工业机器人技术基础 项目二 工业机器人数学基础

1
0
−1

可见，旋转矩阵 是正交的，并且满足条件：
= ， = 1
2.1.1 位姿描述
3.位姿描述
前面已经说明了任一点相对于参考坐标系的位置和姿态的表示方法，
现在进一步说明物体B在空间中的位姿描述。首先在物体B上建立一
个 坐标系， 的坐标系原点选择通常是B的特征点，例如物体的
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ =
∙ ∙ ∙


11 12 13
21 22 23 =
31 32 33






=

为旋转矩阵，A为参考坐标系 ，B为与物体固连的坐标系 。
2.1.1 位姿描述


有9个元素，其中有3个元素相互独立。
，
，
是

的三个单位



向量，三者之间存在两两垂直的关系，所以这 9个元素满足6个约束条
件（即正交条件）：
∙ = ∙ = ∙


=



൜ ∙ ∙
= =∙=
3.平移变换是坐标系
平移矢量
BORG平移到

即：
=


+
4.旋转变换是 旋转矩阵 到 描述和Bp具有如下变换关系： =

5.复合变换就是进行平移变换后再进行旋转变换
2.2工业机器人的机器人运动学基础
2.2 工业机器人的机器人运动学基础
学
转矩阵 描述 相对于的 方位。对于任一点p在两坐标系 和 中的描述

和Bp具有以下变换关系：Ap= + BORG
2.1 工业机器人数学基础
总结
1.位置描述，假设某一刚体上任意一点为p，那么在直角坐标系中这个刚体的位置
可以用一个的列矢量表示。
2.一般是在机器人末端执行器上建立一个与末端执行器固联的坐标系{B}来确定方位
′ = + ∆
′
1 0 0 ∆

′


∆
′
0 1 0 ∆

′

或矩阵形式为: =
+ ∆ ，用齐次坐标表示: ′ =

0
0
1Hale Waihona Puke ∆′
∆

000 1 1
1
2.2.1 齐次坐标和齐次变换
2.齐次坐标变换-平移坐标
1 0 0 ∆
′
0 1 0 ∆
′
齐次坐标表示 ′ =
则 称为点P 的齐次坐标。
由以上公式可知：
（1）齐次坐标的表示不唯一， 是某点的齐次坐标，则 也是该点的齐
次坐标，ω为非零常数。
（2）当ω ≠ 0时， 0 0 0 为坐标原点位置矢量的齐次坐标。 1 0 0 0 位OX轴的无穷远点，可
习
目
标
理解并掌握工业机器人的齐次坐标和齐次变换
1
2
3
理解并掌握工业机器人的D-H矩阵计算
理解并掌握工业机器人的运动学计算
2.2.1 齐次坐标和齐次变换
1.齐次坐标
三维空间坐标系 中的位置矢量P 可由四个数组成的列向量： Ρ =

表示，且ω ≠ 0，x、y、z、w与 、 、 之间的关系是： = ， = ， =
2.1工业机器人数学基础
2.1 工业机器人数学基础
学
习
目
标
1
理解并掌握工业机器人位姿描述
2
理解并掌握工业机器人坐标变换
2.1 工业机器人数学基础
如果想要了解机
器人运动学，首
先要知道的有哪
几方面呢？
1.各末端执行器的位姿，即末端执行器的位
置和姿态。
2.将位置和姿态进行组合，即坐标系的变换。
2.1.1 位姿描述
1.位置描述
假设某一刚体上任意一点为p，在直
角坐标系中这个刚体的位置可以用一
个的列矢量表示。

Ap =



p
Ap



是 、 、 点p在坐标系
中的对应坐标值。
2.1.1 位姿描述
2.姿态描述
姿态可以用机器人末端执行器上的坐标系的方位表示，一般是在机器人末
端执行器上建立一个与末端执行器固联的坐标系 来确定方位。
重心。接着分析坐标系在参考坐标系中的位姿， 我们用矢量表示
的坐标系原点，那么的姿态可用三个坐标轴的单位向量相对于参考坐
标系 的对应单位向量的余弦值构成的旋转矩阵表示。那么物体B
相对于参考坐标系的位姿就能用
=
的位置和姿态来描述，即有：



2.1.2 坐标变换
1.平移变换
设坐标系 与 具有相同的方位，但 的原点与 的原点不重合。用位


置矢量 BORG描述它相对于 的位置，称 BORG为 相对于 的平移矢量
。如果点p在坐标系 中的位置为，那么它相对于坐标系 的位置矢量
可由矢量相加得出，即：
=


+
平移变换
2.1.2 坐标变换
2.旋转变换
设坐标系 与 有共同的坐标原点，但两者的方位不间，用旋转矩
以用来表示OX轴的方向； 0 1 0 0 位OY轴的无穷远点，可以用来表示OY轴的方向； 0 0 1 0
位OZ轴的无穷远点，可以用来表示OZ轴的方向； 0 0 0 0 没有意义。

2.2.1 齐次坐标和齐次变换
2.齐次坐标变换-平移坐标
′ = + ∆
空间直角坐标系某一点A(x，y，z)，平移至A‘(x’，y‘，z’)点，其坐标变换：ቐ ′ = + ∆
0 0 1 ∆

000 1
1


′ = ∆, ∆, ∆
也可简写为：A

1
1 0 0 ∆
0 1 0 ∆
∆, ∆, ∆ 称为平移算子，且： ∆, ∆, ∆ =
0 0 1 ∆
000 1
第四列元素分别表示沿坐标轴x，y，z的移动量，若平移算子左乘，表示坐标变换是相对固定坐标系
阵 描述相对于的方位，同一点p在两个坐标系 和 中的描述和Bp
具有如下变换关系： =

旋转变换
2.1.2 坐标变换
3.复合变换
对于最一般的情形：坐标系 的原点与 的原点既不重合， 的 方位与

的方位也不相同。用位置矢量 PBORG描述 的坐标原点相对于 的位置；用旋