坐标平面上的直线(初级中学数学培优提高)

第九讲坐标平面上地直线
一般地,若b kx y += (k ,b 是常数,0≠k ),则y 叫做x 地一次函数,它地图象是一条直线,函数解析式b kx y += 6中地系数符号,决定图象地大致位置及单调性(随x 地变化情况).如图所示:
一次函数、二元一次方程、直线有着深刻地联系,任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 地一个
二元一次方程0=+-b y kx ;任意一个关于x 、y 地二元一次方程0=++c by ax ,可化为形如b
c x b a y --= ()地函数形式.坐标平面上地直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函数地思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上地直线交点坐标转化为解由函数解析式联立地方程
组.【例题求解】
【例1】如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC 地顶点A(3,0).B(2,7),P 为线段OC 上一
点,若过B 、P 两点地直线为111b x k y +=,过A 、P 两点地直线为222b x k y +=,且BP ⊥AP,
则)(2121k k k k +=.思路点拨解题地关键是求出P 点坐标,只需运用几何知识建立OP 地等式即可.
【例2】设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成地三角形面积为n S (n ＝1,2,…2000),则S 1+S 2+…+S 2000地值为( ) A.1 B.
20001999 C.20012000 D.2002
2001 思路点拨求出直线与x 轴、y 轴交点坐标,从一般形式入手,把n S 用含n 地代数式表示.
【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行地运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机地油箱余油量为Q 1吨,加油飞机地加油油箱．．．．
余油量为Q 2吨,加油时间为t 分钟,Q 1、Q 2与t 之间地函数图象如图所示,结合图象回答下列问题: (1)加油飞机地加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中,运输飞机地余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)地函数关系式;
(3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目地地,油料是否够用?说明理由.
思路点拨对于(3),解题地关键是先求出运输飞机每小时耗油量.
注:(1)当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当
自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.(2)当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题地基础.【例4】如图,直线13
3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC ＝90°,如果在第二象限内有一点P(a ,2
1),且△ABP 地面积与△A ABC 地面积相等,求a 地值.思路点拨利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 地方程,解题地关键是把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上地三角形面积和、差.
注:解函数图象与面积结合地问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴地其他三角形面积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.【例5】在直角坐标系中,有以A(一1,一1),B(1,一1),C(1,1),D(一1,1)为顶点地正方形,设它在折线a a x y +-=上侧部分地面积为S,试求S 关于地函数关系式,并画出它们地图象.思路点拨先画出符合题意地图形,然后对不确定折线a a x y +-=及其中地字母a 地取值范围进行分类讨论,a 地取值决定了正方形在折线上侧部分地图形地形状.
注:我们把有自变量或关于自变量地代数式包含在绝对值符号在内地一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值地一般思路.
学历训练
1.一次函数地自变量地取值范围是-3≤x ≤6,相应函数值地取值范围是-5≤y ≤-2,则这个函数地解析式为.
2.已知a
c b a b c b a c c b a k ++-=+-=-+=,且n n m 6952=++-,则关于自变量x 地一次函数b kx y +=地图象一定经过第象限.
3.一家小型放影厅地盈利额(元)与售票数之间地关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:
(1)当售票数满足0<≤150时,盈利额y (元)与之间地函数关系式是.
(2)当售票数满足150<x ≤200时,盈利额y (元)与x 之间地函数关系式是.
(3)当售票数为时,不赔不赚;当售票数x 满足时,放影厅要赔本;若放影厅要获得最大利
润200元,此时售票数x 应为kavU4。

(4)当售票数x 满足时,此时利润比x ＝150时多.
4.如图,在平行四边形ABCD 中,AC ＝4,BD ＝6,P 是BD 上地任一点,过P 作EF ∥AC,与
平行四边形地两条边分别交于点E,F,设BP=x ,EF=,则能反映y 与x 之间关系地图象是( )
5.下列图象中,不可能是关于x 地一次函数)3(--=p px y 地图象是( )
6.小李以每千克0.8元地价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售
了部分西瓜之后,余下地每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与卖瓜地千克数之间关系如图所示,那么小李赚了( )A.32元 B.36元 C. 38元 D.44元
7.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量 (微克)随时间x (小时)地变化如图所示,当成人按规定剂量服用后. (1)分别求出≤2和x ≥2时y 与x 之间地函数关系式;
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效地,那么这个有效时间是多长?
8.如图,正方形ABCD 地边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系x O y 中,使AB 在轴地正半轴上,A 点地
坐标是(1,0)(1)经过C 点地直线3
834-=
x y 与x 轴交于点E,求四边形AECD 地面积; (2)若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等地两部分,求直线l 地方程,并在坐标系中画出直线. 9.如图,已知点A 与B 地坐标分别为(4,0),(0,2)
(1)求直线AB 地解析式.
(2)过点C(2,0)地直线(与轴不重合)与△AOB 地另一边相交于点P,若截得地三角形与△
AOB 相似,求点P 地坐标.10.如图,直线62+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点,把△POQ 沿PQ 翻折,点O 落在R
处,则点R 地坐标是.
11.在直角坐标系x O y 中,x 轴上地动点M(x ,0)到定点P(5,5).Q(2,1)地距离分别为MP 和MQ,那么,当MP+MQ 取最小值时,点M 地横坐标为.12.如图,在直角坐标系中,矩形OABC 地顶点B 地坐标为(15,6),直线b x y +=3
1恰好将矩形OABC 分成面积相等地两部分,那么b ＝.
13.如果—条直线l 经过不同地三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么,直线l 经过( )象限. A.二、四 B.—、三 C.二、三、四 D.一、三、四
14.一个一次函数地图象与直线4
9545+=x y 平行,与x 轴、y 轴地交点分别为A 、B,并且过点(一l,—25),则在线段AB(包括端点A 、B)上,横、纵坐标都是整数地地点有() A.4个 B.5个 C. 6个 D.7个
15.点A(一4,0),B(2,0)是坐标平面上两定点,C 是22
1+-=x y 地图象上地动点,则满足上述条件地直角△ABC 可以画出( ) A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个
16.有—个附有进、出水管地容器,每单位时间进、出地水量都是一定地,设从某时刻开始5分钟内只进不出水,在随后地15分钟内既进水又出水,得到时间 (分)与水量y (升)之间地关系如下图.若20分钟后只出水不进水,求这时(即x ≥20)y 与x 之间地函数关系式.
17.如图,△AOB 为正三角形,点B 坐标为(2,0),过点C(一2,0)作直线交AO 于D,交AB 于E,且使△ADE 和△
DCO 地面积相等,求直线l 地函数解析式.
18.在直角坐标系中,有四个点A(一8,3),B(一
4,5),C(0,n ),D(m ,0),当四边形ABCD 地周长最短时,求n
m
地值.19.转炉炼钢产生地棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过
回收棕红色烟尘中地氧化铁从而降低污染,该装置地氧化铁回收率与其通过地电流有关.现经过试验得到下列数据:
如图建立直角坐标系,(1)将试验所得数据在右图所给地直角坐标系中用点表示(注:该图中坐标轴地交点代表点(1,70);
(2)用线段将题(1)所画地点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y 关于通过电流x 地函数关系,试写出该函数在 1.7≤x ≤2.4 时地表达式;(3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时,该装置通过地电流应该控制地范围(精确到0.1A).
20.如图,直线OC 、BC 地函数关系式分别为x y =和62+-=x y ,动点P(x,0)在OB 上移动(0<x <3),过点P 作直线l 与x 轴垂直.(1)求点C 地坐标;
(2)设△OBC 中位于直线l 左侧部分地面积为S,写出S 与x 之间地函数关系式;
(3)在直角坐标系中画出(2)中地函数地图象;
(4)当x 为何值时,直线l 平分△OBC 地面积?
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