高考微点十五 导数及其应用

高考微点十五导数及其应用
牢记概念公式，避免卡壳
1.几个常用的基本初等函数的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.
(2)(ln x)′＝1
x(x>0)，
(log a x)′＝
1
x ln a(x>0，a>0，且a≠1).
(3)(e x)′＝e x，(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
3.导数与极值、最值
(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值.
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.
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1.利用导数研究函数单调性的相关结论
(1)在区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在该区间上的单调性.
(2)如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数.
2.关于极值、最值的三个结论
(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0就不是极值点，但f′(0)＝0.
(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值.
(3)函数的最值是由极值与端点值比较大小确定的，但开区间上函数的唯一极值就是函数的最值.
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1.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为( )
A.0
B.π6
C.π
3
D.π2
解析 令f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得x ＝π
6，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，π2上单调递减，
所以当x ＝π6时，f (x )取到最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6.
答案 B
2.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1e B.2e －1e C.e －12e
D.2e －12e
解析 ∵y ′＝a e x ＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1
e . 答案 B
3.设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1 C.(1，＋∞)
D.(0，＋∞)
解析 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·
1
x －2x ＋2＝(4x －2)·ln x .
由f ′(x )<0，可得(4x －2)·ln x <0， 所以⎩⎨⎧4x －2>0，ln x <0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，得12<x <1，
故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1.
答案 B
4.已知直线y ＝2x ＋b 与函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2
，x ≤0，
ln x ＋a ，x >0
的图象相切，且有两个不同的切
点，则实数a 的值为( ) A.ln 2 B.2 C.2－ln 2
D.2＋ln 2
解析 由题意知，直线y ＝2x ＋b 与函数f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上的两段图象分别相切.由于直线y ＝2x ＋b 与曲线y ＝－x 2相切，(－x 2)′＝－2x ，令－2x ＝2得x ＝－1，故直线y ＝2x ＋b 与曲线y ＝－x 2的切点坐标为(－1，－1)，由－1＝2×(－1)＋b 得b ＝1. 设直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝ln x ＋a 的切点为B (x 0，y 0)，则 1
x 0＝2，
所以x 0＝12，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，a －ln 2.因为点B 在直线y ＝2x ＋1上，所以a －
ln 2＝2×1
2＋1，即a ＝2＋ln 2. 答案 D
5.已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )
解析 f (x )＝x 24＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋x ＝x
2
4＋cos x .
所以f ′(x )＝x
2－sin x 是奇函数，排除B ，D. 令h (x )＝x 2－sin x ，得h ′(x )＝1
2－cos x ； 当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3，π3时，cos x >12，所以h ′(x )<0，
故函数y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3，π3上是减函数，A 项正确.
答案 A
6.已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0恒成立.若a ＝3f (3)，b ＝f (1)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >c >b B.c >b >a C.c >a >b
D.a >b >c
解析 设函数F (x )＝xf (x )，则F (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0.
所以F (x )在 (－∞，0)上是减函数，从而F (x )在(0，＋∞)上是增函数. 由条件知a ＝F (3)，b ＝F (1)，c ＝F (－2)＝F (2)， 因此F (3)>F (2)>F (1).即a >c >b . 答案 A
7.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1 B.－2e －3 C.5e －3
D.1
解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，
则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，
所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A
8.曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.
解析 y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3. 答案 －3
9.已知函数f (x )＝－1
2x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.
解析 f ′(x )＝－x ＋4－3
x ＝－（x －1）（x －3）x ，
由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3， 若f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调， 只需1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1). 因此⎩⎪⎨⎪⎧t <1，t ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧t <3，t ＋1>3，
解之得0<t <1或2<t <3. 答案 (0，1)∪(2，3)
10.已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，函数g (x )＝ln x ，若在区间[1，2]上f (x )的图象恒在g (x )的图象的上方(没有公共点)，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知，3a <x 2－ln x
x 在[1，2]上恒成立， 记h (x )＝x 2－ln x
x ，x ∈[1，2]，
则h ′(x )＝2x 3＋ln x －1x 2
，又2x 3
－1≥0，ln x ≥0， ∴h ′(x )≥0，∴h (x )在[1，2]上单调递增，
∴h (x )min ＝h (1)＝1，∴3a <1，即a <1
3. 答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，13
11.已知函数f (x )＝x －2ln x －a
x ＋1，g (x )＝e x (2ln x －x ). (1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求g (x )的最大值.
解 (1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋a
x 2. 由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0， 即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0).
因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1，＋∞). (2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －1＋2ln x －x
＝－e x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －2ln x －2x ＋1， 由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2
x ＋1， 且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，
所以，当x ∈(0，1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.
故当x ＝1时，g (x )取得极大值也是最大值－e.
12.已知函数f (x )＝x －1＋a
e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝
f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值.
解(1)由f(x)＝x－1＋a
e x，得f′(x)＝1－
a
e x.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴.
因此，得f′(1)＝0，即1－a
e＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－a
e x，
①当a≤0时，f′(x)>0，
f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
13.已知函数f(x)＝a e x－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥1
e时，f(x)≥0.
(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a e x－1 x.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝
1 2e2.
从而f(x)＝
1
2e2e
x－ln x－1，
f′(x)＝
1
2e2e
x－1
x.
当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.
所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. (2)证明 当a ≥1e 时，f (x )≥e x
e －ln x －1(x >0). 设g (x )＝e x e －ln x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x e －1
x (x >0). 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点. 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1
e 时，
f (x )≥0.
14.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；
(2)当0<－1
a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋1
2是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－x
x (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).
(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1
a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1
a <x <e. 从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1a ，e ，
所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1a ＝－3.
解得a ＝－e 2.
(3)由(1)知当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，所以|f(x)|≥1.
令g(x)＝ln x
x＋
1
2，则g′(x)＝
1－ln x
x2.
当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0.
从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
所以g(x)max＝g(e)＝1
e＋
1
2<1，
所以，|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>ln x
x＋
1
2，
所以，方程|f(x)|＝ln x
x＋
1
2没有实数根.。