 2
【结论 7】 】
FS、 M图特点： 图特点： 图特点 结构对称， 结构对称， 受力对称， 受力对称，则 FS图反对称； 图反对称； M图对称。 图对称。 图对称
a
N2 M2 FS2
x2
C 2qa
2a
q
1
1
2qa2 2qa 2qa2
x1
A
N1 FS1
2qa
M1
N 1 = 2qa FS1 = 2qa −1
q
A
x1
2qa 2qa
M
M图 图
35
B
2 2
x2
C 2qa 2qa
a
2a
q
1
1
N
2qa 2qa2 2qa
Ｍ图画在受 压 的 一 侧 （弯曲变形 凹 入 的 一 侧）。
Pa
M
31
【例题 2】 试作图 】 示刚架的内力图。 示刚架的内力图。
B
a
C
q
解：１、求支反力
∑m
A
=0
RB = 2qa
RA = 2qa H A = 2qa
2a
RB
∑Y = 0 ∑X =0
A RA
ＨA
２、作Ｎ、FS、Ｍ图
32
B
2 2
x2
C 2qa
N2 = 0 FS 2 = − 2qa M 2 = 2qax 2
qa RA = 4
Ｂ
Ｃ
Ｄ
7 qa RB = 4
FS
8
A
Ｂ Ｃ
2 qa
Ｄ
FS
qa
qa
9
间的积 二．q 、 FS 、 M 间的积分关系
任取一段梁， 任取一段梁 ， 其 上只有分布载荷， 上只有分布载荷 ， 没 M 1 有集中力和集中力偶。 有集中力和集中力偶。 由：
dF S =q dx dM = FS dx
C
D
P
B
P
N
P
FS
P
Pa
2Pa
Pa
M
30
直角刚节点两边 内力的关系： 内力的关系：
N2 M2 M1 N1 FS1 FS2
C
D
P
N 1 = FS 2 FS1 = N 2 M1 = M 2
A B
P
N
P
FS
P
Pa
2Pa
节点一侧的轴力等于节点 另一侧的剪力。 另一侧的剪力。 节点一侧的剪力等于节点 另一侧的轴力。 另一侧的轴力。 节点两边的弯矩相等。 节点两边的弯矩相等。
P
链 环
P
平面刚架和平面曲杆中，杆件横截面上的内 力一般有轴力、剪力和弯矩。静定刚架和曲杆的 内力计算和静定梁相似，下面将用例题来说明。
26
【例题 1】 试作图示刚架的内力图。 】 试作图示刚架的内力图。
C
D
P
A
a a
B
a
解：（１、求支反力） ：（１ 求支反力）
27
C
3 3 2
D
N2
P
A
2 1
a
你能推断出q 之间到底有什么关系？ 你能推断出 、FS、M之间到底有什么关系？ 之间到底有什么关系
dF S =q dx
dM = FS dx
dF S d M = =q 2 dx dx
1
2
§8. 5 载荷集度 、剪力 和弯矩 之间的微积分关系 一．q 、 FS、 M 间的微分关系
y
A x dx
q(x)
无集中力作用的一段梁的右端截面上的剪力fs2等于左端截面上的剪力fs1与两截面间q图面积的代数和无集中力偶作用的一段梁的右端截面上的弯矩m13例题试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
q0
课后练习
A
x
B C
mB
a
a
RB
x q0 x 3 q0 x 2 0≤ x≤a ，q=-q0x/a，FS = − Px = − ≤ ≤ ， ， M = − Px 3 = − 6a 2a a≤ x≤2a，q=0， F S = − P 0 = − q 0 a ，M = − q 0 a x − 2 a ≤ ≤ ， ， 2 2 3
P
A
FS2
M2
N2 = P FS 2 = 0 M
2
a
1
B a
a
B
x2
= Pa
P
A
FS1 N1 M1
x3
C
FS3 N3 M3
N3 = 0 FS 3 = − P M
3
x1
N1 = 0 FS 1 = − P M 1 = Px 1
P
A
a
a
B
= P (a + x 3 )
28
N 、 FS 、 M图 图
C
a a
x1
A 2qa
节点一侧的轴力 等于节点另一侧的剪 力；节点一侧的剪力 等于节点另一侧的轴 力；节点两边的弯矩 相等。 相等。
2qa2
FS
2qa
M
36
【 例题 3】 试写出图 】 示半圆弧曲杆的内力 方程。 方程。 解：
R
ϕ
P
t c
FS
∑F
n
=0
N = − P sin ϕ
∑F
∑m
t
= 0 FS = P cos ϕ
P
铰 节 点
刚
P
节 点
21
由刚节点联接成的框架结构称为刚架。 由刚节点联接成的框架结构称为刚架。 刚架
螺 旋 夹 紧 器
22
曲柄轴
23
轴线位于同一平面，且横截面纵向对称轴也在 这个平面内，称为平面刚架。
摇臂钻床
24
平面桁架与刚架的主要区别： 平面桁架与刚架的主要区别：
P
铰 节 点
刚
P
节 点
载荷作用在节点处； 载荷作用在节点处； 作用在节点处 铰节点两边可相互转 铰节点两边可相互转 不能传递弯矩； 动，不能传递弯矩； 内力只有轴力 只有轴力N； 内力只有轴力 ； 变形只有拉伸或压缩 变形只有拉伸或压缩 变形。 变形。
4
dF S =q dx
dM = FS dx
d 2M dF S = =q 2 dx dx
【推论】： 推论】
1、q > 0 段（向上）， FS图递增 ； 、 向上）， q < 0 段（向下） ， FS图递减 。 向下） FS > 0 段，M图递增 ； FS < 0 段，M图递减 。 图递增 图递减 2、q > 0 段，M图向下凸 ∪ ； 、 图向下凸 q < 0 段，M图向上凸 ∩ 。 图向上凸 3、q = 0 处， FS图有极值点， M图有拐点。 图有极值点， 图有拐点 图有拐点。 、 FS = 0 处，M图有极值点。 图有极值点。 图有极值点 4、q = 0 段， FS为平行于轴线的直线，M为斜直线。 为平行于轴线的直线， 为斜直线 为斜直线。 、 5、q =const.段， FS图为斜直线，M图为二次抛物线。 图为斜直线， 图为二次抛物线 图为二次抛物线。 、 段
FS
−
ql
2
8
ql 2
M
+
14
【例题 7】 试作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。 】 试作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。 P1 = 2kN q = 1kN/m
A C
m = 10kNm
P2 = 2kN
D
B
E
4m RA
4m
4m RB
3m
解： 1、求支反力 、
RA = 7kN
2、作FS、 M图 、 图
RB = 5kN
FS
+
−
qa
二次抛物线
MA
2a
+
qa (极值点 极值点) 极值点
C B
2
−
a
D
a
qa
2
20
§8. 6 平面刚架和曲杆 的内力及内力图
某些机器的机身，如压力机框架、轧钢机机架等， 某些机器的机身，如压力机框架、轧钢机机架等， 是由几根直杆组成的，而组成机架的各部分在其连接 是由几根直杆组成的，而组成机架的各部分在其连接 处的夹角不能改变，即在联接处各部分不能相对转动。 处的夹角不能改变，即在联接处各部分不能相对转动。 这种联接称为刚节点 刚节点。 这种联接称为刚节点。
n
N M
c
=0
M = PR sin ϕ
平面曲杆的内力符号规定： 平面曲杆的内力符号规定： 拉力为正， 轴力Ｎ：拉力为正，压力为负 剪力FS：绕研究对象顺时针转为正 弯矩Ｍ：使轴线曲率增加的弯矩为正
ϕ
P
37
【例题 4】试作图 】 示四分之一圆弧曲 杆的弯矩图。 杆的弯矩图。
载荷作用在任意处； 载荷作用在任意处； 作用在任意处 刚节点两边不能相互转 刚节点两边不能相互转 可传递弯矩； 动，可传递弯矩； 内力一般有轴力 一般有轴力N、 内力一般有轴力 、剪 和弯矩M； 力FS和弯矩 ； 变形以弯曲变形为主 以弯曲变形为主。 变形以弯曲变形为主。
25
曲杆
还有些构件，如吊钩、 链环、拱等，其轴线为平 面曲线且横截面纵向对称 轴在这个平面内，称为平 面曲杆。对静定曲杆，可 用截面法求出横截面上的 内力。
注：向上的分布载荷图面积为正。 向上的分布载荷图面积为正。
FS 2 = FS 1 + ω q M 2 = M 1 + ω FS
q(x)
x1
ωq
M2 x2
FS1 FS1
ωQ
+ +
FS2 FS2
FS
M1
M2
12
M
三．利用微积分关系直接作FS、 M 图 利用微积分关系直接作 q
【例题 6】 试作图 】 示简支梁的剪力图 和弯矩图。 和弯矩图。 解： 1、求支反力 、 A
a
N2 M2 FS2
x2
C 2qa
1
2a
1
q
x1
A
N1 FS1
2qa 2qa 2qa
M1
N 1 = 2qa FS1 = 2qa − qx1 qx M 1 = 2qax1 − 2
2 1
q
A
x1
2qa 2qa
N
N图 图
33
B
2 2
x2
C 2qa
N2 = 0 FS 2 = − 2qa M 2 = 2qax 2
RB = 14.5kN
17
RA = 3.5kN
RB = 14.5kN
FS ⊕ -
⊕
⊕ 18
【例题 9】 已知梁的弯矩图如图所示， 试作载荷 】 已知梁的弯矩图如图所示， 图和剪力图。 图和剪力图。
二次抛物线
qa （极值点） 极值点）
2
M
2a
+
−
a
a
qa
2
19
q/2
qa 2
qa
qa
2
qa qa
qa
5
q、 FS、 M 间 的 微 分 关 系 图
dF S =q dx
dM = FS dx
d 2M dF S = =q 2 dx dx
6
【例题 5】 根据弯矩、剪力和载荷集度间的导数 】 根据弯矩、 关系，改正图中所示F 图和M图的错误 图的错误。 关系，改正图中所示 S图和 图的错误。
FS
FS
7
A
D
P
A
a
P
B
Pa
P
N
2 Pa
FS
P
Pa
Pa
M
29
内力的符号规定： 内力的符号规定：
轴 力 Ｎ ： 拉 力 为 正 ， 压力为负。 压力为负。 A 剪 力 FS ： 绕 研 究 对 象 顺 时 针转为正。 针转为正。 弯矩Ｍ：不规定符号，但 Ｍ 图必须画在受压的一侧 （ 弯 图必须画在受压的一侧（ 曲变形凹入的一侧） 曲变形凹入的一侧）。 ＊轴力图和剪力图可画在任一 边。
x1
q(x)
M2 FS1
x2
FS2
即： dF S = qdx
dM = F S dx
将该二式在区间（ 将该二式在区间（x1， x2）上积分
10
q 、 FS 、 M 间的积分关系
得：
q(x)
M1 FS1 FS1 x1
ωq
M2 x2
∫ ∫