人教版高中数学-平移问题中的三知识点透析

平移问题中的三知识点透析
一.平移问题中的三知识点解读
知识点1:图形的平移
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样的长度，得到图形F ′.我们把这一过程叫做图形的平移.
因此图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不变的情况下，图形的整体移动.在平移变换下，图形形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置.
知识点2:平移公式
P(x,y)是图形F 的任一点，平移后图形F ′上对应点为P ′(x ′,y ′),且'PP =(h,k)，则有 (1) 'OP ='OP +'PP (平移向量公式)
(2) ⎩⎨⎧+=+=k y y h x x '' (平移的坐标公式),变换公式⎩⎨⎧-=-=k
y y h x x ''.
知识点3:利用平移公式化简函数解析式.
将函数y=f(x)的图像F 按向量a(h,k)平移得到图像F ′，则F ′的函数解析式是什么呢? 设P ′(x ′,y ′)是F ′上的任意点，则在F 中对应P ′(x ′,y ′)的点P 的坐标是(x ′-h,y ′-k).由于P(x ′-h,y ′-k)在函数y=f(x)的图像上.
所以它的坐标应满足：y ′-k=f(x ′-h).即有y ′=f(x ′-h)+k,由于F ′还是在x0y 坐标系中，x ′是P ′点的横坐标，将它换成x ，而y ′是P ′点的纵坐标，将它换成y,于是我们就得到了F ′的函数解析式：y=f(x-h)+k.
在确定的平面直角坐标系内，一个图像的函数表达式有时比较复杂，若通过平移，则往往可使其函数表达式化得较为简单.
二. 平移问题中的三知识点例题解析
1. 图形的平移
例1.设函数y=
41+-x x 的图像为C ，将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位后可得函数y=-x
5的图像C ′，试求h 、k 的值. 分析：将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，综合起来是将C 按a =(-h,-k)平移.于是先算出平移后图像C ′的解析式，再根据C ′的解析式又事先已知，可建立起h,k 的方程组，于是只要求解该方程组即可得h 与k 的值.
解：将图像C 按=(-h,-k)平移，就是将C 先向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，因此，图像C ′的解析式是：y+k=
41++-+h x h x ,即y=4)4(1)1(+++--+-h x k h h x k ，它与y=x
5-,是同一个函数. ∴⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+--=-045)4(101h k h h k 解之得：⎩⎨⎧=-=14k h
2.平移公式
例2.把函数y=-x2+2x+5的图像，按向量a平移后得到y=-x2+1,求平移向量a.
分析：由于函数y=-x2+2x+5的图像是一条抛物线，在图像的平移过程中，开口大小、方向都没有改变，只是把顶点进行了平移，因此本问题实际是一个点的平移过程.
分析：求平移向量实际上就是确定一个平移的坐标公式
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
k
y
y
h
x
x
'
'
.
解：由y=-x2+2x+5得此函数的图像顶点坐标为(1，6)，由y=-x2+1得它的图像的顶点坐标为(0，1)，因此，本题的实质是把(1，6)按向量a平移到(0，1).
由平移公式，得
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
k
h
6
1
1
解之，得
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
5
1
k
h
所以，所求平移向量a=(-1,-5).
3.利用平移公式化简函数解析式.
例3.将函数y=-x2的图像进行平移，使得到的图像与函数y=x2-x-2的图像的两个交点关于原点对称，求平移后的解析式.
分析：求平移后的解析式实际上就是利用平移公式为
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
k
y
y
h
x
x
'
'
,把一个函数的解析式转化为另一个函数的解析式,这就需要先确定平移公式.
解法一：设平移公式为
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
,
'
,
'
k
y
y
h
x
x
得到
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
k
y
y
h
x
x
'
'
'
代入y=-x2,得到y′-k=-(x′-h)2, 写成y-k=-(x-h)2，即y=-x2+2hx-h2+k,与y=x2-x+2联立得
设上述两图形交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)
由已知条件有P1与P2关于原点对称，即有x1+x2=0,y1+y2=0.
由①、②消去y得2x2-(1+2h)x-2+h2-k=0.
由x1+x2=0，得
2
2
1h
+
=0,即，h=-
2
1
.
又将P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别代入①、②并两式相加得
y1+y2=-x21+x22+2hx1-x2-h2+k-2，即0=(x2-x1)(x2+x1)-(x1+x2)-
4
1
+k-2,得k=
4
9
.
∴
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
=
-
=
,
4
9
'
,
2
1
'
y
y
x
x
变形为
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
+
=
.
4
9
'
,
2
1
'
y
y
x
x
代入y=-x 2得y ′-49=-(x ′+2
1)2,即y ′=-x ′2-x ′+2. 故所求的解析式为y=-x 2-x+2.
解法二：由题意知，平移后的图像与y=x 2-x-2的图像的交点关于原点对称，可知这两
个图像中一个图像上的所有点都可找到关于原点的对称点在另一图像上.因此，只要找到相应的特征点即可.
∵y=x 2-x-2是抛物线，其顶点为(
21，-49)，其关于原点的对称点是(-21，49)，这便是平移后抛物线之顶点.
又由于平移后的抛物线由y=-x 2平移得到，而其顶点为(0，0).故平移向量a=(-
21,49). 故欲求的函数解析式为y-
49=-(x+2
1)2,即y=-x 2-x+2.。