高三数学期末试题完word文件10 2

石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

高三数学〔文科〕
一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，
只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤,{}|04B x x =≤≤,那么A
B =〔 〕
A ．]2,0[
B ．]2,1[
C ．]4,
0[ D ．]4,
1[
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设5418a a =-，那么8S 等于〔 〕
A ．144
B ．72
C ．54
D ．36
3．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为〔 〕
A ． 120
B ．24
C ．12
D ．48
4．向量a 、b 满足4||=a ，3||=b ，︒>=<30,b a ，那么b a ⋅等于〔 〕
A ．3
B ．36
C ．6
D ．12
5．5
3
)2
sin(
=
-απ
，那么)2cos(
απ-=〔 〕 A ．
25
7 B ．2524 C ．25
7-
D ．25
24
-
6．6
)1(x
x +的展开式中的常数项等于〔 〕
A ．6
B ．15
C ．20
D ．30
7．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题： ①假设//,//m n αβ且//αβ，那么//m n ；②假设,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，那么m n ⊥； ③假设,//m n αβ⊥且//αβ，那么m n ⊥；④假设//,m n αβ⊥且αβ⊥，那么//m n ；
其中真命题的序号是〔 〕 A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
8．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高
度h 随时间是t 的函数关系的是〔 〕
A B C D
二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上． 9．2log 3
=x ，那么x =__________．
10．某一共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，从学生
中抽取的人数为150，那么该的老师人数是 ． 11．不等式1|52|>-x 的解集是_________________．
12．函数)2(log 2
2x x y -=的单调递减区间是_____________．
13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经历公式
e
d c b a S 1
++=
来计算各班的综合得分，S 的值越高那么评价效果越好．假设某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，那么下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．〔填入e d c b a ,,,,中的某个字母〕 14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．
〔1〕当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数3
1，记为=
)1(f 3
1； 〔2〕当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3
)1(21)1(2)1(+----n n n f 的
倍．
当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到
2303
1
， 那么应从A 口输入自然数 .
三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是14分〕
：02
<<-
x π
，5
1
cos sin =
+x x ． 〔Ⅰ〕求x 2sin 和x x sin cos -的值；
〔Ⅱ〕求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值．
16．〔此题满分是12分〕 体育课上练习投篮， 甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为32、2
1
，
每人投球3次．
〔Ⅰ〕求两人都恰好投进2球的概率； 〔Ⅱ〕求甲恰好赢乙1球的概率．
17．〔此题满分是14分〕
设正数数列{n a }的前n 项和S n 满足2)1(4
1
+=
n n a S ． 〔I 〕求数列{n a }的通项公式；
〔II 〕设1
1
+⋅=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n T ．
18．〔此题满分是14分〕
：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，
1==AB PA ，2=BC ．
〔Ⅰ〕求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
〔Ⅱ〕假设E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 〔Ⅲ〕点G 在线段BC 上，且3=BG ，求点D 到平面PAG 的间隔 ．
19．〔此题满分是12分〕
对于定义域为D 的函数)(x f y =，假设同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或者单调递减；
②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =〔D x ∈〕叫做闭函数．
〔Ⅰ〕请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[b a ,]； 〔Ⅱ〕求闭函数3
x y -=符合条件②的区间[b a ,]； 〔Ⅲ〕判断函数)0(1
43)(>+=
x x
x x f 是否为闭函数？并说明理由．
20．〔此题满分是14分〕 R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． 〔Ⅰ〕假如函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； 〔Ⅱ〕假如函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
P
A B C D
E
石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷
高三数学〔文科〕参考答案
一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，
只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．
注：
第14题第1个空3
分，第2
个空2分.
三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是14分〕 解：〔Ⅰ〕∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2
=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25
24
2sin -=x . ………………………………4分
∵ 02
<<-
x π
，∴ x x sin cos >. ………………………………5分
∴ 5
7
25241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+
=-=-=
-x x x x x x . ………………………………8分
〔Ⅱ〕x
x x x x x x x x x x x x x cos sin cos )
sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-
+=-+
x
x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=
…………………12分
=⨯
-
=
5
751)2524(17524-. ………………………………14分 16．〔此题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕记甲、乙两人都恰好投进2球为事件A . ………………………1分 由于甲、乙两人各投进两球为互相HY 事件 ， 那么甲乙两人都恰好投进2球的概率为 6
1
)21()21(C 31)
3
2
(C )A (P 2232
2
3=⋅=. ………………………5分 〔Ⅱ〕记甲赢乙1球为事件B . ………………………6分
甲赢乙1球一共有三种情况： 甲投中1球乙没中, 甲投中2球乙投中1球, 甲投 中3球
乙投中2球，这三种情况彼此互斥 . ………………………8分 那么甲赢乙1球的概率为
213223321
3
)2
1(2131)32()21()31(32)(C C C B P ⋅+⋅= 36
11)21()21()32(223333=⋅+C C . ………………………12分
17．〔此题满分是14分〕 解：〔Ⅰ〕当1=n 时，2111)1(4
1
+==a S a ，∴ 11=a . ………………………2分 ∵ 2)1(41
+=
n n a S ， ① ∴ 2
11)1(4
1+=--n n a S (n )2≥. ②
①－②，得 2
121)1(4
1)1(41+-+=-=--n n n n n a a S S a ，
整理得，0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ………………………5分 ∵ 0>n a ∴ 01>+-n n a a .
∴ 021=---n n a a ，即)2(21≥=--n a a n n . ………………………7分 故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.
∴ 12-=n a n . ………………………9分
〔Ⅱ〕∵ )1
21
121(21)12)(12(111+--=+-=⋅=
+n n n n a a b n n n ， ………………11分
∴ n n b b b T +++= 21
)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=
n n )1211(21+-=n 1
2+=n n
. ………………………14分
18．〔此题满分是14分〕
解法一：〔Ⅰ〕证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，
∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂，
∴ ⊥CD 平面PAD . …………3分 又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，
∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分 〔Ⅱ〕解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .
∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .
∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或者其补角. ……………………7分 由1==AB PA ，2=BC ，计算得
2521==
PD AE ，2621==PC EF ，2
17=AF ， 1030
2
6
252417
46452cos 222-=⋅⋅-
+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分
∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为10
30
. ……………………10分 〔Ⅲ〕解：过点D 作AG DM ⊥于M .
∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DM PA ⊥． 又 A AG PA =⋂， ∴ ⊥DM 平面PAG ．
∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的间隔 . ………………………12分 又 1)3(12
1212=⋅+=⋅=
∆DM DM AG S AGD ， 解得 1=DM .
所以点D 到平面PAG 的间隔 为1. ………………………14分
解法二：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，那么A 〔0，0，0〕， B 〔1，0，0〕，C 〔1，2，0，〕， D 〔0，2，0〕，E 〔0，1，1
2〕，
P 〔0，0，1〕．
∴ CD ＝〔－1，0，0〕，AD ＝〔0，2，0〕，
AP ＝〔0，0，1〕，AE ＝〔0，1，1
2
〕，
PC ＝〔1，2，－1〕． …………2分 〔Ⅰ〕∵ 0=⋅AD CD ，
∴ AD CD ⊥．
∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥．
又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD ． …………………………5分
∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． …………………………7分
〔Ⅱ〕∵ |
|||,cos PC AE PC AE PC AE ⋅>=
<10
3064
112
1
2=
⋅+
-=， …………………………9分
y
x
∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为
10
30
． ………………10分
〔Ⅲ〕 作AG DQ ⊥于Q ． ∵ ⊥PA 平面ABCD ，
∴ DQ PA ⊥．
又 A AG PA =⋂，
∴ ⊥DQ 平面PAG ．
∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的间隔 . ………………12分
∵ ADG S ∆2=S 矩形ABCD ，
∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG ， 由 2||=AG ，得到
1=．
∴ 点D 到平面PAG 的间隔 为1． ……………………14分
19．〔此题满分是12分〕
解：〔Ⅰ〕如x x f =)(，]2,1[],[=b a . ……………………3分
〔Ⅱ〕由题意，3
x y -=在[b a ,]上递减，那么⎪⎩
⎪⎨⎧>-=-=a
b b a a b 33
，解得⎩⎨⎧=-=11b a ．
所以，所求的区间为]1,1[-. ………………………7分 〔Ⅲ〕取11=x ，102=x ，那么)(10
7647)(21x f x f =<=
， 即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==
x x )(100400
310403)(21x f x f =+<+=， 即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.
所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数. ………………………12分
20．〔此题满分是14分〕 解：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . ………………………2分 〔Ⅰ〕∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . ………………………4分
此时x x x f 3121)(3-=
，34
1
)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . ………………………6分 列表如下：
可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ，
()f x 的极小值为34)32(-=f . …………………9分 〔Ⅱ〕∵ )14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f ， 令 22
1(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤，
解得：02a ≤≤. ………………………11分
这时()0f x '≥恒成立， ∴ 函数)(x f y =在),
(∞+-∞上为单调递增函数.
综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . ………………………14分
注：假设有其它解法，请酌情给分．
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。