【新】安徽省滁州市定远县民族中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题

定远民族中学2017-2018学年度下学期期末考试卷
高一数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（选择题 60分）
一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）
1.亳州市某校为了解学生数学学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取72人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为24，那么n （）
A. 800
B. 1000
C. 1200
D. 1400
2.如图程序的输出结果为（）
A.（4，3）
B.（7，7）
C.（7，10）
D.（7，11）
3.根据如下样本数据
得到的回归方程为ˆy=ˆb x+ˆa，则（）
A. ˆa>0，ˆb<0
B. ˆa>0，ˆb>0
C. ˆa<0，ˆb<0
D. ˆa<0，ˆb>0
4.某城市2016年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（ ） A.
35 B. 1180 C. 119 D. 59
5.扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为
8
的概率是( )
A.
310 B. 15 C. 25 D. 12
6.如图，该程序运行后输出的结果为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.16
7.一个正项等比数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6
8.在等差数列
中，若
为方程
的两根，则
（ ）
A.10
B.15
C.20
D.40
9.在各项均为正数的等比数列{ }中，若
，数列{ }的
前n 项积为
，若
，则m 的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
10.关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为()1,2-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为（ ）
A. ()2,1-
B. ()(),21,-∞-⋃+∞
C. ()(),12,-∞-⋃+∞
D. ()1,2-
11.已知正项数列{}n a 中， ()222
12111
1
1,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=
+，记数列
{}n b 的前n 项和为n S ，则40S 的值是（ ）
A.
113 B. 10
3
C. 10
D. 11 12.已知点(),P x y 的坐标满足条件4
{ 1
x y y x x +≤≥≥，则22x y +的最大值为（ ）
B. 8
C. 10
D. 16
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

） 13.
，
时，若
，则
的最小值为 ．
14.事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P (
)＝________．
15.已知数列{}n a 与{}n b 满足13n n a a +=， 11n n b b +=-， 613b a ==，若()2136n n a b λ-
>，
对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．
16.已知AOB ∆中， 60AOB ∠=， 2OA =， 5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则A
O C ∆为锐角三角形的概率_________．
三、解答题（本题有6小题，共70分。

）
17. （12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
18. （12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，数列{}n b 为等差数列，且
1233b b b +==.
（1）求n S ；
（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
19. （12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．
（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ⅱ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．
20. （12分）已知数列 是等比数列，首项 ，公比
，其前n 项和为
，
且
，
， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列
满足
，求数列
的前n 项和
．
21. （12分）已知函数()()()2
80f x ax b x a ab a =+---≠，当()3,2x ∈-时，
()0f x >；当()(),32,x ∈-∞-⋃+∞时， ()0f x <．设()()f x g x x
=
．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若不等式()
220x x
g k -⋅≥在[]
1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围．
22. （10分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m /s )的数据如下：
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息；
(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．
参考答案
1.D 【解析】由条件得
722410001200n 1200=++，即31
2200n 1200
=+=
，
得2200+n=3×1200=3600， 得n=3600﹣2200=1400， 故选：D
2.C 【解析】程序在运行过程中各变量的结果如下表示： 第一行 X=4 第二行 Y=3 第三行 X=X+Y=7 第四行 Y=X+Y=10 故程序的输出结果为（7，10）． 故选：C ．
3.A 【解析】画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知b ∧
<0， a ∧
>0.
从散点图可以看出ˆa
>0， ˆb <0选A. 4.A 【解析】
1113
+=10635
+，故选A 。

5.A 【解析】由已知中扇形的半径为1，圆心角90°．点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份可得每
个小扇形的面积为
16π．则图中共有面积为16π的扇形4个，面积为8π的扇形3个，面积为316π的扇形2个，面积为4π的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为
8
π
的概率P=310
． 故选A ．
6.D 【解析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2； ②a=2≤3，b=4，a=2+1=3； ③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；
因为a=4≤3不成立，所以输出b 的数值为16． 故选D ．
由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案． 7.C 【解析】
{}n a 是等差数列， 232n n n n n S S S S S ∴--，， 也成等差数列，
()()32323212n n n n n n n S S S S S S S ==∴-=+-，，， ，解得29n S =
故选C
8.B 【解析】由韦达定理可得： ，
结合等差数列的性质可知： ，
据此可得： . 故答案为：B
9.B 【解析】设等比数列的公比为 ，由题意有： ，
则：
，结合题意可得：
，
等比数列中各项均不为零，据此可得： ，
即数列 是
的常数列，
则：
，
求解指数方程可得： .
故答案为：B
根据等比数列的性质a n+1=a n *q 可得a m =2，q=1，故为常数列，代入前n 项积公式中即可解出m 的值。

10.B 【解析】设()2
2f x ax bx =++， ()0f x > 解集为12-（，） 所以二次函数图像开口向
下，且与x 交点为()()1
0,20-，，，由韦达定理得121{ { ,21
12b
a a
b a
--+=
=-⇒=-⨯=
所以220x x +-> 的解集为{|21}x x x -或 ，故选B.
11.B 【解析】∵()222
1122,n n n a a a n -+=+≥所以数列{}
2n a 为等差数列，且首项为1，公差为3，
则2
3n 2n a =-
，即n a ,
故111
3
n n n b a a +=
=+（
则数列{}n b 的前n 项和为
n S
=13n 3⎤
++⎦（
1， 故401S ==10
3
故选项为：B 12.C 【解析】可行域如图, 22x y +
表示可行域内点到原点距离的平方,所以22x y +
的最大值为2|
|10OA =
,选
C.
13.4
【解析】∵ ，
， ，∴ （当且仅当
即
，
时
取等号）∴ 的最小值为4.
故答案为：4.通过适当变形，利用基本不等式求得所给代数式的最小值.
14.
35 【解析】由题意得()()23155
P A P B +=-=， 又()()2P A P B =，
所以()()21,55
P A P B ==。

所以()()23
1155
P A P A =-=-=。

答案： 3
5
15.1318⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
，【解析】由题意可得3,363n n n a b n n ==+-=-， 满足()2136n n a b λ->时，有： ()()
()3633363183121,3323
n n
n
n
n n n λλ-+--->
∴>
=
+， 其中
()()()
11
1821831872333
n n n n n n +-----=， 故当4n =时，
()
336313
318
n n
n +-=
取得最值， 实数λ的取值范围是1318⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
， 16.0.6【解析】
如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在A O B ∆中， 60AOB ∠=， 2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点 D ，因60AOB ∠=，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时， AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率3
0.65
d P D ===，应填答案0.6。

17.解：(I)由频率分布直方图知，
分数在 的频率为 ，
分数在
的频率为
，
则分数小于70的频率为
，
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为 .
(Ⅱ)由频率分布直方图知，
样本中分数在区间 的人数为
(人)，
已知样本中分数小于40的学生有5人，
所以样本中分数在区间 内的人数为 (人)，
设总体中分数在区间 内的人数为 ，
则
，得
，
所以总体中分数在区间 内的人数为20人.
(Ⅲ)由频率分布直方图知，
分数不小于70的人数为
(人)，
已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为： ，
即女生的频率为：
，
即总体中男生和女生人数的比例约为：
18.（1）112n
n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）()1222n
n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【解析】
（1）因为n S 1n a +=,所以当n=1时，得1S =11
2
a =
当2n ≥时，因为n a = 1n n S S --，代入n S 1n a +=得121n n S S --= 所以()1211,n n S S --=-又1S -1=-1
2
0≠， 即{}1n S -为以-
12为首项， 1
2
为公比的等比数列 所以1
1111222n n
n S -⎛⎫
⎛⎫-=-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
所以112n
n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2）因为n S 1n a +=,所以12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
因为数列{}n b 为等差数列，且1233b b b +==
所以12321326,2,2b b b b b b b ++==+∴=，即公差为1 所以()221n b n n =+-⨯=
所以数列{}n n a b 的前n 项和 23
11111232222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
①
2
3
4
+1
1111112322222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
②
①-②得
()234
1
1
11111111+1222222222n n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++-⋅=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()1222n
n T n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭
19. 【解析】（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2； （Ⅱ）（ⅰ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为
{}{}{}
121314,,,,,A A A A A A ，
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}
1516232425263435364546,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ， {}56,A A ，共15种．
（ⅱ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为
{}{}{}{}15162526,,,,,,,A A A A A A A A ， {}{}{}{}{}3536454656,,,,,,,,,A A A A A A A A A A ，
共9种，所以事件A 发生的概率()93
155
P A ==． 20. 解：
（1）因为 ，
， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为数列 是等比数列，所以
，
又
，所以
，所以数列
的通项公式
（2）由（1）知 ，
，
，
所以
．
故
21.解：（Ⅰ）由题意得3x =-和2x =是函数()f x 的零点且0a ≠， 则()()()()2
2
0?38?3{
0?28?2a b a ab a b a ab
=-+----=+---，
解得3{
5
a b =-=，∴()23318f x x x =--+．
（Ⅱ）由已知可得()18
33g x x x =-+
- 所以()2?
20x
x g k -≥可化为183?23?22
x x x k -+-≥， 化为2
113183?22x x k ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭
， 令12
x t =
，则2
1833k t t ≤--， 因[]
1,1x ∈-，故1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
记()2
1833h t t t =--，
因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()min 102h t h ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， ∴0k ≤．
22. 【解析】（1）由已知画茎叶图，由茎叶图能得到中位数和甲、乙两人的最大速度等信息；（2）由已知求出甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，由乙的最大速度比甲稳定，得
到派乙参加比赛更合适．
试题解析：(1)画茎叶图如右图，可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速度的中位数是33，乙的最大速度的中位数是33. 5，因此从中位数看乙的情况比甲好．
(2) x
甲
()1
273830373531336
=⨯+++++=， x 乙()1
332938342836336
=
⨯+++++=， 所以他们的最大速度的平均数相同，再看方差()()22
2
1476263
s ⎡⎤=
⨯-+⋅⋅⋅-=⎣⎦甲， ()
2221380363
s =⨯+⋅⋅⋅=乙，则22
s s >甲乙，故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更
合适．。