广东华师附中高三第四次周末综合测试(三月,理数)

高三年级 数学学科 综合训练
（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数x y 2log =
的定义域是
A. (0,1]
B. (0,+∞)
C. (1,+∞)
D. [1,+∞) 2．已知向量)
2,1(),,2(==b t a ，若t=t 1时，b a //；t=t 2时，b a ⊥，则 A.t 1=-4,t 2=-1 B.t 1=-4,t 2=1 C.t 1=4,t 2=-1 D.t 1=4,t 2=1 3．已知在等比数列{a n }中，a 1+a 3=10，4
5
64=+a a ，则等比数列{a n }的公比q 的值为 A ．
41 B.2
1
C.2
D.8 4．设函数f(x)=g(x)+x 2
，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
A ．41-
B ．4
C ．2
D ．2
1- 5．命题:;2
1|21:|q k p >-函数y=log 2(x 2
-2kx+k)的值域为R ，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 6．若5
4
cos -
=α，α是第三象限的角，则2
tan
12tan 1α
α-+=
A ．2
1-
B ．21
C.2
D.-2
7．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，一种是平均价格
曲线y=g(x)(如f(2)=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g(2)=4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）．下面所给出的四个图像中，实线表示y=f(x)， 虚线表示y=g(x),其中可能正确的是
8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有 1|)()(|≤-x g x f ，
则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“密切函数”，[a ，b]称为“密切区间”，
设f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x-3在[a ，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以 是
A.[1,4]
B.[2,4]
C.[3,4]
D.[2,3] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知O 是坐标原点，A(3，1)，B （-1，3）．若点C 满足OC βα+=，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 得轨迹方程是________________. 10.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨
⎧≤-≤≤+≤9
69
23y x y x ，则z=x+2y 的最小值为_______________．
11.设3
31)(+=
x
x f ，则f(-12)+f(-11)+f(-10)+...+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值
为__________．
12.若x ，y ，z 都是正数，且xyz(x+y+z)=1，则(x+y)(y+z)的最小值为__________. 13.函数f(x)=Asin(ωx)的图象如图所示， 若23)(=
θf ，)2
,4(&
π
πθ∈， 则cos θ-sin θ=_______.
14.下列说法：
①“x
x
R x 32,>∈∃”的否定是“x
x
R x 32,≤∈∀， ②函数)26
sin(
)3
2sin(x x y -+
=π
π
的最小正周期是π；
③命题“函数f(x)在x=x 0处有极值，则f'(x 0)=0”的否命题是真命题；
④f(x)是(-∞，0)∪(0,+∞)上的奇函数x>0时的解析式是f(x)=2x
，则x<0时的解析式为
f(x)=-2-x
其中正确的说法是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满12分）
已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量)1,4(-=，
)2cos ,2
(cos 2
A A n =，且27=⋅n m .
(1)求角A 的大小： (2)若3=
a ，试判断
b ·
c 取得最大值时△ABC 形状．
16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，A(4,0)，)3,1(C ，点M 是 OA 的中点，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图 (1)求∠ABC 的大小；
(2)是否存在实数λ，使OA ⊥-)(λ？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

17.（本题满分14分）
已知数列{a n }的首项为a 1=5，前n 项和为S n ，且*)(521N n n S S n n ∈++=+ (1)求数列{a n }通项a n ；
(2)已知数列{b n }的首项为b 1=5，b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项b n ．
18.（本题满分14分）
为美化城市，某市将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形 花园AMPN ，如图所示。

要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线 MN 过C 点，3|=B A 米，2|=D A 米．
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？
(2)若AN 的长度不小于6米，则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积． 19．（本题满分14分） 已知数列{a n }中，a 1=1，*)()2
1(1N n a a n n n ∈=⋅+，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和． (1)设b n =a 2n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求T 2n ；
(3)不等式)1(364222n
n n ka a T -≤⋅⋅对于一切n ∈N *
恒成立，求实数k 的最大值．
20.（本题满分14分）
已知函数f(x)=lnx ，x x x g 22
1
)(2
-=
(1)设h(x)=f(x+1)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数），求h(x)的最大值； (2)证明：当0<b<a 时，求证：a
a
b a f b a f 2)2()(-<
-+； (3)设k ∈Z ，当x>1时，不等式4)(3)()1(/
++<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.x+2y-5=0 10.-6 11.
3
3
13 12.2 13．2
1
-
14.①④ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满12分） 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量)1,4(-=m ，
)2cos ,2
(cos 2A A =，且27=⋅.
(1)求角A 的大小； (2)若3=
a ，试判断c
b ⋅取得最大值时△ABC 形状．
解：(1)由)1,4(-=，)2cos ,2(cos 2
A A = A
A m 2cos 2
cos 42-=⋅)1cos 2(2cos 142--+⋅=A A 3cos 2cos 22++-=A A ……3分 又因为27=⋅n m ，所以273cos 2cos 22
=++-A A 解得21cos =A ………5分
∵0<A<π，3
π
=∴A .........6分
(2)在△ABC 中，a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA ，且3=
a ，
-
+=∴2
22)3(c b bc c b bc -+=⋅222
12 ……………8分 bc c b 22
2≥+Θ，bc bc -≥∴23，
即bc ≤3，当且仅当3==c b 时，c b ⋅取得最大值， ……10分 又由(1)知3π=
A ，3
π==∴C B ， 故c b ⋅取得最大值时，△ABC 为等边三角形． ………12分
16.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，A(4，
0)，)3,1(C ，点M 是
OA 的中点，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图 (1)求∠ABC 的大小：
(2)是否存在实数λ，使CM OP OA ⊥-)(λ？若存在，求 出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：(1)由题意，得)0,4(=，)3,1(=OC ，因为四边 形OABC 是平行四边形，
所以，AO
C ∠=∠cos AB cos 2
1
|
|=
•OC OA ， 又因为),0(π∈∠ABC 于是，3
π
=
∠ABC .........5分
(2)设)3,(t P ，其中1≤t ≤5，
于是)3,(t OP =，)3,.4(--=-t OP OA λλ，)3,1(-=CM ........8分 若CM OP OA ⊥-)(λ，则0
)(=•-CM OP OA λ， 即⇒=+-034t λ43
-=t λ ………10分 又1≤t ≤5，所以]21
,21[43-∈-=t λ
故存在实数]2
1
,21[-∈λ，使CM
OP OA ⊥-)(λ ………12分 17.（本题满分14分）
已知数列{a n }的首项为a 1=5，前n 项和为S n ，且*)(521N n n S S n
n ∈++=+ (1)求数列{a n }通项a n ；
(2)已知数列{b n }的首项为b 1=5，b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项b n .
解：(1)由已知*)(521N n n S S n
n ∈++=+，可得n ≥2时，421++=-n S S n n 两式相减得1)(211+-=--+n n n n S S S S ，即121+
=+n n a a ………………2分 从而)1(211+
=++n n a a ……………4分 当n=1时S 2=2S 1+1+5所以a 2+a 1=2a 1+6又a 1=5所以a 2=11
从而a 2+1=2(a 1+1)
故总有*),1(211N n a a n
n ∈+=++
所以数列}1{+n a 是以a 1+1=6为首项，以2为公比的等比数列 …………………6分 故123-⨯=n
n a ……………7分 (2)1231
2-⨯=-b b Θ 1232
23-⨯=
-b b ……
1231
1-⨯=---n n n b b ………10分 )1(2
1)
21(231
1
----⨯=-∴-n b b n n n b n
n -⋅=
23 ………………14分 18．（本题满分14分）
为美化城市，某市将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花 园AMPN ，如图所示。

要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，3||=AB 米，2|=D A 米．
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，财AN 的长应在什么范围内？
(2)若AN 的长度不小于6米，则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．
18.解：设AN 的长为x 米（x>2）
||||||||AM DC AN DN =Θ 2
3||-=∴x x AM ||||AM AN S AMPN ⋅=∴232-=x x …2分 (1)由S AMPN >32得
322
32
>-x x ， 0
64323,22
>+-∴>x x x Θ，即(3x-8)(x-8)>0 382<<∴x 或x>8，即AN 长的取值范围是),8()3
8
,2(+∞⋃ ………6分
(2)令232
-=x x y ，则22)2(3)2(6'---=x x x x y 2)
2()4(3--=x x x …………8分 ∴当x>4，y'>0,即函数4
32
-=x x y 在(4，+∞)上单调递增， …9分
∴函数2
32
-=x x y 在[6，+∞）上也单调递增 ………10分
∴当x=6时，2
32
-=x x y 取得最小值即S AMPN 取得最小值27（平方米） …………12分
此时m AN 6||=，m
AM 5.4||=. 答：当AM 、AN 的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是27平方 米． …………14分 （或者用不等式求解） 19．（本题满分14分） 已知数列{a n }中，a 1=1，*)()2
1(1N n a a n
n n ∈=⋅+，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和. (1)设b n =a 2n ，证明：数列{b n }是等比数列： (2)求T 2n ；
(3)不等式)1(364222n
n n ka a T -≤⋅⋅对于一切n ∈N *
恒成立，求实数k 的最大值． 19．解：(1)
==++n
n n n a a b b 2221n n n n n n a a a a 21
21222
212)2
1()21
(++++=21
= …3分
所以{b n }是以211=
b 为首项，公比为21
的等比数列. .....4分 (2)由(1)知，n
n b )2
1(=，
当n=2k （k ∈N *
）时，k k
k n b a a )21(2=== ............5分 当n=2k-1(k ∈N *)时，1212)21(--==k k n a a k
k k
a 2)21(122⋅=÷-1)2
1(-=k ……6分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-为正偶数为正奇数n n a n
n n ,)2
1(,)2
1(22
1
..............7分
)(12312-+++=n n a a a T Λ)(242n
a a a ++++Λ 2
11)
)21(1)(21(211)21(1--+--=n n ))21(1(3n -= ……9分
(3)由(2)，)1(364222n n n ka a T -≤即得n
n 2
1
])21(33[64⋅-)211(3n k ⋅-≤.......10分 所以642
642-+≤n n
k ....11分
因≥-+
642
642n
n
4864264.22-=-n n （当n=3时等号成立） .........13分 即所求的k 最大值-48． ........14分
20.（本题满分14分）
已知函数f(x)=lnx ，x x x g 22
1
)(2
-=
(1)设h(x)=f(x+1)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求h(x)的最大值： (2)证明：当0<b<a 时，求证：a
a
b a f b a f 2)2()(-<
-+； (3)设k ∈Z ，当x>1时，不等式k(x-1)<xf(x)+3g'(x)+4恒成立，求k 的最大值．
20.解:(1)h(x)=f(x+1)-g'(x)=ln(x+1)-x+2, x>-1 所以1
111)('+-=
-+=
x x
x x h ......1分 当-1<x<0时，h'(x)>0；当x>0时，h'(x)<0．
因此，h(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减． ...........2分 因此，当x=0时，h(x)取得最大值h(0)=2； ........3分 (2)当0<b<a 时，021<-<
-a
a
b .......4分 由(1)知：当-1<x<0时，h(x)<2，即ln(1+x)<x ． .........5分
因此，有f(a+b)-f(2a)==+a b a 2ln a
a
b a a b 2)21ln(-<
-+ .....6分 (3)不等式k(x-1)<xf(x)+39'(x)+4化为21
ln +-+<x x
x x k
所以21
ln +-+<x x
x x k 对任意x>1恒成立． …………7分
令2
1ln )(+-+=
x x
x x x m ，则2
)1(2ln )('---=x x x x m …………8分 令k(x)=x-lnx-2(x>1)， ………9分 则0
1
11)('>-=
-=x
x x x k ， 所以函数k(x)在(1，+∞)上单调递增． ………10分 因为k(3)=1-ln3<0，k(4)=2-2ln2>0，
所以方程k(x)=0在(1，+∞)上存在唯一实根x 0，且满足)4,3(0∈
x ……11分 当1<x<x 0时，k(x)<0，即m'(x)<0，当x>x 0时，k(x)>0，即m'(x)>0， 所以函数2
1
ln )(+-+=
x x
x x x m 在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，+∞)上单调递增．……12分 所以==)()]([0
min x m x m 21)ln 1(000+-+x x x 21
)
21(000+--+=x x x )6,5(20∈+
=x 13分 所以)6,5(2)]([0
min ∈+=<x x m k . 故整数k 的最大值是5． ……14分。