高中数学人教版A版必修一第一单元1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值 - 原卷版

第2课时 函数的最大值、最小值
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)．
预习教材
P30，完成下面问题：
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对
于任意的x ∈I ，都有
f (x )≤M
f (x )≥M 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
结论
称M 是函数y ＝f (x )的最大值 称M 是函数y ＝f (x )的最小值 几何
意义 f (x )图象上最高点的纵坐标
f (x )图象上最低点的纵坐标 (1)任何函数f (x )都有最大值和最小值．( )
(2)若存在实数m ，使f (x )≥m ，则m 是函数f (x )的最小值．( )
(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小值是f (a )，最大值是f (b )．( )
题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值
【例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2，－1≤x ≤1，1x
，x >1.则f (x )的最大值、最小值分别为________，________.
(2)求函数f (x )＝x x －1
在区间[2,5]上的最大值与最小值．
规律方法1.图象法求最值的步骤
2．利用函数的单调性求最值的两个易错点
(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．
(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值．
【训练1】 已知函数f (x )＝x ＋1x
. (1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值．
题型二 函数最值的实际应用
【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投
入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
400x －12x 2(0≤x ≤400)，80 000 (x ＞400).
其中x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f (x )；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
规律方法求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．
【训练2】某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？
【探究1】
(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间．
【探究2】函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？
【探究3】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，
(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；
(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．
规律方法 含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
课堂达标
1．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )
A ．3,5
B ．－3,5
C ．1,5
D ．5，－3
2．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3]的值域为( )
A ．[0,3]
B ．[－1,0]
C ．[－1，＋∞)
D ．[－1,3] 3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．0
4．函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2,4]上的最大值为________．
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x (0≤x ≤2)，2x －1
(x >2)，求函数f (x )的最大值、最小值．
课堂小结
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最
值，如函数y ＝1x
.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得，即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．。