一个基本方法三年高考压轴题

本文发表于《中学数学教学》2004年12月第6期
一个基本方法、三年高考压轴题
刘祖希（苏州市第一中学 215006）
数列求和问题一直是高考的热点问题，并常与函数、不等式知识进行交汇，表现形式有两种：一是求和的精确值；二是求和的近似值（估计和式的上、下界）. 2002年全国高考、2003年全国春季高考（安徽卷）、2004年全国高考（西部地区使用）都以数列求和估计作为压轴题，引人注目.而“用无穷递缩等比数列所有项的和估计部分和” 就是破解这三道题的一个基本方法.
设无穷递缩等比数列{}n a 首项1a ()10a >，公比q ()01q <<，则其部分和n S <所有项的和11a S q =-. 再设数列{}n b 满足：n n b a ≤，则数列{}n b 的部分和n n S S '≤<11a S q
=
-. 例1 （2002年全国高考题）
设数列{}n a 满足211n n n a a n a +=-⋅+，1,2,3,n = (I)当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；
(II)当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，有
(i)2n a n ≥+； (ii)1211111112
n a a a +++≤+++ . 本题(II)(ii)问是求和估计，只证这一问.
证明：由(i)，2n a n ≥+
∴()()2
1122221n n n n n n a a n a a n n a a ++=-⋅+≥+-⋅+=+， ∴()()()2211112121212n n n n n a a a a ++-+≥+≥+≥≥+≥ ， ∴1
1112i i a +≤+，1,2,3,i = ，对i 求和，得 12111111n a a a ++++++ 231111222n +≤+++ 231111222n +≤++++ 21
121212
==-. ∴1211111112
n a a a +++≤+++ ，当且仅当1n =取等号. 说明：本题关键是寻找
11112n n a +≤+，归结为无穷递缩等比数列112n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的和的问题.
例2 （2003年安徽春季高考题）
设,αβ为2
10x x --=的根，且αβ>，令n n n c αβ=-()n N ∈， (I)求123,,c c c ；
(II)证明：2122121
111n n n n
c c αα--+>+； (III)证明：11n k k c α=<∑.
本题(III)问是求和估计，只证这一问.
证明：由(II)及210αα--=，
11n
k k c =∑11k k c ∞=<∑ 121211k k k c c ∞
=-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑（奇数项、偶数项分开求和） 212111k k k α
α∞-=⎛⎫<+ ⎪⎝⎭∑ 211k k αα∞
=+=∑ ()2
211ααα
--=+- 11
αα==-. 说明：本题关键是利用
2122121111n n n n c c αα--+>+得到11n k k
c =∑211k k αα∞=+<∑，后者即为一个无穷递缩等比数列的所有项的和.
例3 （2004年全国高考题，供西部地区使用）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n
(I) 写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；
(II)求数列{}n a 的通项公式；
(III)证明：对任意的整数4>m ，有8
711154<+++m a a a . 本题(III)问是求和估计，只证这一问.
证明(III)：由(II)所得通项公式()()1222113n n n a n --⎡⎤=
+-≥⎣
⎦，得42a =. 当3n ≥且n 为奇数时， 2111131122121n n n n a a --+⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭12
231232222221n n n n n -----⎛⎫+= ⎪+--⎝⎭ 122332222n n n ---⎛⎫+< ⎪⎝⎭21311222n n --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
(*)， ∴对任意的整数4>m ，有
45111m a a a +++ 5411k k
a a ∞=<+∑ 4567811111a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（偶数项、奇数项配对） 345613113112222222⎛⎫⎛⎫<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3456131111222222⎛⎫=
+++++ ⎪⎝⎭ 31311712228
12
=+⨯⨯=-. 说明：
①本题与上述2003年安徽春季高考题（例1-2）极为相似，可视之为原型； ④若讨论“当3n ≥且n 为偶数”情形，可得：
2111131122121n n n n a a --+⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭12
231232222221n n n n n -----⎛⎫+= ⎪-+-⎝⎭122332222n n n ---⎛⎫+> ⎪⎝⎭21311222n n --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. 可以依此估计
45111m a a a +++ 的下界，读者不妨一试.。