精品解析：上海市控江中学2018-2019学年高二上学期期中质量调研数学试题(解析版)

故答案为：（2，1）
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．
x y 1 6.二元一次方程 2x y 0 的增广矩阵为______．
1 1 1
【答案】

2
1
0

【解析】
【分析】
根据二元一次方程组，求得增广矩阵，即可得到答案．
，可得
tan n1

tan

n

12
，得到
an12

an
，再由周期性，即可求
解．
2 【详解】设 an tann ，而
3
1 2
3
1 2
1 3 2

sin

1

6
cos
6
tan 12
，
an1
所以

tan n 1 tan
tan
12
着重考查了计算能力，属于基础题．
1 23
456
789
8.行列式
中，6 的代数余子式的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
12
根据代数余子式的定义得到
A 23
6 的代数余子式

7
8 ，利用行列式的展开，即可求得答案．
12
【详解】由题意，可得 6 的代数余子式 A23 7
(18 2 7) 6
a1 (2 3) 1 (2 3)a1

5
36 3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数列递推式，考查数列的 周期性，训练了两角和正切的应用，着重考查了转化思 想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
5.写出直线
2x

y
1

0
的一个法向量
由于光线从点 P 经两次反射后又回到 P 点，
根据反射规律，则 PMA BMN , PNO BNM
作出点 P 关于 OB 的对称点 P1 ，作出点 P 关于 AB 的对称点 P2 ，
则 P2MA PMA BMN，P1NO PNO BNM
所以 P1，N，，M P2 共线，
OB 反射回原点 P，则光线 L 所在的直线方程为（ ）
A. y x 2
B. y 2x 4
y 1 x 2 C. 3 3
D. y 3x 6
【答案】D
【解析】
【分析】
由点 P 关于 y 轴的对称点 P1(2, 0) ，设点 P 关于直线 AB : x y 4 0 的对称点 P2 (a, b) 列方程组求出
8
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．
9.若向量
a

(
x,1),
b

(2x,
x

1),
x

R
，且
a
/
/b
，则
x

______．
【答案】0 或-3
【解析】
【分析】
根据
a
/
/b
，得到
（x ） x
1
2x 0 ，即可求解 x 的值，得到答案．
|
q
| 1
且
q

0
，即1

2(1
q)
，解得
q

1 2
．
1 故答案为： 2 ．
【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的前 n 项和，而无穷等比数列的各项和，即当 q 1 且 q 0 时前
n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前 n 项和的极限存在则可得 q 1 且 q 0 ，这
13.已知向量
|
a
|
3,
|
b
|
2
，且
(a

2b )

(a

b)

5
，则
a
在
a

b
投影为______．
【答案】. 5
【解析】
【分析】
由向量的数量积的运算公式，求得
a

b

4
，进而求得
|
a

b
|
5 ，再利用投影的公式，即可求解，得
到答案．
【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得 (a

1 (3) 2 13

7 2，
y

y1 y2 1
1 (3) 3 13

4
所以点
P
的坐标为

7 2
,
4

．
故答案为：

7 2
,
4

【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用，以及向量的共线条件的应用，着重考查了学生的运
算能力和转化能力，属于基础题型．．
x y 1
1 1 1
【详解】由题意，二元一次方程
2x

y

0
的增广矩阵

2
1
0

．
1 1 1
故答案为：

2
1
0

．
【点睛】本题主要考查了增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基
础题．
7.若
a

(1,
1),
b

(2,
1)
算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
4.若数列
an
满足
a1

1 2
an1
且

an (2 3) 1 (2 3)an
，则 a2018
为（
）
5 36
13 2
A. 3
B. 5
C. 0
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
设 an

tann
2
，而
3

tan
12
也是考生常会漏掉的知识点．
12.已知 P1 (1,1), P2 (2, 3) ，若 P 在 P1P2 的长线上，且| P1P2 | 2 | P2P | ，则点 P 的坐标为______．
【答案】

7 2
,
4

【解析】
【分析】
首先利用线段的比值求出 λ，进一步利用分点坐标公式，即可求出结果．
因为 P2 AB PAB 45 ，所以 P2 A OA ，
点 P 关于 y 轴的对称点 P（1 ， 2）0
设点 P 关于直线 AB：x y 4 0 的对称点 P（2 a，）b


b a a
2
0 2 2

(1) 1 b04
2
0
，解得
a

4,
b2
∴直线
MN
:
x
y
2

4
2
2
，即
x

3y

2

0
联立
x 3y

x y

2 4

0 0
，得
x

5 2
,
y

3 2
3
PM : y 2
∴直线
x2
5 2

2
，即光线
L
所在的直线方程为
y

3x

6
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运
求得两直线的倾斜角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11.已知数列an是以 1 首项的等比数列，其各项和 S 2 ，则an的公比 q=______．
1 【答案】 2
【解析】
【分析】
由无穷等比数列an的各项和为 2，列出方程，即可求解，得到答案．
a1 2, 【详解】由题意，因为 S 2 ，可得， 1 q
，则
a

b

______．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用向量的数量积的运算公式，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，向量
a

(1,
1),
b

(2,
1)
，
根据向量的数量积的运算公式，可得则
a

b

2

1

3
．
故答案 为 ：3．
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，
3) ，可得直线 l 的斜率为
3 1
3
，
所以直线 l 的倾斜角为 60°． 又直线 x y 1 0 的斜率为 1，故直线 x y 1 0 的倾斜角为 45°， 所以 l 与直线 x y 1 0 的夹角为 60 45 15 ．
故答案为：15°． 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的应用，其中解答中熟练应用直线的倾斜角和斜率的关系，
，所以
C
正确；
对于
D
中，根据向量的运算律，可得
(a)

b


(a

b)

a

(b )
，所以
D
正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算律及其应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算法则是解
答的关键，属于基础题目．
3.如图已知 A(4, 0), B(0, 4), O(0, 0) ，若光线 L 从点 P(2, 0) 射出，直线 AB 反射后到直线 OB 上，再经直线
2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1.直线 x 2 y 2 0 与直线 2x y 1 0 的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两直线中 x 的系数积与 y 的系数积之和为 0，即可得到两直线垂直．
【详解】由题意，直线 x 2 y 2 0 与直线 2x y 1 0 中，
可得1 2 2（）1 0 ，所以直线 x 2 y 2 0 与直线 2x y 1 0 的位置关系是垂直．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量
积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
基础题．
14.若直线 l 经过点 M (2,1) ，且与 A(0, 3), B(1, 4) 为端点的线段相交，则直线 l 倾斜角的取值范围是
12
tan

n

tan

n

12

tan n1
，即

tan

n

12

，
an12
则

tan

n11

12


tan

n
12
12


tan n


tann

an
a2018
所以

a121682

a2

【详解】由题意，向量
a

(
x,1),
b (2x, x 1), x R ，
因为
a
/
/b
，所以
（x ） x
1
2x 0 ，整理得 x2 3x 0 ，解得 x 0 或 3 ．
故答案为：0 或 3 ．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，
【详解】由题意，因为点 P 在 P1P2 的延长线上，且 | P1P2 | 2 | P2P | ，
所以 P1P 3PP2 ，可得 3，
又由 P1 （，1）1 、（P2，）2 3 ，
设 P（x，）y
x
，可得

x1 x2 1
n
=______．
2，1
【答案】
【解析】
【分析】
化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到
答案．
【详解】由题意，化直线 2x y 1 0 的方程为斜截式 y 2x 1 ，可得直线的斜率为-2，
所以直线的一个方向向量为（1，）2 ，所以直线的一个法向量为（2, ）1 ．
x 3y 2 0
a

4
，
b

2
，从而求出直线
MN
:
x

3y

2

0
，联立

x y 4 0 ，得 M 点坐标，由此能求出光
线 L 所在的直线方程．
【详解】由题意知，过点 A（4, 0）和点 B(0, 4) 的直线为 x y 4 0 ，且点 P（2，0），
设光线分别射在 AB、OB 上的 M、N 处，

2b )

(a
b)

a
2

a
b

2b 2

5，
可得
a

b

4
，所以
|
aLeabharlann b| (a

b )2

2 a

2a

b

2 b

5，
又由
a|a(abb| )

9
4 5

5
，即
a
在
a

b
上的投影为
5．
故答案为： 5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律，即可求解．
【详解】由题意，对于
A
中，根据向量的数量积的运算，可得
b

a

a

b

1 ，所以
A
正确；
对于
C
中，根据向量的运算性质，可得
a

(b

c)

a

b

a

c
属于基础题．
10.若直线 l 的一个方向向量 d (1, 3) ，则 l 与直线 x y 1 0 的夹角为______．
【答案】15°
【解析】
【分析】
先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角，得到答案．
【详解】由题意，直线 l 的一个方向向量 d (1,