北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元练习

第1章勾股定理
一．选择题
1．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）
A．2B．C．D．4
2．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．4B．16C．D．4或
3．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）
A．169B．25C．19D．13
4．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）
A．2+B．2﹣
C．2+或2﹣D．以上都不对
5．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC 为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM 的面积为1，则正方形CBFH的面积为（）
A．11B．12C．13D．14
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于
点E，交CB于点F．若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（）
A．B．3C．D．
7．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）
A．4B．8C．16D．64
8．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）
A．B．0.8C．3﹣D．
9．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）
A．B．C．5D．2+
10．如图，一个底面直径为cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）
A．24cm B．10cm C．25cm D．30cm
二．填空题
11．直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为．
12．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝．
13．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，AC＝3，BC＝2，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．
14．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
15．如图，圆柱形玻璃杯高为24cm、底面周长为36cm，在杯内离杯底8cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达
蜂蜜的最短距离为cm．
三．解答题
16．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，求斜边AB上的高CD．
18．如图，B、D、C三点在一条直线上，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DE，∠DAC＝45°；
（1）线段AB、CE的关系为；
（2）若BD＝a，AD＝b，AB＝c，请利用此图的面积式证明勾股定理．
19．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB 于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
20．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
参考答案一．选择题
1．C．
2．D．
3．B．
4．C．
5．C．
6．A．
7．D．
8．C．
9．A．
10．C．
二．填空题
11．5cm或cm．
12．9
13．8+12．
14．．
15．A′C＝30（cm）．
三．解答题
16．解：如图所示．
17．解：∵∠ACB＝90°，AB＝，∴AC＝＝，
∵×AB•CD＝×AC•BC
∴CD＝＝＝．
18．（本题7分）
（1）线段AB、CE的关系为：AB＝CE，AB⊥CE………………（2分）理由是：延长CE交AB于F，
∵∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，
在△ADB和△CDE中，
∵，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴AB＝CE，∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠DCE+∠ABD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AB⊥CE；
故答案为：AB＝CE，AB⊥CE．
（2）如图，设EF＝x，
∵S△ABC＝S△ABE+S△BDE+S△ACD，
∴＝AB•EF+BD•DE+DC•AD，………………（4分）
∵BD＝a，AB＝c，AD＝b，
∴易得AB＝CE＝c，BD＝DE＝a，AD＝CD＝b，………………（5分）
∴cx+a2+，
即：+cx＝cx+a2+，………………（6分）
∴，
∴a2+b2＝c2………………（7分）
19．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
20．解：（1）如图，作AH⊥OB于H．
在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，∴AH＝OA＝120km，
∵120＜150，
∴A城受到这次台风的影响．
（2）如图，设AR＝AT＝150km，
则易知：RH＝HT＝＝90（km），
∴RT＝180km，
∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．。