专训1 用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题

专训一元二次方程的解法归类
名师点金：
反比例函数的比例系数具有一定的几何意义，等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数的几何意义解决问题．
反比例函数的比例系数与面积的关系
．如图，，是函数＝
的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，记△的面积为，△的面积为，则( )
(第题)
．＞．＜
．＝．和的大小关系不能确定
．【·宜宾】如图，一次函数＝＋的图象与反比例函数＝
的图象交于点(－，＋)，(，－)两点．
()求一次函数与反比例函数的解析式；
()求△的面积．
(第题)
．如图，函数＝－与函数＝－
的图象相交于，两点，过，两点分别作轴的垂线，垂足分别为点，，求四边形的面积．
(第题)
已知面积求反比例函数解析式
已知三角形面积求函数解析式
．【·绵阳】如图，直线＝＋(＜)与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数＝(＞)在第一象限的图象交于，两点，点为坐标原点，△的面积为，点的横坐标为.
()求反比例函数的解析式；
()如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．
(第题)
已知四边形面积求函数解析式
．如图，矩形的顶点是函数＝－－(＋)的图象与函数＝
在第二象限的图象的交点，，两点在坐标轴上，且矩形的面积为.
()求两函数的解析式；
()求两函数图象的交点，的坐标；
()若点是轴上一动点，且△＝，求点的坐标．
(第题)
已知反比例函数解析式求图形的面积
利用函数解析式求面积
．【中考·安徽】如图，已知反比例函数＝与一次函数＝＋的图象交于(，)，(－，)．()求，，的值；
()求△的面积；
()若(，)，(，)是反比例函数＝
的图象上的两点，且<，<，指出点，各位于哪个象限，并简要说明理由．
(第题)
利用对称性求面积
．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析式分别为＝－，＝.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？
(第题)
利用点的坐标及面积公式求面积
．【·菏泽】如图，一次函数＝＋与反比例函数＝
的图象在第一象限交于，两点，点的坐标为(，)，连接，，过作⊥轴，垂足为，交于，若＝.
()求一次函数和反比例函数的表达式；
()求△的面积．
(第题)
答案
．
．解：()将点(－，＋)的坐标代入反比例函数＝得，
＝＋，解得＝－.
∴＋＝－＋＝，∴点的坐标为(－，)，
反比例函数解析式为＝－.
将点(，－)的坐标代入＝－，得－＝－，
解得＝，∴点的坐标为(，－)．
将点(－，)，(，－)的坐标代入＝＋，得
解得
∴一次函数解析式为＝－－.
()如图，设与轴相交于点.
(第题)
令－－＝，解得＝－，
∴点的坐标为(－，)，∴＝.
∴△＝△＋△＝××＋××＝＋＝.
．解：由题意，易得出△＝△＝
×－＝.因为＝，＝(易求得)，所以△＝△＝△＝△＝.所以四边形的面积为△＋△＋△＋△＝×＝.
．解：()对于直线＝＋(<)，当＝时，＝，当＝时，＝－，∴点的坐标为，点的坐标为(，)．∴＝－，＝.
∴△＝·＝××＝，解得＝－.
∴直线对应的函数解析式为＝－＋.
∵当＝时，＝－＋＝，∴点的坐标为(，)．
∴＝×＝.∴反比例函数的解析式为＝.
()由得
∴点的坐标为(，)．
当＝时，反比例函数图象上的点为(，)，直线上的点为(，)，此时可得整点为(，)；
当＝时，反比例函数图象上的点为(，)，直线上的点为(，)，此时可得整点为(，)；
当＝时，反比例函数图象上的点为，直线上的点为(，)，此时可得整点为(，)；
当＝时，反比例函数图象上的点为，直线上的点为(，)，此时，不存在整点．
综上所述，符合条件的整点有(，)，(，)，(，)．
．解：()由图象知＜，由已知条件得＝，∴＝－.
∴反比例函数的解析式为＝－，
一次函数的解析式为＝－＋.
()由解得
∴点，的坐标分别为(－，)，(，－)．
()设点的坐标为(，)，直线＝－＋与轴的交点为，则的坐标为(，)．
∵△＝△＋△＝××(－＋)＝，
∴＝，即－＝.∴＝或＝－.
∴点的坐标为或.
点拨：依据图象及已知条件求的值是解本题的关键，只有求出的值，才能通过解方程组求，两点的坐标，然后才能解决第()问．
．解：()把(，)的坐标代入＝，得＝.
把(－，)的坐标代入＝，得＝－.
把(，)，(－，－)的坐标代入＝＋，
可得＝，＝.
()设直线与轴的交点为，
当＝时，＋＝，解得＝－.∴(－，)．
∴△＝△＋△＝××＋××＝.
()点在第三象限，点在第一象限．
理由：∵(，)，(，)在反比例函数＝的图象上，
∴当(，)，(，)在同一象限时，<，则>.
∵<，<，
∴(，)，(，)不在同一个象限．
∴点在第三象限，点在第一象限．
．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形分成四个全等的小矩形．因为点为＝的图象上的一点，所以矩形＝.所以矩形＝×＝.所以总费用为×＝(元)．
答：所需钢条一共花元．
．解：()如图，过点作⊥轴，垂足为，交于.
∵点(，)在反比例函数＝的图象上，
∴＝×＝，∴反比例函数的表达式为＝.
∵(，)，∴＝.∵⊥轴，＝，
∴＝＝，∴＝，∴点的纵坐标为.
∵点在反比例函数＝的图象上，
∴点的横坐标为，∴.
将，(，)的坐标代入＝＋，得
解得∴一次函数的表达式为＝－＋.
()设与交于点.
∵(，)，∴直线的解析式为＝.
∴.又∵，∴＝－＝.
∴△＝△＋△＝××＝.
(第题)。