高中数学第一章常用逻辑用语1.2四种命题学案新人教A版选修11

四种命题
1.命题有哪四种形式？
导思
2．如何判断四种命题的真假？
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．
如何理解“互逆”？
提示：原命题和逆命题位置不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的逆命题．
2．原命题与否命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”．
如何理解原命题和否命题是互否命题？
提示：原命题和否命题不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的否命题．
3．原命题与逆否命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
如果原命题为“若p ，则q”，那么它的逆否命题为“若q ，则p”.
如何理解原命题和逆否命题是互为逆否命题？
提示：原命题和逆否命题不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的逆否命题．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”．( × ) 提示：命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”．
(2)命题“若x>1，则x －1>0”的否命题是“若x≤1，则x －1≤0”．( √ ) 提示：根据否命题的定义可以判断．
(3)命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”．( × ) 提示：命题“两个正数的和为正数”的否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”．
(4)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．( √ ) 提示：只要是命题，都有这几种形式．
2．(2021·郑州高二检测)“若sin x≥12 ，则x≥π
6 ”的否命题是( )
A.若sin x<12 ，则x<π
6
B.若x≥π6 ，则sin x≥1
2
C.若x<π6 ，则sin x<1
2
D.若sin x≤12 ，则x≤π
6
【解析】选A.“若sin x≥12 ，则x≥π6 ”的否命题是“若sin x<12 ，则x<π
6 ”．
3．命题“若对于任意x∈R 都有f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”的逆否命题是“若函数f(x)不是偶函数，则__________________”．
【解析】“若对于任意x∈R 都有f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”的逆否命题是“若函数f(x)不是偶函数，则存在x∈R ，使得f(－x)≠f(x)”．
答案：存在x∈R，使得f(－x)≠f(x)
4．(教材二次开发：练习改编)命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题为_______________，真假性为________(填“真”“假”).
【解析】把条件和结论交换位置即可得到逆命题，为“图象关于y轴对称的函数是偶函数”．是真命题．
答案：图象关于y轴对称的函数是偶函数真
类型一四种命题的概念(数学抽象)
1．命题：“若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)为奇函数”的逆命题
为( )
A.若函数f(x)的图象不关于原点对称，则函数f(x)为奇函数
B.若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)不为奇函数
C.若函数f(x)不为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称
D.若函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称
【解析】选D.命题：“若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)为奇函数”的逆命题为“若函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称”．
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)对顶角相等；
(2)全等三角形的对应边相等．
【解析】(1)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等；
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角；
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等；
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形对应边相等；
逆命题：若两个三角形对应边相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形对应边不相等；
逆否命题：若两个三角形对应边不相等，则这两个三角形不全等．
写出四种命题的方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
【提醒】四种命题转换时关键是把命题写成“若……，则……”的形式．
【补偿训练】
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
【解析】(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
类型二 四种命题的真假判断(逻辑推理) 【典例】判断下列命题的真假． (1)“正三角形都相似”的逆命题．
(2)“若实数t 满足使对数log 2()－2t 2
＋5t －3 有意义，则实数t 满足不等式t 2
－4t ＋3<0”
的否命题．
【思路导引】根据四种命题的概念，写出相应的命题，判断其真假．
【解析】(1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题． (2)否命题：若实数t 满足使对数log 2()－2t 2
＋5t －3 无意义，
则实数t 满足不等式t 2
－4t ＋3≥0.
因为p 对应的区间为(]－∞，1 ∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ ，
q 对应的区间为(]－∞，1 ∪[)3，＋∞ ，
而(]－∞，1 ∪[)3，＋∞ 为(]－∞，1 ∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ 的真子集，故否命题为假命题．
判断四种命题真假的方法
(1)正确利用相关知识进行判断推理．
(2)若由“p 经逻辑推理得出q”，则命题“若p ，则q”为真；确定“若p ，则q”为假时，则只需举一个反例说明．
下列命题中：
(1)“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； (2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题； (3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
(4)“若sin x ＝sin y ，则x ＝y”的逆命题．其中是真命题的是________．(填序号) 【解析】(1)“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；
(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题为“四边不相等的四边形不是正方形”，是真命题；
(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题为“若一个四边形是平行四边形，则它不是梯形”，是真命题；
(4)“若sin x ＝sin y ，则x ＝y”的逆命题为“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”，是真命题． 答案：(1)(2)(3)(4)
类型三 由命题的真假求参数的范围(数学运算) 【典例】给出下列两个命题：
命题甲：关于x 的不等式x 2
＋(a －1)x ＋a 2
≤0的解集为∅； 命题乙：函数y ＝(2a 2
－a)x 为增函数． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙有且只有一个是真命题． 分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围．
【思路导引】第(1)问可以利用集合的观点取甲、乙成立的并集，也可以求出问题的反面后，再写出其补集；第(2)问需要对甲、乙中哪一个为真进行分类讨论． 【解析】甲为真时，Δ＝(a －1)2
－4a 2
＜0，
即A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a|a>1
3或a ＜－1 ；
乙为真时，2a 2
－a>1，即B ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a|a>1或a ＜－12 .
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a|a>13或a ＜－12 .
(2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况： 当甲真乙假时，1
3 ＜a≤1；
当甲假乙真时，－1≤a＜－1
2
.
所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，
实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a|13
＜a≤1或－1≤a＜－12 .
解决此类问题时，可先在设定命题是真命题的前提下，求得参数的范围，然后依据题目要求，分类讨论求得．
1．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．
【解析】由已知得，当1＜x ＜2时，m －1＜x ＜m ＋1成立，所以⎩
⎪⎨⎪⎧m －1≤1，
m ＋1≥2， 所以1≤m≤2.
答案：[1，2]
2．已知p ：－2≤x≤10，q ：(x －a)(x －a －1)>0，如果“若p ，则q”是真命题，而它的逆命题是假命题，求实数a 的取值范围．
【解析】由(x －a)(x －a －1)>0，得x>a ＋1或x ＜a. 由“若p ，则q”是真命题，而它的逆命题是假命题， 得{x|－2≤x≤10}
{x|x>a ＋1或x ＜a}，
所以a ＋1＜－2或a>10，解得a ＜－3或a>10.
1．命题“若α＝π
4 ，则tan α＝1”的逆命题是( )
A ．若α≠π
4 ，则tan α≠1
B ．若tan α＝1，则α＝π
4
C ．若tan α＝1，则α≠π
4
D ．若α＝π
4
，则tan α≠1
【解析】选B.命题“若α＝π
4
，
则tan α＝1”的逆命题是“若tan α＝1，则α＝π
4
”． 2．“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为( ) A ．若x 2
≠1，则x ＝1 B ．若x 2
＝1，则x≠1 C ．若x 2≠1，则x≠1
D ．若x≠1，则x 2
≠1
【解析】选C.“若p ，则q”的否命题形式为“若p ，则q”． 3．命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 也是奇数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是奇数，则x 与y 不都是奇数 B ．若x ＋y 是奇数，则x 与y 都不是奇数 C ．若x ＋y 不是奇数，则x 与y 不都是奇数 D ．若x ＋y 不是奇数，则x 与y 都不是奇数
【解析】选C.由于“x，y 都是奇数”的否定表达是“x，y 不都是奇数”，“x＋y 是奇数”的否定表达是“x＋y 不是奇数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是奇数，则x ，y 不都是奇数”．
4．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述错误的是______(填序号).
(1)逆命题为“单调函数不是周期函数”
(2)否命题为“周期函数是单调函数”
(3)逆否命题为“单调函数是周期函数”
【解析】命题“周期函数不是单调函数”的逆命题为“不是单调函数的函数是周期函数”，它的否命题是“不是周期函数的函数是单调函数”，它的逆否命题为“单调函数不是周期函数”，可知(1)(2)(3)均错误．
答案：(1)(2)(3)
5．写出下列命题的否命题：
(1)如果a，b中至少有一个是偶数，那么ab是偶数；
(2)如果a＝0且b＝0，那么ab＝0；
(3)如果a＋b≤0，那么a≤0或b≤0.
【解析】(1)如果a与b中没有一个是偶数，那么ab不是偶数．
(2)如果a≠0或b≠0，那么ab≠0(或如果a，b中至少有一个不等于零，那么ab≠0).
(3)如果a＋b>0，那么a>0且b>0.。