洛阳理工学院附属中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测(含答案解析)

一、选择题
1．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方
便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取
9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A ．301050
B ．103020
C ．305010
D ．501030 2．下列因式分解正确的是（ ）
A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)
B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)
C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1
D ．x 2+2x-1=(x-1)2 3．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．都是乘法运算
C ．①是因式分解，②是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解 4．下列因式分解正确的是（ ）
A ．24414(1)1m m m m -+=-+
B ．a 2+b 2=(a +b )2
C ．x 2-16y 2=(x +8y )(x -8y )
D ．-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) 5．计算()
201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12
- 6．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）
A ．最大值23
B ．最小值23
C ．最大值23-
D ．最小值23- 7．若3a b +=，1ab =，则()2a b -的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．已知1x x +
=1x x -的值为（ ）
A B ．2± C ．D 9．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-
B ．5-
C ．4
D ．4-
10．已知1x =
，1y =，则代数式222x xy y ++的值为（ ）．
A ．20
B ．10
C ．
D ．11．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A ．21x -+
B ．21x +
C ．21x --
D ．221x x -+ 12．下列计算正确的是（ ）
A ．a 3+a 3=a 6
B ．a 3·a=a 4
C ．a 3÷a 2=a 3
D ．(2a 2)3 =6a 5
二、填空题
13．如果210x x m -+是一个完全平方式，那么m 的值是__________．
14．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则2021a b x cd cd +-+的值为_______． 15．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．
16．已知102m =，103n =，则32210m n ++=_______．
17．一个三角形的面积为3xy －4y ，一边长是2y ，则这条边上的高为_____．
18．已知228a ab +=-，2214b ab +=，则2262a ab b ++=________．
19．已知23x y -=，则432x y --=________．
20．已知4222112x x +-⋅=，则x ＝________
三、解答题
21．计算下列各题：
（1）2(2)-+3125-+9；
（2）（3+7）（3﹣7）+2（2﹣2）．
22．图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式2()a b +，2()a b -，ab 之间的等量关系为
________．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求m n +的值．
（4）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1226S S +=，求图中阴影部分面积．
23．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以 用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位： cm ）
（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________
（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪
线（虚线部分）长之和．
24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
281156415497-⨯=-==
2241731576527497-⨯=-=
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
25．已知5x y -=，6xy =，求下列各式的值．
（1）22x y +；（2）x y +
26．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x 2y +6xy ﹣9y ；
（2）9（x +2y ）2﹣4（x ﹣y ）2；
（3）1﹣x 2﹣y 2+2xy ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】
x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ），
当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10，
组成密码的数字应包括30，50，10，
所以组成的密码不可能是103020．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
解：A 、等号左右两边不相等，故错误；
B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；
C 、右边不是整式的积，故错误；
D 、等号左右两边不相等，故错误．
故选：B ．
【点睛】
因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．
3．D
解析：D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】
解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；
②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
4．D
解析：D
【分析】
把各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解： A 、()2
24412-1-+=m m m ，原选项错误，不符合题意；
B 、a 2+b 2不能分解，不符合题意；
C 、x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y )，原选项错误，不符合题意；
D 、-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) ，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5．D
解析：D
【分析】
将原式变形为201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再利用同底数幂的乘法逆运算变为2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】 解：原式=201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
=2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ =2018201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ =()20181-1-2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
=1×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭
=12
- 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．
【详解】
2221241A x y x y =--+++
=2221218441184x x y y -+--+-+++
=()()222694423x x y y --+--++
=()()22
23223x y ----+
∵()2230x --≤，()220y --≤， ∴()()22
23223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，
故选A ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
由3a b +=结合完全平方式即可求出22a b +的值，再由222()2a b a b ab -=+-，即可求出结果．
【详解】
∵3a b +=，
∴22()3a b +=，即2229a ab b ++=，
将1ab =代入上式得：229217a b +=-⨯=．
∵222()2a b a b ab -=+-，
∴2()725a b -=-=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查代数式求值以及因式分解．熟练利用完全平方式求解是解答本题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
将1x x +=两边平方得出22x 15x +=，再求得21-⎛⎫ ⎪⎝⎭
x x 即可得答案． 【详解】
解：∵1x x
+= ∴217⎛⎫+= ⎪⎝
⎭x x ∴22127x x ++
= ∴22x 15x
+= ∴22211-=x -2+=5-2=3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
x x
∴1=-
±x x
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 9．D
解析：D
【分析】
根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．
【详解】
解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，
则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，
∴-8a-2b=-5，
则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
10．A
解析：A
【分析】
利用完全平方公式计算即可得到答案．
【详解】
∵1x =，1y =，
∴x+y=
∴222x xy y ++
=2()x y +
=2
=20，
故选：A ．
【点睛】
此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并运用解决问题是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】
A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；
B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；
C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；
D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；
故选：A ．
【点睛】
此题考查平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】
A 、3332a a a +=，故此选项错误；
B 、34·a a a =，故此选项正确；
C 、32a a a ÷=，故此选项错误；
D 、236(2)8a a =，故此选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题
13．25【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m 的值【详解】解：∵x2-10x+m 是一个完全平方式∴m==25故答案为：25【点睛】此题考查了完全平方式熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
解析：25
【分析】
利用完全平方公式的结构特征，即可求出m 的值．
【详解】
解：∵x 2-10x +m 是一个完全平方式，
∴m=210(
)2
-=25． 故答案为：25．
【点睛】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．0或-2【分析】根据ab 互为相反数cd 互为倒数x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数可以得到a+b=0cd=1x=±1从而可以求得所求式子的值【详解】
解：∵ab 互为相反数cd 互为倒数x 是数轴上到原点
解析：0或-2
【分析】
根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，可以得到a+b=0，cd=1，x=±1，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数， ∴a+b=0，cd=1，x=±1，
∴x 2021=±1， ∴2021a b x cd cd
+-+ =1-1+0
=0； 或2021a b x cd cd
+-+ =-1-1+0
=-2．
故答案为：0或-2．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 15．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6
解析：4
【分析】
根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．
【详解】
解：把x=2代入得：2÷2=1，
把x=1代入得：1+5=6，
把x=6代入得：6÷2=3，
把x=3代入得：3+5=8，
把x=8代入得：8÷2=4，
把x=4代入得：4÷2=2，
把x=2代入得：2÷2=1，
以此类推，
∵2021÷6=336…5，
∴经过2021次输出的结果是4．
故答案为：4．
本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
16．7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可【详解】解：∵∴∴故答案为：7200【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方解题的关键是掌握运算法则
解析：7200
【分析】
根据幂的乘方法则分别求出3m 10和210n 的值，然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】
解：∵102m =，103n =，
∴()33m 10108m ==，()2
2n 10109n ==， ∴3m+2n+232210101010891007200m n =⋅⋅=⨯⨯=，
故答案为：7200．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
17．3x －4【分析】利用面积公式计算即可得到答案【详解】设这条边上的高为a 由题意得：∴ay=3xy-4y ∴a=3x-4故答案为：3x-4【点睛】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单
解析：3x －4
【分析】
利用面积公式计算即可得到答案．
【详解】
设这条边上的高为a ， 由题意得：
12342
y a xy y ⋅⋅=-， ∴ay=3xy-4y ，
∴a=3x-4，
故答案为：3x-4．
【点睛】 此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加． 18．20【分析】将变形为然后利用整体思想代入求解【详解】解：∵∴原式=故答案为：20【点睛】本题考查代数式求值掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键
【分析】
将2262a ab b ++变形为22
22(2)a ab b ab +++，然后利用整体思想代入求解．
【详解】
解：2222226222+422(+2)a ab b a ab b ab a ab b ab ++=++=++
∵228a ab +=-，2214b ab +=
∴原式=821420-+⨯=
故答案为：20．
【点睛】
本题考查代数式求值，掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键． 19．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键
解析：3
【分析】
把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．
【详解】
解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．
20．3【分析】利用同底数幂乘法的逆运算求解即可【详解】∵∴即：∴∴故答案为：3【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆运算灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键
解析：3
【分析】
利用同底数幂乘法的逆运算求解即可．
【详解】
∵()4411312222222172x x x x x x +++++-⋅-=⋅=⋅-=，
∴172112x +⋅=，即：142162x +==，
∴14x +=，
∴3x =，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查同底数幂乘法的逆运算，灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键．
三、解答题
21．（1）0；（2）【分析】
（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；
（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：（1＝2+（﹣5）+3
＝0；
（2）（）（3）（2
＝32）2﹣2
＝9﹣﹣2
＝
【点睛】
本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．
22．（1）44a b -或者4()a b -；（2）22()()4a b a b ab -=+-；或
22()()4a b a b ab +=-+；或224()()ab a b a b =+--；（3）2或2-；（4）
192
． 【分析】
（1）直接写出边长：长边减短边=a-b ，进而可得周长； （2）根据阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积解答，或利用大正方形的面积=阴影方形的面积+4个长方形的面积解答，或利用4个长方形的面积=大正方形的面积-阴影方形的面积解答；
（3）根据22()()4a b a b ab +=-+求解即可；
（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，由1226S S +=可得，
2226x y +=，然后把8x y +=的两边平方求解即可．
【详解】
解：（1）由图可知，阴影部分正方形的边长为：a-b ，
∴阴影部分的正方形的周长等于44a b -或者4()a b -，
故答案为：44a b -或者4()a b -；
（2）22()()4a b a b ab -=+-；或（22()()4a b a b ab +=-+；
或22
4()()ab a b a b =+--；
（3）∵3=-mn ，4m n -=，
∴222()()444(3)16124m n m n mn +=-+=+⨯-=-=，
∴2m n +=±，
∴m n +的值为2或2-．
（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，
由1226S S +=可得，2226x y +=，而8x y AB +==， 而12
S xy =阴影部分， ∵8x y +=，
∴22264x xy y ++=，
又∴2226x y +=，
∴238xy =， ∴13819242
S xy ===阴影部分， 即，阴影部分的面积为
192． 【点睛】
本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形．
23．（1）()()22m n m n ++；（2）42cm ．
【分析】
（1）根据图形的面积直接可以得到；
（2）根据222258m n +=，10mn =，可得2229m n +=，可求得7m n +=，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是66m n +，据此求解即可．
【详解】
（1）根据图形，依题意可得：2225222m mn n m n m n
（2）依题意得222258m n +=，10mn =
2229m n ∴+=
2222m n m mn n
2292049m n
0m n +>
7m n ∴+=，
根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：6666742m n m n ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm ．
【点睛】
本题考查完全平方公式和因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可； （2）设中间那个数为n ，列得2(7)(7)n n n --+，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
【详解】
解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，
213620169120497-⨯=-==；
(2)证明：设中间那个数为n ，则：
2(7)(7)497n n n --+==
∴2(7)(7)7n n n --+=．
．
【点睛】
此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．
25．(1) 37 ；(2)7±．
【分析】
(1) 根据x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，把已知的式子代入即可求解．
(2)根据()22+()4x y x y xy =-+ ，求出()2
+x y ，再开方求x+y 即可．
【详解】
解：5x y -=，6xy =，
(1) 2222()252637.x y x y xy +=-+=+⨯=
(2) ()222+()454649x y x y xy =-+=+⨯=，
∴=49=7x y +±．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题关键．
26．（1）﹣y （x ﹣3）2；（2）（5x +4y ）（x +8y ）；（3）（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）
【分析】
（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解；
（2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号及合
并同类项进行化简；
（3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公式分解后对每个因式去括号化简即可．
【详解】
解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy
＝1﹣（x2+y2﹣2xy）
＝1﹣（x﹣y）2
＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．。