解析2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期11月联考数学试卷及答案

2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期11月联考数学试题
一、单选题
1．已知复数z 满足2021i 43i z ⋅=-，则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-3
答案：A
根据复数的乘方得到2021i i =，再根据复数代数形式的除法运算求出复数z ，即可得到z ，从而得到z 的虚部；
解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以450521120i i i ⨯+==， 因为2021
i 43i z ⋅=-，所以i 43i z ⋅=-，2
2
43i 4i 3i 34i i i z --===--，于是34i z =-+所以z 的虚部为4. 故选：A.
2．已知集合(){}
2log 10A x x =-<，{}
2
430B x x x =+->.则()R A B =（ ）
A ．（-1，1）
B ．（2，4）
C ．()()1,12,4-⋃
D ．(][)1,12,4-⋃
答案：D
计算{|1R A x x =≤或2}x ≥，{|14}B x x =-<<，再计算交集得到答案. 由集合2{|log (1)0}{|12}A x x x x =-<=<<，则{|1R A x x =≤或2}x ≥， 又{|14}B x x =-<<，所以()(1,1][2,4)R A B =-. 故选：D.
3．“()6
k k Z παπ=-
∈”是“sin 2α=的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
答案：B
根据sin 2α=6k παπ=-或3k k Z παπ=-∈（），根据范围大小得到答案.
因为sin 2α=223k παπ=-或2223k παπ=-（k Z ∈），
从而6k π
απ=-
或3k k Z παπ=-∈（），即sin 2α=6k παπ=-，
反之，由6
k π
απ=-可推出3sin 22
α=-
， 故“6
k π
απ=-”是“3
sin 22
α=-
”的充分不必要条件. 故选：B. 4．函数()cos x
f x x
π=
在区间[]4,4-上的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
答案：C
先判断函数奇偶性排除A ，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案. 易知函数cos ()x
f x x
π=
是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A ；在原点右侧附近，函数()f x 值大于0，排除D ；函数cos ()x f x x π=在区间[4,4]-上有零点1357
,,,2222
±±±±，共计8个，排除B.仅有C 符合上述要求. 故选：C.
5．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（ ）万元. A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
答案：C
根据题意先求出每年的盈利表达式，再计算n 年累计盈利及平均年盈利，最后运用基本不等式求解即可.
则题意，第n 年盈利为：69126(1)663n n ---=-+.
所以该台机器购买n 年后的盈利为：(1)691921262n n S n n -⎡
⎤=--+
⋅⎢⎥⎣⎦
2360192n n -=-+.令0S >，
则220640n n -+<解得416n <<. 设该台机器购买
n
年后的年平均利润为
y
万元，则
2360192
n n y n
-+-=
643()60n n =-++32646012≤-⨯+=，当且仅当8n =时取“=”，因此，该台机器购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 故选：C
6．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB ，某人先在塔的正西方点C 处测得塔项的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进60m 到达点D 处，在D 处测得塔项的仰角为30︒，则铁塔AB 的高度是（ ）
A ．50m
B ．30m
C ．25m
D ．15m
答案：B
计算得到BC h =，BD 3h =，在BCD △中利用余弦定理计算得到答案.
设塔高AB 的高度为h ，在RT ABC 中，因为45ACB ∠=︒，所以BC h =； 在RT ABD 中，因为30ADB ∠=︒，所以BD 3h =； 在BCD △中，60BCD ∠=︒，BC h =，BD 3h =
，
根据余弦定理可得，2222cos60BD BC CD BC CD =+-⋅︒， 即
)
2
221
3602602
h h h =+-⨯⨯，解得30h =或60h =-（舍去）.
故选：B.
7．已知函数()(
)
22022
2022log 120221x
x f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()212f x f x +->的
解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞
C ．1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
答案：D
设())
2022
2022log 2022x
x g x x -=+-，确定()g x 的定义域、单调性和奇偶性，利用()g x 奇
偶性将不等式()()212f x f x +->转化为()(12)g x g x >-，再利用()g x 的单调性解不等式即可.
设())
2022
2022log 2022x
x g x x -=+-，
0x x x >+≥对任意的R x ∈恒成立，故()g x 的定义域为R ，
又())
2022
2022log 2022x
x g x x --=+-
)
()2022
2022log 2022x x x g x -=--=-
()g x ∴是定义在R 上的奇函数，
又2022,2022x x y y -==-均在R 上单调递增，
又对于函数)
2022
log y x =，
当0x ≥时，明显)
2022log y x =为单调递增函数，
当0x <时，))
20222022
log log y x x ==-，由于y x 在(),0∞-上单调递减，
故)
2022
log y x =-为单调递增函数，
又函数)
2022
log y x =为连续函数，故函数)
2022
log y x =在R 上单调递增，
()g x ∴在R 上单调递增.
由()(21)2f x f x +->， 可得()1(21)10f x f x -+-->， 即()(21)g x g x >--， 从而()(12)g x g x >-，
12x x ∴>-
解得1
3
x >.
故选：D.
8．已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()2
1f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围
为（ ） A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
答案：A
2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数
()g x 的导函数，分解1
2a ≤
和12
a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.
解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥， 设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x
--'=
，
当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102
a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以1
2
a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12
a >
时，当1
02x a <<时，()0g x '<，当112x a <<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
于是，存在01,12x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，
综上所述，12
a ≤. 故选：A. 二、多选题
9．若0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．
11a b
> B ．22a a b b +<+
C ．2b a
a b +>
D ．11022a b
⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案：AC
计算得到110b a
a b ab
--=
>，A 正确，22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，1a b ++符号不定，B 错误，根据均值不等式得到C 正确，根据12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
单调性得到D 错误，得到答案.
当0a b <<时，110b a
a b ab --=
>，所以11a b
>，A 正确； 22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，0a b -<，1a b ++符号不定，所以2a a +与2+b b 大小关系不能
确定，B 错误；
2b a a b +>，()a b ≠，所以C 正确；
12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,0)-∞上单调递减，1122a b ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022a b
⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误； 故选：AC.
10．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且939S S =，则（ ） A ．若10a >，则{}n a 是递增数列 B ．若11a =，则21n a n =- C ．若11a =-，则{}n S 是递增数列 D ．若11a =-，则n S 有最大值
答案：ABD
根据条件得到等差数列首项与公差的关系，然后再根据每一个选项的条件判断即可. 设等差数列{}n a 的公差为d ，由{}n a 是等差数列且939S S =，有119369(33)a d a d +=+， 得12d a =.
若10a >时，0d >，得{}n a 是递增数列，A 正确； 若11a =时，2d =，得21n a n =-，B 正确；
若11a =-时，2d =-，得2
n S n =-是递减数列，1S 最大，C 错误，D 正确.
故选：ABD
11．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．13162
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．函数13f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭是偶函数
C ．函数()f x 在区间()212,233
k Z k k ⎡⎤-+⎢⎥⎦
∈⎣
上单调递增
D ．若函数()f x 在[]2,a -上有5个零点，则172366
a ≤< 答案：CD
根据图像得到函数解析式为()sin 6f x πx π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，代入数据计算知A 错误，1πsin π36f x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
非奇非偶，所以B 错误，计算单调性得到C 正确，计算ππππ2π,π666t x a ⎡⎤
=+∈-++⎢⎥⎣⎦
，根据函数图
像计算得到D 正确，得到答案. 411233
T =-=，2π
2T ω==，即πω=， 由1π
π2π32k ϕ+=+，可得π2π6
k ϕ=+，k Z ∈，又||πϕ<，所以6π=ϕ， 因此函数()sin 6f x πx π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
1313662
f f ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错误； 11ππsin πsin π3366f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，非奇非偶，所以B 错误；
由22262k ππx ππ
ππk -
≤+≤+，可得212233
k x k -≤≤+
()k ∈Z ，所以函数()f x 在区间212,2()33k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
单调递增，所以C 正确； 因为[2,]x a ∈-，所以ππππ2π,π666t x a ⎡⎤
=+∈-++⎢⎥⎣⎦
，结合函数sin ()y t t R =∈的图象可得
346πa ππ
π≤+
<，所以172366
a ≤<，所以D 正确. 故选：CD.
12．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11BCC B ，D ､F 分别是11B C ､1A C 的中点，点E 为1B C 上动点，则有（ ）
A ．若E 为1
B
C 中点，则//AB 平面1EFC
B ．1112
A B C π
∠=
C ．若1::1:1:6BC BB AB =，则1A C 与平面11BCC B 所成角为
3
π D ．若3BC AB ==，11BB =，则1A E 与DE 长度之和最小值为212
答案：BCD
根据线面平行、线面垂直、线面角、展开图与距离最小值等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
当E 为1B C 中点时，如图所示，AB
平面1EFC ，故A 不正确；
由平面11A B C ⊥平面11BCC B ，平面11A B C 平面111,BCC B B C =
在平面1BCC B 内作11,C O B C ⊥则1C O ⊥平面11111,A B C A B C O ∴⊥，
由直棱柱，1BB ⊥平面111A B C ，111,A B BB ∴⊥又1111,A B C O BB ⊥与1C O 相交， 11A B ∴⊥平面11,BCC A
则有1111A B B C ⊥，故B 正确；
对C ，不妨设1BC =，11,6BB AB =12,B C 由11A B ⊥平面11BCC A ，
故11ACB ∠即为1A
C 与平面11BCC B 所成角. 则116
tan 3,2
ACB ∠=
=113ACB π∴∠=
，故C 正确； 对D ，若BC AB =13,1BB ==，1A E 与DE 长度和最小时，可展开平面11A B C （如图）， 当平面11A B C 与平面11B C C 共面，且1,A E D ，三点共线时，1A E DE 与长度和最小.
如图，不难知.
1130CB C ∠=，11122
6
3
A B C π
π
π∴∠=
+
=
. 由11133,,2A B B D ==由余弦定理，213321
323cos120424
A D =+-⋅=
， 所以121
2
A D =
，即1A E DE 与长度之和最小值为212，故D 正确.
故选：BCD 三、填空题
13．已知函数()21,0
2,0x bx
x f x a x ⎧-≥=⎨-<⎩
为R 上的奇函数，则实数b =___________. 答案：1-
由奇函数性质，设0x <，则0x ->，由奇函数性质求出0x <时()f x 表达式，根据对应关系可求b . 由()f x 为R 上奇函数，则()()f x f x -=-，设0x <，则0x ->，
()()()()21,120,1,1x x f x f x f x x a b --∴-=-=-∴=-<∴==-.
故答案为：1-
14．棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -，一只飞蚁在其内部飞动（包含其表面），且飞蚁到点A 的距离不超过1，则飞蚁活动空间的体积为___________. 答案：π
9
其活动轨迹空间为半径为1的球
1
12
，计算得到答案.
其活动轨迹空间为半径为1的球112
，体积3
14ππ11239V =⨯⨯=.
故答案为：π
9
15．已知方程sin 22sin 20x x a ++对0,2x π⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
总有解，则实数a 的范围为___________.
答案：⎡⎢⎣⎦
构造()sin 2f x x =2sin ,0,2x x π⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，结合导数()f x '求出()f x 值域，即可求解a 的范围.
由sin 22sin 2,0,2x x a x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦有解，记()sin 2f x x =2sin ,0,2x x π⎡⎤
+∈⎢⎥
⎣⎦
，
()22cos22cos 4cos 2cos 2f x x x x x '=+=+-2(cos 1)x =+(2cos 1)x -，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
()()0,,0,3x f x f x π⎡⎫∴∈>⎪⎢⎣⎭'为增，32x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，，'()0f x <，()
f x 为减，
max ()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
(0)0,22f f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭又
，()f x ⎡∴∈⎢⎣⎦
，
2()a f x =有解，则2a ≤≤0a ⎡∴∈⎢⎣⎦
.
故答案为：⎡⎢⎣⎦
16．已如平面内非零向量a ，b ，c 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，若2
220c b c -⋅+=，则c a -的取
值范围是___________.
答案：
确定点C 的轨迹是以点B 为半径的圆，计算AB ，得到范围. 由2
220c b c -⋅+=，得2()2c b -=，
向量c 对应点C 的轨迹是以点B
a 对应点为A ，
b 对应点为B ，
c a BA BA ⎡-∈-⎣， π
,3a b =
，41AB a b =-=+-3c a ⎡-∈-⎣.
故答案为：.
四、解答题
17．在ABC 中，已知内角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，且2cos 2c B a b =+.
(1)求角C 的大小；
(2)若c =，求ABC 周长的最大值. 答案：(1)
23
π
(2)4+（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到sin (2cos 1)0B C +=，即1
cos 2
C =-，得到答案.
（2）根据余弦定理得到2212a b ab =++，利用均值不等式得到4a b +≤，得到周长最大值. (1)
由已知得2sin cos 2sin sin C B A B =+，即2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，
2sin cos 2(sin cos cos sin )sin C B B C B C B =++，所以2sin cos sin 0B C B +=， sin (2cos 1)0B C +=，()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以2cos 10C +=，即1cos 2
C =-
， ()0,πC ∈，故2π3
C =
. (2)
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即22
2π122cos
3
a b ab =+-， 2
2
12a b ab =++2()a b ab =+-2
2
2
3()
()24a b a b a b ++⎛⎫≥+-=
⎪⎝⎭
（当且仅当2a b ==时，等于号成立）.
所以2()16+≤a b ，即4a b +≤，于是周长4l a b c =++≤+
故ABC ∆周长的最大值是4+18．已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，且1a ，31a a -，81a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()4
15n n n b a a =
++，*N n ∈，数列{}n b 的前n 项和记为n T ，不等式()1
log 16
n a T a >-对任意的
正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围， 答案：(1)21n a n =-
(2)⎛ ⎝⎭
（1）利用等差数列的定义及通项公式结合等比中项即可求解；
（2）先根据裂项相消法求出n T ，然后用定义求出n T 的单调性，再结合对数不等式的解法即可求出实数a 的取值范围. (1)
解：设{}n a 的公差为d ，
因为数列{}n a 是递增的等差数列，则0d > 因为23a =，且1a ，31a a -，81a a +成等比数列
可得12
113(27)(2)0a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩
，
所以112a d =⎧⎨=⎩，
于是21n a n =-. (2)
解：由（1）得441111(1)(5)2(24)(2)22n n n b a a n n n n n n ⎛⎫
=
===- ⎪+++++⎝⎭
，*N n ∈
1234-1+n n n T b b b b b b =+++++
111111111
111111232435462112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
31114212n n ⎛⎫=
-+ ⎪++⎝⎭
. 所以11
0(1)(3)n n
T T n n +-=>++， 所以数列{}n T 单调递增，于是{}n
T 中的最小项为113
T =
. 要使不等式1log (1)6n a T
a >-对任意正整数n 恒成立，首先0
110
a a a >⎧⎪
≠⎨⎪->⎩
，即01a <<.
再只要11
log (1)36
a a >-，即log (1)2a a -<.
即2011a a a <<⎧⎨->⎩，解得0a <<故实数a 的取值范围为⎛ ⎝⎭
.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，若平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，平面11BCC B ⊥平面1ABC .
(1)求证：1AB BB ⊥；
(2)记平面1ABC 与平面111A B C 所成角为α，直线1AC 与平面11BCC B 所成角为β，异面直线1AC 与BC 所成角ϕ，试探求cos cos αβ与cos ϕ的大小关系，并给出证明. 答案：(1)证明见解析
(2)cos cos cos ϕαβ=，证明见解析
(1)利用面面垂直得到线面垂直，再通过线面垂直证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系求出平面法向量，进而得到三几个角的余弦值，比较大小关系即可. (1)
因为11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥， 又∵平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，平面11
ABB A 平面111BCC B BB =，
BC ∴⊥平面11,ABB A AB BC ∴⊥
过C 作1,CO BC ⊥
平面11BCC B ⊥平面1,ABC 平面11
BCC B 平面11ABC BC =，CO ⊂平面11,BCC B
CO ∴⊥平面1,ABC 又AB 平面1,ABC ,AB CO ∴⊥
又
,AB BC ⊥CO BC C ⋂=
AB ∴⊥平面1,ABC 由1BB ⊂平面11ABC BC =
1∴⊥AB BB .
(2)
cos cos cos αβϕ=
证明如下：由棱柱知AB ∥11A B ，又AB ⊥平面11,BCC B 11A B ∴⊥平面11,BCC B 以B 1原点，11111,,B A B B B C 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，不妨设11111,,B A a B B b B C c ===，则
()11,0,0,BA B A a ==
1(0,,),BC b c =-设1111(,,)n x y z =为面1ABC 的一法向量，
则111
1110
0n BA ax n BC by cz ⎧⋅==⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩10,x ∴=令1,y c =则11(0,,)z b n c b =∴= 取平面111A B C 的一法向量(0,1,0)n =12
2
cos |cos ,|c n n b c
α∴=<>=
+，取平面11BCC B 一法向量
2(1,0,0)n =，
由1(,,),C A a b c =-12222sin |cos ,|a C A n a b c β∴=<>=
++.
222
2
2
cos b c a b c
β+∴=
++，则2
2
2
cos cos ,c a b c
αβ=++
又()()
12
2
2
,,0,0,cos ,cos a b c c C A BC c a b c
ϕ-⋅==
++=
222
c a b c ++
cos cos cos ϕαβ∴=
20．2021年湖北新高考第一届高考结束，某校为了预测2022届高考本科上线人数，对2021届物理方向的10个班进行了统计，其中每班随机各抽10人统计，经统计，每班10人中上本科线人数散点图如下：
(1)由散点图，以2021届学生为参考标准，预测物理方向2022届学生上线率；
(2)从以上统计的2021届高三（2）班的10人中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，求所抽取2人中考上本科的人数的分布列并求其数学期望；
(3)已知湖北省甲市2022届物理方向高考人数为4万，假设以（1）中本科上线率作为甲市物理方向每个考生的本科上线率.若从甲市随机抽100名高三学生，求这100名学生中考上本科人数的均值： 答案：(1)0.7
(2)分布列答案见解析，数学期望：6
5
(3)70
（1）直接根据散点图计算得到答案.
（2）根据分层抽样得到有3人考上本科，2人没考上本科，X 中能值为0，1，2，再计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
（3）记ξ表示从甲市中所抽100人中考上本科人数，则()~100,0.7B ξ，计算得到答案. (1)
由散点图知，记物理方向2022届学生上线率为P ， 则8694759859
=0.7100
P +++++++++=
(2)
由题意10人中有6人考上本科，按分层抽样，所抽5人，有3人考上本科，2人没考上本科，记从5人任抽2人，考上本科人数为X ，则X 中能值为0，1，2.
()()()1122
23322225551
330,1,210510
C C C C P X P X P X C C C =========.
则X 的分布列为
X
0 1 2
P
110 35 310
1336()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. (3)
记ξ表示从甲市中所抽100人中考上本科人数，则()~100,0.7B ξ，1000.770E ξ=⨯=.
21．在一张纸上有一圆C ：()2
2564x y ++=，定点()5,0M ，折叠纸片使圆C 上某一点1M 恰好与
点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T .
(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；
(2)曲线C '上一点P ，点A ､B 分别为直线1l ：3
4y x =在第一象限上的点与2l ：34
y x =-在第四象限上
的点，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求AOB 面积的取值范围.
答案：(1)证明见解析，22
1169
x y -=
(2)[12,16]
（1）由对称性可得1||||M T TM =，代入计算TC TM -可得定值，根据定值可得T 的轨迹为双曲线，利用双曲线的定义可得方程；
（2）根据12,l l 分别为双曲线22
:1169
x y C'-
=的渐近线设出点A ､B 的坐标，设(,)p p P x y ，然后利用向量的坐标运算得到P 点坐标，将P 点坐标代入双曲线方程，将AOB 面积用λ表示出来，然后求最值即可. (1)
证明：如图，由点1M 与M 关于PQ 对称，
则1||||M T TM =，11||||||||||8TC TM TC TM CM ∴-=-==，故为定值. 由1||||810TC TM CM -=<=，
由双曲线定义知，点T 的轨迹为以(5,0),(5,0)C M -为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线'C 方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>：
28,4,210,5a a c c ∴====，2229b c a ∴=-=，
所以双曲线方程为22
1169
x y -=；
(2)
由题意知，12,l l 分别为双曲线22
:1169
x y C'-
=的渐近线 设()11221233
(,),(,),044A x x B x x x x ->，由AP PB λ=，设(,)p p P x y .
121233
(),()44
p p p p x x x x y x x y λλ∴-=--=--
1212
3,141p p x x x x x y λλλλ+-∴==⋅++，由于P 点在双曲线上
22221212121222()()4(1)1,416(1),16(1)16(1)x x x x x x x x λλλλλλλλ
+-+∴-=∴=+∴=++ 又2211195
||,164
OA x x x =+
=同理25||4OB x =，设OA 的倾斜角为θ，
则222
3
22sin cos 2tan 244sin sin 29sin cos 1tan 25
116
AOB θθθθθθθ⨯
∠=====+++. 121211252431
||||sin 3(2)2216254AOB
S
OA OB AOB x x x x λλ
∴=
⋅∠=⋅⋅==++ 由对勾函数的性质可知函数11,[,2]3y x x x =+∈在1
[,1]3
上单调递减，在(1,2]上单调递增，
当1λ=时， ()
min
1
3(12)121
AOB S
=++=；
当1
3
λ=时，()max 1
3(
32)163
AOB S
=++=； [12,16]AOB S ∴∈△. 22．已知函数()()2
12ln 2
f x x m x =-+，m R ∈，若函数()f x 在定义域上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <.
(1)求实数m 的取值范围； (2)证明：
()()
2112
f x f x x x <. 答案：(1)01m << (2)证明见解析
（1）求出导函数，由()0f x '=转化为2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，列出
不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）先得到12122
x x x x m +=⎧⎨=⎩，化简得到
211111112
()()
1(2)ln(2)ln f x f x x x x x x x x -=-+---，构造新函数()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），二次求导后利用单调性和极值证明出不等式. (1)
函数()f x 的定义域是(0,)+∞，2
2()(2)m x x m
f x x x x
-+'=-+=
. 令()0f x '=，得2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，Δ440
0m m =->⎧⎨>⎩
，解得
01m <<，经验证，符合要求.
(2)
由（1）可知，1x ，2x （12x x <）是方程2=02x x m -+在(0,)+∞上的两个不等实根，所以12122
x x x x m +=⎧⎨=⎩，
其中01m <<，12012x x <<<<.
22222122
211111
(2)ln (2)ln ()22x m x x x x x f x x x x -+-+== 22222
22221
(2)(2)ln 1
2(2)ln 22
x x x x x x x x -+-==-+-.
同理，
11112()1
(2)ln 2
f x x x x x =-+.
2122211112()()11(2)ln (2)ln 22f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
-=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
122211111111
()ln ln 1(2)ln(2)ln 2
x x x x x x x x x x x =-+-=-+---. 令()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<）， 则[]()1ln(2)ln 1ln (2)g x x x x x '=----=-+-， 再令()1ln (2)h x x x =+-，（01x <<），则22'()0(2)
x
h x x x -=
>-在()0,1上恒成立，则
函数()h x 在()0,1上单调递增，()()(1)2ln1120h x h <=-+=-<，从而()0g x '>在区间()0,1上恒成立，
于是函数()g x 在()0,1上单调递增，()(1)0g x g <=. 所以
2112
()()
0f x f x x x -<，即2112()()f x f x x x <. 利用导函数研究函数单调性是非常重要的，这道题目就是含有多元的不等式证明问题，消去一个未知量，变为一个新函数，通过研究新函数的单调性和极值等性质进行不等式的证明.。