第三节 向量的乘法运算

2 2
[ AB AC AD ]
4
3 3 9 6 5 4 16
VABCD 1
计算[(a b ) (b c )] ( c a ) . 解 [(a b ) (b c )] (c a ) [a b a c b b b c )] (c a ) (a b ) c (a c ) c 0 c (b c ) c
右手系.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
( 0 sin 0) (1) a a 0. ( 2) a // b a b 0. (a 0, b 0)
证 ( ) a b 0, | a | 0,
启示： 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义 设 a 、b为向量， (a , b ) 则称数量 | a || b | cos 为向量 a 与 b 的数量积. 记为 a b ，即 a b | a || b | cos .
证 ( ) a b 0, | a | 0, | b | 0, a b . cos 0, , 2 ( ) ab , , cos 0, 2 a b | a || b | cos 0.
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
(a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k
由上式可推出
a x a y az a // b bx b y bz
例 已知空间内不在一平面上的四点 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ) 、C ( x3 , y3 , z3 ) 、D( x4 , y4 , z4 ) , 求以 A,
B, C, D 为顶点的四面体 ABCD 的体积.
1 V [ AB AC AD] 6
1 V x3 x1 6 x4 x1
a b 0 ab .
设 a a x i a y j az k , b bx i b y j bz k a b (a x i a y j az k ) (bx i by j bz k ) i j k , i j j k k i 0, | i || j || k | 1, i i j j k k 1. a b a x bx a y b y a z bz
（4）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
关于两向量垂直的说明： 设向量 a 与 b 的夹角 ， 则称向量 a 与 b 2 正交（或垂直）， 记为 a b . ( a , 0 a .) 定理
解 设 x a , 则 a x (a a ) 9
又已知 a x 9， 1, x a ( 2,1,2).
二、向量的向量积
引例 设O 为一根杠杆L 的支点，有一力 作用 F F OP 的夹角为 ，力 于这杠杆上 P 点处．力 与 F 对支点O 的力矩是一向量 M ，它的模
邻边的平行四边形的面积.
a
c ab
b
2.a b的方向与一切既平行于a又平行于b的平面 相垂直.
例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3), B(3,4,5),C(2,4,7),求三角形ABC的面积.
例3 设 a (2， 3，，b (1, 2,3)，c (1, 2, 7)， 1) 已知向量垂直于 a 和 b ，且 c＝10，求 .
数量积的坐标表达式
ab a b | a || b | cos cos , | a || b |
cos
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
2 2
2
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
| b | 0, sin 0, 0, a // b 0或 ( ) a // b sin 0 | a b || a || b | sin 0.
向量积符合下列运算规律：
（1） a b b a . （2）分配律： (a b ) c a c b c . （3）若 为数： (a ) b a (b ) (a b ).
bx 、b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
a x a y az 例如， a x 0, a y 0 0 0 bz
例 设a (2,1,-1)， (1,-1, 2), 求a b. 1 b
向量积的几何意义：
表示以 和 为 1、| a b | a b
ab a x bx a y b y a z bz 0
并且有 a b a c， 例3 设 a 0 , b 0 , 且 c 0 ， 问是否有 b c？
例4 设a 2i j 2k , 向量 x 与 a 共线， 且 a x 9, 求向量 x 的坐标.
F

O
P Q
| M || OQ || F | L | OP || F | sin M 的方向垂直于OP 与 所决 F
定的平面, 指向符合右手系.
定义 向量a 与b 的向量积为 c a b a | c || a || b | sin (其中 为 与b 的夹角) b c 的方向既垂直于 ，又垂直于 ，指向符合 a
x2 x1
y2 y1 y3 y1 y4 y1
z2 z1 z3 z1 z4 z1
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
例1
已知空间内不在一平面上的四点
A(1,2,1) 、B( 3,4,5) 、C (4,5,10 )、D(6,6,17 ) , 求以
A, B, C, D 为顶点的四面体 ABCD 的体积.
第三节 向量的乘法运算
一、向量的数量积
二、向量的向量积
三、向量的混合积 四、小结
一、两向量的数量积
引例： F 一物体在常力 作用下沿直线从点M 1 移动 F 到点 M 2 ，以 表示位移，则力 所作的功为 s
W | F || s | cos
s (其中 为F 与 的夹角)
设 a a x i a y j az k , b bx i b y j bz k a b (a x i a y j az k ) (bx i by j bz k ) i i j j k k 0, i j k, j k i , k i j, j i k , k j i , i k j . (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k
依题意知m n 与p 同向， ( m n, p) 0 ( m n) p | m n | | p | cos 8 3 24.
三、向量的混合积
定义 设已知三个向量 、 、 ，数量(a b ) c a b c [ 称为这三个向量的混合积，记为 ab c ] . 设 a a x i a y j az k , b bx i by j bz k , c c x i c y j cz k , a x a y az [a b c ] (a b ) c bx b y bz
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB 、
AC 、 AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一.
1 V [ AB AC AD] 6 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) ( 2 , 2 , 4) ,
AC ( 3, 3, 9), AD (5, 4, 16 ),
例 4 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则， 且| m | 4，| n | 2，| p | 3 ，计算( m n) p .
解 | m n || m || n | sin(m , n)
4 2 1 8,
数量积也称为“点积”、“内积”. a 注意： b 中的“.”不能省.
b

a b | a || b | cos
a
| b | cos 叫做向量 b 在 a 上的投影，记作 Prja b , a , | a | cos 叫做向量a 在 b 上的投影，记作 b Prj a b | b | Prjb a | a | Prja b .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
数量积符合下列运算规律：
2 (1) a a | a | . 2 证 0, a a | a || a | cos | a | . （2）交换律：a b b a; ( （3）分配律： a b ) c a c b c ;
c x c y cz
混合积的坐标表Βιβλιοθήκη 式关于混合积的说明：（1）向量混合积的几何意义：
向量的混合积 [a b c ] ( a b ) c 是这样 a b c 的一个数，它的绝对值 b c a、 、 为 表示以向量 a b 棱的平行六面体的体积. (2) [a b c ] (a b ) c (b c ) a (c a ) b . b c （3）三向量a 、 、 共面 [a b c ] 0.