高中数学 模块综合检测 苏教版选修42

模块综合检测
1.已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
01
1，求矩阵M 的特征值与特征向量.
【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 0 －1 λ－1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 将λ1＝1代入二元一次方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（λ－2）·x ＋0·y ＝0，－x ＋（λ－1）y ＝0，解得x ＝0， 所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01；
同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
2.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中
A (1，1)，
B (－1，1)，
C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1，1)，
D ′(－1，－1).
(1)求出矩阵M ；
(2)确定点D 及点C ′的坐标.
【导学号：30650064】
【解】 设M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，
所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1 2－2 －1.
(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3 3，得C ′(－3，3).
由⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－13
－23 23 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得D (1，－1). 3.设曲线2x 2
＋2xy ＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
0b
1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2
＋
y 2＝1.
①求实数a ，b 的值； ②求A 2
的逆矩阵.
【解】 ①设曲线2x 2
＋2xy ＋y 2
＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′).
由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
0b
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
ax bx ＋y ，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在x 2
＋y 2
＝1上，所以x ′2
＋y ′2
＝1， 即a 2x 2
＋(bx ＋y )2
＝1，
整理得(a 2
＋b 2
)x 2
＋2bxy ＋y 2
＝1.
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＋b 2
＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝1. 因为a >1，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝1.
②由①知，A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 0－2
1. 4.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 【解】 设B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c
d ， 则B －1B ＝⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
即⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a －12
c b －12
d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
00 1，
故⎩⎪⎨⎪⎧a －12
c ＝1，
b －12d ＝0，2
c ＝0，2
d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝14，
c ＝0，
d ＝12，
所以B ＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤1 1
40 12.
因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
1
4
0 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1.
5.曲线x 2＋4xy ＋2y 2
＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 a b
1的作用下变换为曲线x 2－2y 2
＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求M 的逆矩阵M －1
.
【解】 (1)设P (x ，y )为曲线x 2
－2y 2
＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2
＋4xy
＋2y 2
＝1上与P 对应的点，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
a b
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，
y ＝bx ′＋y ′. 代入得(x ′＋ay ′)2
－2(bx ′＋y ′)2
＝1，
即得(1－2b 2
)x ′2
＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2
－2)y ′2
＝1， 及方程x 2＋4xy ＋2y 2
＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2
＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2.
解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M 的行列式为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1 20 1＝1≠0，M －1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤11 －2101 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 6.已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－1 2 52 3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116，求M 3α的值.
【解】 矩阵M 的特征多项式
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4).令f (λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值λ1＝4的一个特征向量为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
25， 属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 1. 令α＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，则m ＝3312，n ＝2712，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋2712×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 1，所以
M 3
α＝43
×3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋(－2)3
×2712×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤388862.
7.如果曲线x 2
＋4xy ＋3y 2
＝1在矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a b
1的作用下变换得到曲线x 2－y 2
＝1，求a ＋b . 【解】 在曲线x 2
＋4xy ＋3y 2
＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 a b
1的作
用下变换得到点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，
则(x ＋ay )2
－(bx ＋y )2
＝1，
化简得(1－b 2
)x 2
＋2(a －b )xy ＋(a 2
－1)y 2
＝1， 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2
＝1，2（a －b ）＝4，a 2－1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.
所以a ＋b ＝2.
8.密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：
A B C … Y Z
↨ ↨ ↨ ↨ ↨ 1 2 3 … 25 26
取矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤5
32
1.
(1)将Good 进行编码；
(2)将93，36，60，21恢复成原来的信息. 【解】 (1)Good 的编码为7，15，15，4. (2)∵det(A )＝5×1－3×2＝－1，
∴A －1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A －1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤9336＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
9336 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 315. ∴密码恢复成编码15，6，3，15， 即得到原来的信息OFCO .
9.已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 10
2，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
31.
(1)求M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4
β，M 10
β，M 100
β；
(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？
【导学号：30650065】
【解】 (1)矩阵M 的特征多项式
f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2).
令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.
∴属于λ1＝1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于λ2＝2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11.
(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，∴m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.∴M 4
β
＝M 4
(2α1＋α2)＝2M 4
α1＋M 4
α2＝2λ4
1
α1＋λ42
α2＝2×14
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1816，
同理可得M 10
β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，
M 100
β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100
＋2 2100.
(3)当n →＋∞时，可近似认为
M n
β＝M n
(2α1＋α2)≈M n
α2＝2n
⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2n
2n .
10.自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等.因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系.但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝3a n ＋b n ，
b n ＋1＝2a n ＋2b n ，
其中a 1＝1，b 1＝7，试分析
10个时段后，这两个种群的数量变化趋势.
【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x i y i ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3
12
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x i －1y i －1， 令M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3 12
2，
则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－3 －1 －2 λ－2
＝(λ－1)(λ－4).
令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，
则α＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－2，
则M 10
α＝3×410
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)×110
×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3×410
－23×410＋4
≈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3×410
3×410. 照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡.。