反函数

反 函 数
一、反函数的定义
1．定义：如果函数()y f x =中，对于任意的y 都有唯一的x 与它对应，则称函数()y f x =存在反函数，记作1()y f x -=。

2．反映在图象上：如果函数()y f x =的图象与任一条与y 轴垂直的直线的交点最多一个，则函数()y f x =存在反函数。

3．函数(1)y f x =-的反函数不是
1(1)y f x -=-。

即函数[()]y f g x =的反函数不是1[()]y f g x -=
二、反函数的符号运算 1()()y f x x f y -=⇔=
在上式中，把x 换成y ，把y 换成x ，所得函数
1()y f x -=就是函数()y f x =的反函数。

针对训练
1．求函数21(
)23x y f -=+的反函数。

2．求函数12(1)1y f
x -=+-的反函数。

3．求函数21()2
x
y f a =的反函数。

三、反函数的有关性质
1．函数的定义域是其反函数的值域，函数的值
域是其反函数的定义域。

2．函数及其反函数的图象关于直线y x =对称。

3．如果一个函数的图象本身关于直线y x =对
称，则该函数的反函数就等于本身。

4．若点()a ,b 在函数()y f x =的图象上，则点
()b ,a 在其反函数的图象上，即
1
()()b f a a f b -=⇔= 5．1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=。

6．解方程1()f
x a -=，就相当于在函数()y f x =中，已知自变量的值为a ，求所对应的函数值。

求1()f a -，就相当于在函数()y f x =中，
已知函数值为a 时，求所对应的自变量x 的值。

解不等式1()f x a ->，就相当于在函数
()y f x =中，已知自变量x a >，求函数()y f x =的值域。

7．函数与其反函数的单调性一致。

8．若函数()y f x =是奇函数，且存在反函数。

则其反函数也是奇函数。

一般地，偶函数不存在反函数。