人教A版数学选修4高二下学期期末考试数学(理)试题 (4).docx

马鸣风萧萧
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2015-2016学年度下学期期末考试
高二数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：卢永娜
卷Ⅰ
一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，则把极坐标
)3
2,
2(π
化为平面直角坐标为 （A ）)3,1(- (B) )1,3(- (C) )3,1(- (D) )1,3(-
2. 已知121i
i a bi +=-+（i 为虚数单位，,a b R ∈）
，则||a bi += (A)
1322i + (B)1 (C)2 (D)102
3. 已知某工厂生产的一种零件内径尺寸服从正态分布)1.0,5.22(2
N ，则该零件尺寸大于5.22的概率为
（A ）01.0 （B ）1.0 （C ）5.0 （D ）9.0
4. 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数
5.3,3==y x ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
（A ）3.24.0ˆ+=x y
（B ）5.22ˆ-=x y （C ）5.92ˆ+-=x y （D ）4.44.0ˆ+-=x y 5. 根据气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，则甲地为雨天时乙地也为雨天的概率为
马鸣风萧萧
（A ） 12.0 (B) 60.0 (C) 67.0 (D) 90.0
6. 已知曲线()⎩⎨
⎧≤≤==πθθθ
θ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，
原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π
，则点P 坐标是
（A ）)4,3( （B ）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22223， （C ） )3,4( （D ）⎪⎭⎫
⎝⎛512512， 7．在一组样本数据n n n x x x n y x y x y x ,,,,2)(,(,),,(),,(212211⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点),,2,1)(,(n i y x i i ⋅⋅⋅=都在直线1+=x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A ）1- （B ）0 （C ）2
1
（D ）1 8．给出以下四个类比：
①已知,a b 为实数，若22
a b =，则a b =±可以类比为：已知12,z z 为虚数，若2212z z =，则
12z z =±；
②已知,a b 为实数，若0a b ->，则a b >可以类比为：已知12,z z 为虚数，若120z z ->，则
12z z >；
③已知,a b 为实数，若||||a b =，则a b =±可以类比为：已知12,z z 为虚数，若12||||z z =，则
12z z =±. 其中类比结论正确的个数为
（A ）0 （B ）1
（C ）2
（D ） 3
9. 将5个人（含甲、乙）分成三个组，一组1人，另两组各2人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则p a ,的值分别为 （A ）101,30=
=p a (B)51,30==p a (C)101,15==p a (D)5
1,15==p a 10. 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p ，则
（A ）1p =2p （B ）1p <2p （C ）1p >2p （D ）以上三种情况都有可能 11. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0 1 2 3 4 5 6 7 十进制
0 1 2 3
4
5
6
7
马鸣风萧萧
十六进制 8 9 A B C D E F 十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示1E D B +=，则=⨯B A （A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）80
12. 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是
（A ）(,1)
(0,1)-∞- （B ）(1,0)(1,)-+∞ （C ）(,1)(1,0)-∞-- （D ）(0,1)(1,)+∞
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 已知某离散型随机变量X 的分布列如右表格，则=m ．
14. 甲、乙两名同学互不影响地在同一位置投球，每次命中率分别为
21与31
.若甲、乙两人各投球1次，则恰有一人投中的概率为 . 15. 10
1()2x x
-的展开式中，4x 项的系数为 （用数字作答）
． 16. 在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=（0ρ>）的公共点到极点的距离为__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=t y t
x 2
2222
1（t 为参数,R t ∈）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 4=．
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为)2,1(，求||||PB PA +．
18.(本小题满分12分)
三名男生和两名女生按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（用数字作答）
X 1 2 3
P
61 4
1 m
马鸣风萧萧
（Ⅰ）两名女生相邻；
（Ⅱ）女生不能站在两端；
（Ⅲ）女生从左到右由高到矮排；
（Ⅳ）女生甲不排在左端且女生乙不排在右端． 19．（本小题满分12分）
某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
女性用户： 分值区间
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 20
40
80
50
10
男性用户 分值区间
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数 45 75 90 60 30 （Ⅰ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22⨯列联表，并回答是否有%95的把握认为性别和对手机的“认可”有关；
女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 “不认可”手机
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
20．(本小题满分12分)
已知c b a ,,是互不相等的非零实数，函数cx bx x a x f ++=
233)(，ax cx x b
x g ++=233
)(，bx ax x c x h ++=
23
3
)(.利用反证法证明:)(),(),(x h x g x f 这三个函数中，至少有一个函数存在极值.
21. (本小题满分12分)
()2P k χ≥
0.05 0.01 k
3.841 6.635
()2
1122122121+2++1+2
-=
n n n n n n n n n χ
马鸣风萧萧
已知射手甲射击一次，击中目标的概率是
23
． （Ⅰ）若甲射击5次，其击中目标的次数记为X ，求X 的期望和方差；
（Ⅱ）假设甲连续2次未击中．．．目标，或者射击次数达到五次，则中止其射击．甲停止射击时已经射击的次数记为Y ，求Y 的分布列． 22. (本小题满分12分) （Ⅰ）求证：x x 11ln -
≥ ；（Ⅱ）利用数学归纳法证明：111
ln(1)231
n n +>++⋅⋅⋅++（+∈N n ）．
马鸣风萧萧
2015-2016学年度下学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案
一．选择题
ADCCB DDBDB AB 二．填空题 13．
127 14．2
1
15．15- 16．251+
17. 解：（Ⅰ）θρsin 4=可以化为θρρsin 42
=，即042
2
=-+y y x ,圆心为)2,0(，半径为2. (4)
分
（Ⅱ）直线l 过点P ，且P 在圆C 内，所以||||||AB PB PA =+.
（法一）⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=t y t
x 2
2222
1化为直角坐标方程为01=+-y x ，圆心)2,0(到直线l 的距离为 2
2
2
|
120|=
+-，所以14)22(22||22=-=AB .………………………………10分
(法二) ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=t y t
x 2
2222
1带入0422=-+y y x 中，可得0322=--t t ，设该方程两个根为21,t t ，则141
12
2||||21=+=
-=t t AB . ………………………………10分
18.
（Ⅰ）484
422=⋅A A 种 ……………………………………3分
（Ⅱ）363
323=⋅A A 种 ……………………………………6分
（Ⅲ）603
522
55==A A A 种 ……………………………………9分
马鸣风萧萧
（Ⅳ）7823
34455=+-A A A 种 (2)
19． （Ⅰ）22⨯列联表如下图：
女性用户 男性用户 合计 “认可”手机
140
180
320
“不认可”手机
60 120
180
合计
200
300 500
……………………………………3分
2
2
500(14012018060) 5.208 3.841200300320180
χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有%95的把握认为性别和对手机的
“认可”有关. ……………………………………6分 （Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，
12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====；32423
641
(3)205
C C P X C ====. ……………………………………9分
所以X 的分布列为
X 1 2 3 P
1
5
35
15
4326EX =⨯=或163
2555
EX =++=. ………………………………12分
20.解：c bx ax x f ++=2)('2，a cx bx x g ++=2)('2，b ax cx x h ++=2)('2
.
假设)(),(),(x h x g x f 这三个函数都不存在极值， ………………………………2分
则这三个函数的导函数都不存在变号零点，
即：,044,044,0442
32221≤-=∆≤-=∆≤-=∆bc a ab c ac b (6)
分
马鸣风萧萧
所以,04444442
22321≤-+-+-=∆+∆+∆bc a ab c ac b (8)
分
即,0)()()(2
2
2
≤-+-+-c a c b b a 与c b a ,,是互不相等的非零实数矛盾.
所以假设不成立，所以)(),(),(x h x g x f 这三个函数中，至少有一个函数存在极值. ………………………………12分
21.解：（Ⅰ）甲射击5次，是独立重复试验，所以)3
2
,5(~B X ，
所以9
10
31325,310325=
⨯⨯==⨯=DX EX . ………………………………4分
（Ⅱ）Y 的取值为5,4,3,2
913131)2(=⨯==Y P ，272313132)3(=
⨯⨯==Y P ，27
2
313132)3231()4(=⨯⨯⨯+==Y P ， 27
20)4()3()2(1)5(==-=-=-==Y P Y P Y P Y P . 所以Y 的分布列的分布列为：
Y 2 3 4
5 P
91 272 272 27
20 ………………………………12分
22. 证明：（Ⅰ）设11ln )(-+
=x x x f ，则221
11)('x
x x x x f -=-=. 所以当1>x 时，0)('>x f ，)(x f 为增函数；当10<<x 时，0)('<x f ，)(x f 为减函数； 所以0)1()(m in ==f x f ，所以x
x 1
1ln -≥. ………………………………4分
（Ⅱ）(1)当1=n 时，不等式左边为2ln ，右边为
e ln 2
1
=，显然e ln 2ln >，所以左>右； ………………………………6分
（2）假设k n =（+∈N k ）时，有1
13121)1ln(++⋅⋅⋅++>+k k ，…………………………7分
现欲证2
1
113121)2ln(++++⋅⋅⋅++>
+k k k ，
马鸣风萧萧
只需证明2
1
)2ln()1ln(+-
+<+k k k ，只需证明1
21121121)12ln(++-=++-=+>++k k k k k k k ，
由（Ⅰ）可得1≠x 时，恒有x x 11ln -
>，因为11
2
≠++k k ，所以1
211)12ln(
++->++k k k k 成立. ………………………………11分
所以111
113121)2ln()11ln(+++
++⋅⋅⋅++>+=++k k k k 综合（1），（2）可得111
ln(1)231
n n +>++⋅⋅⋅++（+∈N n ）成立． (12)
分。